Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở bậc THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở bậc THCS

1. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán A - đặt vấn đề I) Lý do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học tự nhiên, nó ra đời và phát triển gắn liền với sự phát triển của xã hội loài người. Từ xa xưa con người đã biết đến toán học, toán học là nền tảng của nhiều môn khoa học tự nhiên khác, các ứng dụng của toán học đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội và là nền tảng tư duy tri thức rèn luyện kỹ năng, kỷ xảo, phát triển trí tuệ, phẩm chất đạo đức. Đối với người giáo viên dạy học Toán trước hết là dạy cho HS cách giải Toán . Nghĩa là dạy cho HS biết sử dụng những kiến thức Toán học để giải Toán một cách linh hoạt ,sáng tạo vào những tình huống khác nhau. Trong chương trình Toán THCS bài toán “Tìm giá trị nhỏ nhất, Tìm giá trị lớn nhất”gọi chung là bài toán cực trị là một phần kiến thức cơ bản của Đại số 8 và Đại số 9. Nhìn chung đây là một dạng Toán khó đối với HS nhưng lại rất hay gặp trong quá trình học toán, làm toán. Hâù hết các đề thi HS giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh,đề thi vào lớp10 đều có một câu về tìm GTLN,GTNN. Các dạng Toán cực trị thường rất phong phú về chủng loại. Nó liên quan mật thiết với các hằng đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình và hệ phương trình. Để giải được bài toán cực trị đòi hỏi HS phải biết vận dụng nhiều kiến thức đặc biệt là kỹ năng biến đổi đồng nhất biểu thức đại số. Chính vì vậy giáo viên phải cung cấp cho HS công cụ để giải các bài toán cực trị Đại số bằng hệ thống các phương pháp giải cho từng dạng Toán. Vì vậy trong những năm công tác và trực tiếp giảng dạy môn Toán ở các khối lớp 8, 9 tôi luôn suy nghĩ tìm tòi, tích lũy kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề ”Tìm giá trị lớn nhất, Tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Đại số”. Xuất phát từ lý do trên tôi quyết định chọn “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở bậc THCS” làm đề tài nghiên cứu cho mình II - Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8, 9 trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, thi học sinh giỏi. III-Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Nghiên cứu về một số kiến thức cơ bản về các dạng toán cực trị đại số phù hợp với nhận thức của học sinh THCS. Giáo viên: Đỗ Tuấn Long 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 2. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải một số bài toán cực trị, áp dụng để làm bài tập. 3. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp. 4. Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải. 5. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán cực trị. IV - Phương pháp nghiên cứu: Trong qúa trình nghiên cứu tôi sử dụng một số phương pháp sau: 1. Tìm hiểu thực tế học sinh. 2. Xây dựng cơ sở lý luận, tham khảo và thu thập tài liệu. 3. Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp V-Kế hoạch nghiên cứu • Thời gian: Từ tháng 9/2007 đến tháng 3/2008 • Thực hiện: +Xây dựng phương pháp soạn bài +áp dụng phương pháp trong các tiết dạy lý thuyết, luyện tập,ôn tập,tự chọn + Hoàn thành phương pháp sau khi giảng dạy B-giảI quyết vấn đề I- Cơ sở lý luận Mục đích của công tác giáo dục là nhằm đào tạo những người kế tục sự nghiệp cách mạng to lớn của nhân dân. Vì vậy mà tất cả các môn học dạy ở trường phổ thông, trong đó có môn toán học, đều phải phục vụ mục đích đào tạo đó.Việc giảng dạy toán học ở trường THCS có trách nhiệm góp phần chuẩn bị về mọi mặt cho thế hệ trẻ để họ có đầy đủ tư cách và khả năng tham gia tích cực vào sự nghiệp xây dựng đất nước. Toán học là công cụ thiết yếu giúp HS học tập tốt các môn học khác, đồng thời giúp cho người học đạt hiệu quả cao trong học tập cũng như trong mọi hoạt động xã hội khác. Muốn đạt được mục đích đó trước tiên phải biết vận dụng kiến thức Toán để giải Toán một cách linh hoạt sáng tạo. Phần lớn các bài toán cực trị đại số trong chương trình THCS không được giới thiệu ở phần Giáo viên: Đỗ Tuấn Long 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lý thuyết của SGK mà chỉ có ở SBT và các sách nâng cao mà phần lớn HS của trường tôi hiện thiếu rất nhiều sách nâng cao, sách tham khảo. Chính vì vậy trong quá trình dạy học GV phải biết chọn lọc những bài tập, những dạng toán cực trị hay gặp để dạy cho HS, qua đó giúp HS nắm được các phương pháp giải cho từng dạng toán. Để có thể nắm vững”các phương pháp giải bài toán cực trị đại số” HS cần phải rèn luyện các phẩm chất trí tuệ: -Tập quan sát, dự đoán -Tính chính xác trong suy luận -Suy luận lô gíc, chặt chẽ -Tính kiên nhẫn, chịu khó, óc sáng tạo II-Thực trạng Một trong những thực trang hiện nay là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được đưa vào sách giáo khoa còn ở mức độ đơn giản trong khi đó thời gian giành cho các tiết chữa bài tập thì hạn hẹp, do vậy giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh phân tích đề bài và chữa bài tập, ít có thời gian để khai thác, mở rộng bài toán mới dẫn đến khi gặp bài toán khác một chút là học sinh không giải được. Đặc biệt trong chương trình toán THCS các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất gọi chung là các bài toán cực trị chiếm vị trí quan trọng, các dạng toán phong phú đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, học sinh phải biết biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, sử dụng khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến phức tạp, bởi thế có thể nói bài toán cực trị ở cấp II giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, dạng toán này còn có sự liên quan mật thiết đến bất đẳng thức, phương pháp giải hệ phương trình và phương trình, rèn luyện cho học sinh nếp nghĩ tư duy toán học cao.Tuy nhiên nếu trong quá trình dạy học mà GV không cung cấp cho HS hệ thông các phương pháp giải cho từng dạng toán cực trị thì ngay cả HS khá, giỏi nhiều lúc cũng sẽ rất lúng túng trước một bài toán Với đề tài này thì mục đích nghiên cứu cụ thể là: Giáo viên: Đỗ Tuấn Long 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 1. Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài toán cực trị nói riêng, trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học toán và làm công cụ giải quyết một số bài toán liên quan. 2. Giúp học sinh vận dụng, nắm vững một cách hệ thống các phương pháp cơ bản và sử dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. 3. Thông qua giải các bài toán cực trị giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán, giải đáp thắc mắc sửa chữa những sai lầm hay gặp và giải tốt hơn các bài toán cực trị đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. III- Nội dung: * Kiến thức cơ sở: 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A ta cần: + Chứng minh rằng: A k với  giá trị của biến với k là hằng số. + Dấu “=” có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến. 2. Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biếu thức A ta cần: + Chứng minh rằng: A k với  giá trị của biến với k là hằng số. + Dấu “=” có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến. *Chú ý: 1) Nếu chỉ chứng minh được A k (hoặc A k) không thì chưa đủ để kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2 x 3 2 Lời giải: Ta có: (x - 1)2 0 với x (1) (x - 3)2 0 với x (2) A 0 với x. Học sinh có thể mắc sai lầm vì ở đây không thể kết luận được min A = 0. Do không xảy ra đồng thời hai bất đẳng thức (1) và (2). Do vậy ta có thể giải bài toán như sau: Ta có: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2x2 – 8x + 10 Giáo viên: Đỗ Tuấn Long 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x2 – 4x + 4) + 2. Ta có: A = 2(x-2)2 + 2 2. Vậy minA = 2 x = 2. 2) Một biểu thức có thể có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên: Ví dụ: Xét biểu thức B = x2 Ta thấy x2 0 với x và x2 = 0 x = 0. Vậy B có gí trị nhỏ nhất khi x = 0. Biểu thức này không có gị lớn nhất. Vì vậy việc tìm GTLN và GTNN của mỗi biểu thức là một vấn đề không đơn giản, đặc biệt là đối với HS bậc THCS. Khi mà các em chưa tiếp cận được một cách đầy đủ các kiến thức cơ bản để giải loại toán này. Trong khuôn khổ của đề tài, tôi chỉ đề cập tới một số dạng toán cực trị thường gặp ở bậc THCS. * Phân dạng và ví dụ minh hoạ: 1. Phương pháp giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng A(x) 0 hoặc A(x) 0. a)Kiến thức cơ sở: - Trong tập hợp các số (nguyên, hữu tỷ, thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất. - Trong tập hợp các số (nguyên, hữu tỷ, thực) không dương thì số 0 có giá trị lớn nhất. Từ đó ta có thể suy ra rằng: + Trong tập hợp M = A(x)  A(x) 0 thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) = 0. + Trong tập hợp M = A(x)  A(x) 0 thì A(x) đạt giá trị lớn nhất khi A(x) = 0. - Một số bài toán tìm GTNN và GTLN của biểu thức bậc hai vận dụng hằng đẳng thức: (a b)2 = a2 2ab + b2 .Với cơ sở x2 0, Dấu “ = ” xảy ra x =0 b) Các ví dụ: *Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A(x) = 2x2 – 8x + 1 ; trong đó x là biến lấy giá trị bất kỳ. Lời giải: Từ A(x) = 2x2 – 8x + 1 = 2x2 – 2.4x + 1 = 2(x2 – 2.2x + 4 – 4) + 1 Giáo viên: Đỗ Tuấn Long 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán = 2 [(x – 2)2 – 4] + 1 = 2(x – 2)2 – 7 Vì (x – 2)2 0 với x nên ta có A(x) = 2(x – 2)2 – 7 - 7. Dấu”=” xảy ra x-2 = 0 x=2 Vậy A(x)min = - 7 x = 2. *Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) B = -3x2 + 2x + 5 b) C = -x2 + 6x – 15 Lời giải: a)Ta có B = -3x2 + 2x + 5 2 1 1 1 16 16 3(x 2 x ) 5 3(x ) 2 3 9 3 3 3 3 1 (x ) 2 0 Vì 3 16 1 Vậy B x max 3 3 b) Ta có: C = -x2 + 6x – 15 = -(x2 – 6x + 9 +6) = -(x-3)2 – 6 Vì (x-3)2 0 với x C = -(x-3)2 – 6 -6 với x. Vậy Cmax = -6 x – 3 = 0 hay x = 3. Đối với đa thức bậc hai M = ax2 + bx + c ta có b b 2 b 2 b b 2 M a(x 2 x ) c a(x ) 2 (c ) a 4a 2 4a 2 2a 4a 2 b 2 b k c M a(x ) 2 k Đặt 4a 2 2a b Như vậy: a(x ) 2 0 c k 2a a)Nếu a > 0 b Khi đó MinM = k x và không có giá trị lớn nhất. 2a b b) Nếu a < 0 a(x ) 2 0 c k 2a Giáo viên: Đỗ Tuấn Long 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán b x Khi đó MaxM = k 2 a và không có giá trị nhỏ nhất. Vậy nếu: +Hệ số a > 0, tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất. +Hệ số a < 0, tam thức bậc hai có giá trị lớn nhất. 2. Phương pháp miền giá trị của hàm số: a)Kiến thức cơ sở: Giả sử ta tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị là (D). Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) với x (D). Điều này có nghĩa là phương trình: f(x) = y 0 phải có nghiệm. Sau khi giải phương trình điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức: m y0 M Từ đó suy ra minf(x) = m ; maxf(x) = M (x D) (x D) b)Các ví dụ: *Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y = -2x2 - x + 1. Lời giải: Hàm số xác định với x R, giả sử y0 là một giá trị nào đó của y, (y = y0). Xét phương trình bậc hai ẩn x: 2 -2x - x + 1 – y 0 = 0 2 2x + x + y 0 - 1 = 0 (*) Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là: = 1 – 8(y – 1) 0 -8y + 9 0 9 0 0 y0 9 8 max y 8 phương trình (*) có nghiệm kép. 1 1 Vậy 2x 2 x 0 16x 2 8x 1 0 (4x 1) 2 0 x 8 4 Giáo viên: Đỗ Tuấn Long 7