Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

1. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 1. Phần I:Đặt vấn đề Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh. Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số đó là “Số” và “Hàm số”. Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị”. Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan. Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây là nội dung đề tài. Phần II:Nội dung đề tài Một số vấn đề Lý thuyết cơ bản I/ Các hàm số trong chương trình THCS: 1. Hàm số bậc nhất: a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, x Ă b. Tính chất: + Tập xác định: Ă + Tính biến thiên; a > 0 thì hàm số đồng biến trong R a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R 2
2. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị c. Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x Ă ) là đường thẳng đi qua điểm b A(0,b) và điểm B( ; 0) a + Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm E(1; a). 2. Hàm số bậc hai: a. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y = ax2 + bx + c với a, b, c là các hằng số (a 0, x Ă ) b. Tính chất: - Tập xác đinh R - Tính biến thiên: b b + a > 0 Hàm số đồng biến trong ( ; ) và nghịch biến trong ( ; ) 2a 2a b b + a < 0 Hàm số nghịch biến trong ( ; ) và đồng biến trong ( ; ) 2a 2a b. Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0, x Ă ) là Parabol (P) có đỉnh là b b D( ; ) nhận đường thẳng x = là trực đối xứng. 2a 4a 2a Một số dạng bài tập Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số 1/ Đinh nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa. Vì vậy : - Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R - Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: x R biểu thức trong căn 0 2/ Ví dụ: + Ví dụ 1: Hàm số y = 5x – 70 có TXĐ: R 3x 2 + Ví dụ 2: Hàm số y = có TXĐ x R x 5 x 5 3
3. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 1  + Ví dụ 3: Hàm số y = 4x 1 có TXĐ: x R x  4 3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số: x2 1 2x 5 a) y = x2 2 x 1 1 b) y = c) y = x2 4 2 x x 3 x 3 Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số + Tập giá trị của hàm số : y = f(x) là tập giá trị của y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x X 1/ Cách giải: + Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y. + Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác định. 2/ Ví dụ: + Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x  1;1 Giải Ta có x 1 2x 2 2x 5 7 y 7 x 1 2x 2 2x 5 3 y 3 Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x  1;1 là y  7; 3 + Ví dụ 2: tìm miền giá trị của hàm số y = x 6 7 x Giải áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có: x 6 7 x x 6 7 x 1 y 1 Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6 7 x với x R là y R, y 1. + Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x 2;3 Giải Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1 Vậy với x 2;3 ta có y(2) y(3) 3 y 6 Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x 2;3 là 3;6 + Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 –4 Giải - TXĐ của hàm số là R 4
4. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị - Xét phương trình x2 - 4 x + 3 = y ( x 2)2 y 1 Phương trình có nghiệm y+1 0 y -1 3/ứng dụng: ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số; Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2x – x2 – 4 Giải Ta có y = 2x - x2 – 4 = - (x2 – 2x + 1) – 3 = - (x – 1)2 – 3 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1 x2 x 6 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = (1) x2 x 2 Giải 1 7 7 Hàm số có tập xác định : R vì x2 + x + 2 = (x + )2 + 2 4 4 x2 x 6 Giả sử y là một giá trị của hàm số Phương trình = y có x2 x 2 nghiệm (y - 1)x2 + (y – 1)x + 2y – 6 = 0 (2) Có nghiệm + Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm + Xét y 1 Phương trình (2) có nghiệm 0 (y –1)2 – 4(y – 1)(2y – 6) 0 (y – 1)(23 – 7y) 0 23 1 y 7 23 Vậy giá trị của hàm số là 1 y 7 23 1 + Với y = ta có x = vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 7 2 23 1 Max y = tại x = 7 2 + Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng; Tìm x R để hàm số 5
5. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị x2 x 6 4 y = nhận giá trị nguyên y = 1 + x2 x 2 x2 x 2 Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x2 + x + 2 nhận giá trị là ước nguyên của 4. Sai lầm trong lời giải ở chỗ x R nên x2 + x + 2 có thể nhận giá trị không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán. 23 + Cách giải từ việc có miền giá trị 1 y ta chỉ ra y Z y = 2 hoặc 7 y = 3 x2 x 6 Giải phương trình = 2 x2 + x - 2 = 0 x = 1; x = -2 x2 x 2 x2 x 6 = 3 2x2 + 2x = 0 x = 0; x = -1 x2 x 2 Vậy x 2; 1;0;1 thì y Z ứng dụng 2: Gải phương trình f(x) = g(x) (1) Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của chúng: f (x) m f (x) m Nếu với  x D thì f(x) = g(x) (2) g(x) m g(x) m Nếu  x0 D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x2 – 2 = x 1 x 2 2x 3 4x 13 (1) + Tập xác định : R + ta có VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x – 3) 2 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=3 VP = x 1 x 2 2x 3 4x 13 7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 13 2 x 4 2 6x x 2 7 + Vậy phương trình (1) x = 3 x 1 x 2 2x 3 4x 13 7 Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ 2: 6
6. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Giải phương trình –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x - x 2 ) = 0 (3) 2 4 3 2 7 9 2 Ta có VT = –16x + 72x – 81x + 28 – 16 x x 28 4 4 9 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 4 Đặt x 2 = t 0 =>x = t2 + 2 ta có VP = 16(t2 – t + 2) 2 1 7 = 16 t 28 2 4 1 1 9 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t = x 2 x 2 4 4 VT 28 9 Vậy phương trình (3) x VP 28 4 9 Kết luận nghiệm của phương trình là x 4 4/ Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x2 – 3x + 1 trên đoạn: a.  3;1 b. 0;2 a2 b2 a b Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3 2 2 8 b a b a x y a 1 Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 x y 2a 1 Tìm a để xy có gia trị lớn nhất. Bài 4: Giải phương trình a. 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 b. x 2 4 x x2 6x 11 Dạng III: Xác định công thức hàm số 7
7. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tương ứng 1-1 nên ta sẽ xác định được công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tương ứng. a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d có tính chất: + Đi qua điểm A(x1; y1) và điểm B(x2; y2) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1 B(x2; y2) d nên ax2 + b = y2 ax1 b y1 Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta có a, b ax2 b y2 Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1, B(x2; y2) d nên ax2 + b = y2 ax1 b y1 Ta có hệ phương trình: gải hệ phương trình đó ta có a, b ax2 b y2 Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2) Giải Vì A(1; 1) d nên a1 + b = 1, B(-1; 2) d nên a(-1) + b = 2 1 a a b 1 2 Ta có hệ phương trình: a b 2 3 b 2 1 3 Kết luận hàm số cần tìm là y = - 2x 2 b. Đồ thị đi qua điểm A(x1; y1) và song song với đường thẳng d’ có phương trình y = a1x + b1 (a 0) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1 8
8. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Vì d song song với d’ nên a = a1 => b = y1 – ax1 Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 – ax1 1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; ) và song 1 2 song với đường thẳng d’ có phương trình y = 2x - 2 Giải 1 1 Vì A(1; ) d nên a + b = 2 2 3 Vì d song song với d’ nên a = 2 => b = - 2 3 Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - 2 c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1; y1) và vuông góc với đường thẳng d’ có phương trình y = a1x + b1 (a 0) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1 1 1 Vì d vuông góc với d’ nên aa1 = -1 a = b = y1 + x1 a a 1 1 1 1 Kết luận hàm số cần tìm là y = y1 x1 a1 a1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông góc 1 3 với đường thẳng d có phương trình y = - x + 2 2 Giải Vì A(1; 1) d nên a + b = 1 Vì d vuông góc với d’ nên aa1 = -1 a = 2 b = -1 Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1 d. Đồ thị qua điểm A(x1; y1) và tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x + c’ (a’ 0) Giải Vì A(1; 1) d nên ax1 + b = y1 (1) Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x+c’ nên phương trình hoành độ giao điểm : ax + b = a’x2 + b’x+c’ có nghiệm kép  a’x2 + (b’ – a)x = c’ – b = 0 có nghiệm kép  = (b’ – a)2 – 4a’(c’ – b) = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số. 9