Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình có chứa dấu căn bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình có chứa dấu căn bậc hai

1. LỜI NĨI ĐẦU Trong quá trình dạy học, tơi đã nghiên cứu và tham khảo các tài liệu về chuyên đề đại số và giải tích ở cấp trung học phổ thơng. Tơi thấy rằng việc hệ thống lại các dạng cơ bản và phương giải phương trình chứa căn cho học sinh lớp 10 là thực sự cần thiết, nhằm giúp cho học sinh lớp 10 ( học theo chương trình mới ) tiếp cận với việc giải một phương trình cĩ dấu căn bậc hai một cách hiệu quả và cĩ hệ thống. với lí do đĩ, tơi đã viết đề tài này. Đây là một đề tài nhỏ nhằm phục vụ cho việc dạy học mơn tốn cho học sinh lớp 10 ở chương trình nâng cao và bổ trợ kiến thức cho học sinh lớp 10 ban cơ bản trong tiết học tự chọn ( cĩ thể thực hành trong 2 hoặc 3 tiết dạy ), trong chuyên đề này tơi đề cặp đến dạng tốn: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU CĂN BẬC HAI Đối với phần này, tơi hệ thống lại một số dạng tốn cơ bản thường thấy khi giải phương trình cĩ dấu căn bậc hai gồm cĩ các nội dung sau: 1. Tìm tập nghiệm của phương trình thơng qua tập xác định của phương trình. 2. Dạng cơ bản của phương trình cĩ chứa dấu căn bậc hai 3. Giải một phương trình chứa dấu căn bậc hai bằng cách đổi biến 4. Dùng phương pháp bất đẳng thức và đánh giá ước lượng hai vế của phương trình 5. Phương pháp biến thiên hằng số 6. Một số dạng tốn khác 7. Phương trình chứa dấu căn bậc hai cĩ chứa tham số. Xin cảm ơn các thầy cơ ở trường THPT Phước Thiền đã chân thành gĩp ý kiến cho tơi hồn thành đề tài. Mặt dù cĩ nhiều cố gắng, nhưng do kinh nghiệm khơng nhiều nên thiếu sĩt là điều khơng tránh khỏi, mong các thầy cơ chân thành gĩp ý để tơi cĩ kinh nghiệm tốt hơn trong cơng tác dạy học mơn tốn. Chân thành cảm ơn ngày 25 tháng 3 năm 2009 Trang 1
2. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU CĂN BẬC HAI (chủ đề đáp ứng lớp kiến thức lớp 10 – ban khoa học tự nhiên và phục vụ tiết dạy tự chọn cho học sinh lớp 10 ban cơ bản) o0o 1. TÌM TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH THƠNG QUA TẬP XÁC ĐỊNH: Trong phần này, tơi nêu ra hai ví dụ mà phương trình chứa dấu căn cĩ tập xác định là một phần tử, nhằm làm rõ với học sinh ý nghĩa tập xác định của phương trình chứ dấu căn và tập nghiệm của phương trình. Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình : a. x2 4 x2 x 2 2 b. 9 x2 x 3 x2 3x 4 2 Giải a. x2 4 x2 x 2 2 (1) x 2 x2 4 0 đk : x 2 x 2 2 x x 2 0 2 x 1 Với x = – 2 (1) 0 = 2 nên phương trình đã cho vơ nghiệm b. 9 x2 x 3 x2 3x 4 2 (2) 9 x2 0 3 x 3 đk x 3 0 x 3 x 3 2 x 3x 4 0 Với x = 3, (2) 2 = 2 Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (2) Nhận xét: - Trong hai ví dụ trên, học sinh cần nắm được một kiến thức là: nếu tập xác định của một phương trình là tập hữu hạn giá trị đếm được, thì ta cĩ thể lần lượt thế các phần tử trong tập xác định đĩ vào phương trình để xác định tập nghiệm của phương trình đĩ. - Học sinh khơng nên sai lầm khi tập xác định là một phần tử thì phần tử đĩ chính là nghiệm của phương trình. Trang 2
3. 2. DẠNG CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU CĂN BẬC HAI: Trong phần này tơi nêu ra hai dạng phương trình chứa dấu căn bậc hai thường thấy để học sinh tham khảo và vận dụng khi gặp các dạng cơ bản đĩ. Giả sử f(x) và g(x) là hai biểu thức chứa x ( f(x), g(x) là một biểu thức cĩ nghĩa ) . Khi đó: g(x) 0 1. f(x) g(x) 2 (I) f(x) g(x) g(x) 0 hay f(x) 0 2. f(x) g(x) (II) f(x) g(x) Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. 2x 1 x 1 b. 2x 1 2x2 5x 4 c. 5x2 12x 8 2 x 4 4 x d. 3x 7 4 x x 6 e. 2 x 2 Giải a. Cách giải 1: (áp dụng công thức (I) để giải ) x 1 x 1 0 x 1 2x 1 x 1 x 4 2 2 x 0 2x 1 x 1 x 4x 0 x 4 Vậy phương trình có nghiệm x = 4 Cách giải 2: 2x 1 x 1 (1) 1 Điều kiện: 2x + 1 ≥ 0 x ≥ 2 Nếu x < 1 phương trình vô nghiệm. Nếu x ≥ 1 (1) x2 – 4x = 0 x = 0 hoặc x = 4 So đk: phương trình có một nghiệm x = 4 Nhận xét: - Trong nhiều trường hợp, học sinh hay nhằm lẫn cơng thức ( I ) và cách tìm tập xác định của phương trình, nên khi giáo viên dạy cho học sinh cách giải phương trình bằng cơng thức (I) cần làm rõ cho học sinh hiểu được đâu là điều kiện xác định của phương trình, đâu là vận dụng cơng thức để giải bài tốn. Trang 3
4. b. 2x 1 2x2 5x 4 cách 1: 1 x 3 2x 1 0 x pt 2 1 2 2x 1 2x 5x 4 2 x 2x 7x 3 0 2 1 Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x 3, x 2 cách 2: 2 2 x 3 2x 5x 4 0 2x 5x 4 0 pt 1 2x 1 2x2 5x 4 2x2 7x 3 0 x 2 1 Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x 3, x 2 Nhận xét: - Trong ví dụ này học sinh cần chú ý: việc biến đổi phương trình dẫn đến điều kiện 2x + 1 ≥ 0 hoặc 2x2 – 5x + 4 ≥ 0. - Trong trường hợp điều kiện của một phương trình cĩ tính phức tạp, ta khơng cần giải điều kiện đĩ mà ta thay các giá trị nghiệm của phương trình tìm được vào và nhận nghiệm thỏa điều kiện. c. 5x2 12x 8 2 (2) 5x2 12x 8 4 x 2 5x2 12x 4 0 2 x 5 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5 Nhận xét: - Trong ví dụ này ta khơng thấy điều kiện g(x) ≥ 0 là vì vế phải bằng 2 là một số dương. d. 3x 7 4 x x 6 (3) Trang 4
5. 7 x 3x 7 0 3 7 đk: 4 x 0 x 4 x 4 3 x 6 0 x 6 Với điều kiện trên, hai vế của phương trình đều dương nên ta cĩ: (3) 3x 7 4 x x 6 3x 3 2 4 x x 6 x 1 x 1 x 3 x 3 13x2 10x 87 0 29 x 13 Vậy phương trình có ngiệm x = 3 Nhận xét: - Trong nhiều trường hợp, khi giải một phương chứa dấu căn bậc hai ta phải bình phương hai vế của phương trình nhiều lần mới cĩ thể đưa về dạng cơ bản. - Khi bình phương hai vế của một phương trình, học sinh cần chú ý là đang vận dụng phép biến đổi tương đương hay phép biến đổi đổi để đưa ra phương trình hệ quả. Thơng thường khi bình phương hai vế của một phương trình, ta cần chú ý đến tính chất hai vế của phương trình cùng dấu hai khác dấu. x 5 5 x e. 1 (4) x x 5 0 5 x 5 đk: 5 x 0 x 0 x 0 (4) x 5 5 x x x 0 x 0 x 0 x 0 2 2 2 x 10 0 25x 160 0 x 4 2 x 5 5 x x 2 25 x2 x2 10 4 2 x 0 x 16x 0 x 4 x 4 Vậy phương trình có nghiệm x = 4 Trang 5
6. 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ: Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán đổi biến thường thấy trong kiến thức toán lớp 10 và cách giải chúng thông qua các ví dụ minh họa. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. x2 2x 2x2 4x 3 b. x 1 x 2 x2 3x 4 c. 2 x 2 7 x x 2 7 x 3 d. 2x2 1 2x2 1 4 x2 1 3 2x2 1 Giải a. x2 2x 2x2 4x 3 đặt t = x2 2x t2 = x2 + 2x, t ≥ 0 ta được phương trình : t = – 2 t2 + 3 2t2 + t - 3 = 0 t = 1 hoặc t = – 1,5 (loại) x 1 2 t = 1 x2 2x 1 x2 2x 1 0 x 1 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm là: x 1 2, x 1 2 b. x 1 x 2 x2 3x 4 x2 3x 2 x2 3x 4 Đặt t = x2 3x 2 x2 + 3x = t2 – 2 , t ≥ 0 Ta được phương trình: t = t2 – 2 – 4 t2 – t – 2 = 0 t = 2 hoặc t = – 1 ( loại ) 3 17 x 2 2 2 Với t = 2 x 3x 2 2 x 3x 2 0 3 17 x 2 3 17 3 17 Vậy phương trình cĩ nghiệm là: x , x 2 2 Nhận xét: - Trong hai ví dụ a và b ta cần chú ý: • Vế phải của hai phương trình này này khơng cĩ căn bậc hai và cĩ bậc là 2n nếu ta bình phương hai vế của phương trình thì dẫn đến một phương trình bậc 4 đủ, vì thế việc giải phương trình là điều khơng khả thi. Trang 6
7. • Trong hai ví dụ này, ta cĩ thể khái quát lên thành dạng tổng quát cĩ dạng phương trình như sau: ax2 bx   ax2 bx  , t 2  khi đĩ ta đổi biến t = ax2 bx  ax2 bx , 0 , t ≥ 0 - Tuy nhiên trong một vài trường hợp, nếu phương trình trên cĩ nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên ( cĩ thể trùng nhau ) ta vẫn cĩ thể giải bằng cách bình phương hai vế của phương trình. c. 2 x 2 7 x x 2 7 x 1 Cách 1: 2 2 Đặt t = x 2 7 x 0 t 12 12 x 2 7 x 10 và t2 – 5 = 2 x 2 7 x Ta được phương trình: t2 – 5 – t = 1 t2 – t – 6 = 0 t = 3 hoặc t = – 2 (loại ) Với t = 3 x 2 7 x = 2 x2 – 9x + 18 = 0 x = 6 hoặc x = 3 Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x = 6, x = 3 Cách 2: Đặt u x 2, v 7 x , u ≥ 0, v ≥ 0 2uv u v 1 Ta được hệ phương trình: 2 2 u v 5 (u + v)2 – (u + v) – 6 = 0 (u + v) = 3 hoặc u + v = – 2 (loại) u v 3 Từ đĩ ta cĩ hệ phương trình uv 2 u, v là hai nghiệm của phương trình : X2 – 3X + 2 = 0 X = 1 hoặc X = 2 x 2 1 x 2 2 hoặc x 3 hoặc x =6 7 x 2 7 x 1 Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x = 6, x = 3 Nhận xét: 2 2 - Trong dạng phương trình này học sinh cần nhận xét là : x 2 7 x 5 ( hằng số ), t2 – 5 = 2 x 2 7 x , cần chú ý đến điều kiện của biến trung gian để việc giải bài tốn cĩ nhiều thuận lợi. Trang 7
8. - Trong cách giải thứ nhất nếu phương trình rơi vào trường hợp như nhận xét ở trên thì ta cĩ lợi thế hơn, tuy nhiên trong trường hợp tổng quát ax b cx d  ax b cx d  thì việc vận dụng cách giải hai là cĩ lợi thế hơn rất nhiều: bu2 cv2 cb ad Cụ thể như sau: đặt u ax b, v cx d , u ≥ 0, v ≥ 0 ta cĩ hệ: uv  (u v)  -Với cách đổi biến thứ 2, về lí thuyết, ta cĩ thể giải được nhiều bài tốn dạng này một cách thuận lợ hơn. d. 2x2 1 2x2 1 4 x2 1 3 2x2 1 pt 2x2 1 2x2 1 2 2x2 1 3 2x2 1 6 Đặt t = 2x2 1 , t ≥ 1 Ta được phương trình : t3 – 2t2 – 3t + 6 = 0 ( t – 2 )(t2 – 3 ) = 0 t = 2 hoặc t = 3 hoặc t = – 3 ( loại ) 6 Với t = 2 2x2 1 = 2 x = 2 Với t = 3 2x2 1 = 3 x = 1 6 Vậy phương trình cĩ bốn nghiêm là: x = , x = 1 2 4. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐÁNH GIÁ ƯỚC LƯỢNG: Ví dụ: giải các phương trình sau: a. x2 2x 2 4x2 12x 13 3 (1) b. x6 2x3 26 5x2 2 x2 Giải a. x2 2x 2 4x2 12x 13 3 2 Ta cĩ: x2 2x 2 x 1 1 1,x ¡ 2 4x2 12x 13 2x 3 4 2,x ¡ 2 x 1 x 2x 2 1 (1) 3 x  4x2 12x 13 4 x 2 Vậy phương trình vơ nghiệm Trang 8