SKKN Một số phương pháp và hệ thống bài tập minh họa cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (Của hàm số hay biểu thức)

Nội dung text: SKKN Một số phương pháp và hệ thống bài tập minh họa cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (Của hàm số hay biểu thức)

1. SKKN GTLN – GTNN. I. TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP và HỆ THỐNG BÀI TẬP MINH HỌA CHO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ( của hàm số hay biểu thức ) II. ĐẶT VẤN ĐỀ: Bài toán tìm GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số đối với học sinh trung học phổ thông là một dạng toán luôn có sự thu hút mạnh mẽ đặc biệt đối với học sính khá giỏi. Đối với các đề thi đại học đề thi học sinh giỏi, thì đây là một thách thức thật sự, học sinh muốn vượt qua cần có một nền tảng cơ sở về phương pháp. Vì vậy đề tài này muốn hệ thống cho học sinh các phương pháp và các dạng toán từ dễ đến khó để tạo đà tâm lý cho học sinh, giúp các em có một nền tảng cơ sở về phương pháp để từ đó mạnh dạng và sáng tạo hơn trong học tập. Hệ thống phương pháp mà đề tài giới thiệu hoàn toàn dựa trên cơ sở lý thuyết của sách giáo khoa hiện hành . MỤC TIÊU CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI LÀ GIÚP HỌC SINH ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ( CỦA HÀM SỐ HAY BIỂU THỨC ) Ở DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG & CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Các phương pháp đề tài giới thiệu là những phương pháp sử dụng các công cụ mà chương trình ( SGK – (sách giáo khoa) ) hiện hành đã giới hạn như: Phương pháp nhóm so sánh , phương pháp tìm tập giá trị của hàm số ( hai phương pháp này dùng phổ biến cho đại số 10 và lượng giác 11 ), phương pháp lập bảng biến thiên ( sử dụng công cụ đạo hàm - dùng phổ biến cho chương trình 12 ), ngoài ra mặt dầu chương BĐT ( bất đẳng thức ) SGK đã giảm tải nhiều nhưng chương trình vẫn giới thiệu BĐT chứa dấu GTTĐ ( giá trị tuyệt đối ), BĐT Bunhiacôpxki. Ngoài ra trong bài véctơ , phần bài tập SGK vẫn cố gắng giới thiệu BĐT véctơ và thực tế một số lần đề thi ĐH ( đại học ) có sử dụng phương pháp này nên trong đề tài cũng có một số ví dụ sử dụng các cộng cụ trên. III. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. ĐỊNH NGHĨA: ⎪⎧ f ()xMxD≤ ,∀∈ a. MM=⇔ax fx ( ) ⎨ D ⎩⎪∃xoo∈=Dfx,( ) M ⎧ f ()xmxD≥∀∈ , b. mMinfx=⇔() ⎨ D ⎩∃xoo∈=Dfx,() M 2. TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: Giả sử hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Gọi T là tập giá trị của f(x), ta có TyRyfxv=∈{ /(),oi = xD ∈} Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam 1
2. SKKN GTLN – GTNN. 3. CÁC BĐT CÓ LIÊN QUAN a. BĐT Cô-si : xi ≥ 0, ( i = 1, , n ) x + xx++ n 12 ≥ n x xx n 12 n Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi x1 = x2 = = xn . b.BĐT về GTTĐ ( giá trị tuyệt đối ) ||ababababR |−++ | ||≤ | |≤ | | | | , ( , ∈ ) (1) (2) Dấu đẳng thức (1) xảy ra kck a.b ≤ 0, (2) xảy ra kck a.b ≥ 0 . c.BĐT về véc tơ : JGJG G G 1/ ||||||ab+ ≤+ a b JG G Dấu đẳng thức xảy ra kck ab, cùng hướng JGJG GJGGG 2/ −||||ab≤≤ ab . |||| ab (1) (2) JG G Đẳng thức (1) xảy ra Ù ab, ngược hướng, JG G Đẳng thức (2) xảy ra Ù ab, cùng hướng d. BĐT Bun-nhi-a-cốp-xki: Với hai bộ n số thực (a1,a2, , an) , (b1,b2, ,bn) ta có : (ab++ a b a b )222222 ≤++++++ ( a a )( b b b 2 ) 11 2 2nn 1 2 n 1 2 n Dấu đẳng thức xảy ra kck a1: a2: : an = b1: b2: : bn IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN Trên tinh thần giảm tải nên số tiết cũng như lượng bài tập của chương trình dành cho nội dung bài toàn tìm GTLN, GTNN của hàm số là có hạn chế, trong khi ứng dụng của bài toán này là quá lớn. Các bài toán giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình phổ biến trong các đề thi ĐH thường có sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đánh giá, so sánh các phương pháp này có liên quan chặt chẻ với TẬP GIÁ TRỊ ( hay GTLN GTNN ) của hàm số. Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có mặt xuyên suốt cả ba cấp học phổ thông, cho thấy nó được giới thiệu rời rạc. Ở chương trình cấp 3 lần đầu tiên được giới thiệu dưới dạng bài tập như một ứng dụng của BĐT ở bài BĐT của chương trình Đại Số lớp 10 , và lại được giới thiệu dưới dạng bài tập rãi rác trong các bài học của chương trình lớp 10 và 11, cuối cùng ở chương trình 12 nó chính thức là tiêu đề của một bài học nhưng phương pháp ( lập BBT ) chỉ mang ý nghĩa bổ sung cho các phương pháp đã biết trước đó. Trong khi đề thi tốt nghiệp các năm gần đây bao giờ cũng có câu tìm GTLN, GTNN của hàm số, còn với đề thi ĐH thi câu tìm GTLN, GTNN của hàm số lại là một thách thức với các em, ngoài ra việc giải quyết bài toán tìm GTLN, Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam 2
3. SKKN GTLN – GTNN. GTNN của hàm số giúp các em rất nhiều cho các bài toán giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình có trong các đề thi ĐH . Việc có một tài liệu hệ thống lại các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số là hết sức cần thiết ( vì các em đã được học rất rời rạc mà vai trò của nó trong các đề thi là hết sức quan trọng ). Trước mắt là tạo một nền tảng cơ bản về phương pháp , giúp cho học sinh tự tin hơn khi giải quyết bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số. V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Trong phần này đề tài đề cập tới 3 phương pháp cơ bản thường dùng để tìm GTLN, GTNN của hàm số là : Sử dụng “điều kiện có nghiệm của phương trình”. Sử dụng “Bất đẳng thức”. Sử dụng “Bảng biến thiên”. phương pháp sử dụng BĐT được ưu tiên cho bđt Cô-si , số còn lại là Sử dụng bđt về véctơ và bđt về dấu GTTĐ (giá trị tuyệt đối), hai bđt này vẫn được giới thiệu trong SGK hiện hành, nhưng do yêu cầu giảm tải mà các đề thi ít chú trọng hơn. 1.Phương pháp 1: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và y là tham số . Từ điều kiện của y để phương trình có nghiệm x ( thuộc tập xác định của phương trình ) ta suy ra tập giá trị của y , từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) x2 − x Ví dụ 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = (*) x2 − x +1 TXĐ : D = R xx2 − ∀x ∈ D, yxxyxxyx=−+=−⇔−⇔+++−=((2)30221) ( 1) 2 yxy x2 −+x 1 y = 1. (*) có nghiệm x = 2 (1) 3 10−+ 76 10 76 y ≠ 1. (*) có nghiệm Ù ∆≥0 Ù 3y2 – 20y – 8 ≤ 0 Ù ≤≤y (2) 33 10+ 76 10− 76 Kết luận: từ (1) và (2) ta có : max y = ; min y = D 3 D 3 Nhận xét: Có thể sử dụng BBT để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên. xx2 −8 + 7 Ví dụ 2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = (*) x2 +1 * D = R * y ≥ 0 ∀ x ∈ D, y = 0 Ù x2 – 8x + 7 = 0 Ù x = 1 hoặc x = 7 . Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam 3
4. SKKN GTLN – GTNN. Vậy minyxvx=⇔= 0 1 = 7 D x2 −8x + 7 * Xét y = x2 +1 2 x −8x + 7 2 ∀ x ∈ D , y = Ù (y – 1 )x + 8x + y – 7 = 0 . (*) x2 +1 y = 1 : (*) có nghiệm x = ¾ y ≠ 1 : (*) có nghiệm Ù ∆≥0 Ù -y2 + 8y + 9 ≥ 0 Ù -1 ≤ y ≤ 9 1 suy ra 0 ≤ | y | ≤ 9. Vậy max yx= 9⇔=− D 2 Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2sin2x + 4sinxcosx + 5cos2x * cosx = 0 , suy ra y = 2 . (1) 2tan2 x + 4tanx + 5 * cosx ≠ 0 . y được viết lại y = 1tan+ 2 x 245tt2 + + Đặt t = tanx, t ∈ R , ta có y = , 1+t2 Giải tương tự như trên ta tìm được : Tập giá trị của hàm số là: 1 ≤ y ≤ 6 . (2) Từ (1) và (2) suy ra: max y = 6 , min y =1 D D Nhận xét: phương pháp tìm tập giá trị của hàm số có ưu điểm là có thể không cần chỉ ra giá trị của x mà tại đó hàm số đạt GTLN hay GTNN . 2.Phương pháp 2: Sử dụng Bất Đẳng Thức Từ trường hợp và điều kiện dấu đẳng thức trong các BĐT xảy ra ta sẽ suy ra được GTLN, GTNN của hàm số. Ví dụ 1: Cho 0 ≤ x ≤ 1. Tim GTLN của hàm số a/ yx(1-x)= 3 b/ yx1-x= 3 Giải : a/ Ta có 4 3 1 13111)27⎛⎞xxxx+− +− +− yx(1-x)= =3(1)(1)(1)xxxx −−−≤⎜⎟ ≤ 334256⎝⎠ 27 Vậy myax = [0;1] 256 4 3 3 3 1133⎛⎞ b/ Ta có y = x (1 – x ) = (1−−−xxxx )(1 )(1 )3 ≤⎜⎟ ≤ 334⎝⎠ 44 3 3 suy ra y ≤ , Vậy myax = 443 [0;1] 443 Ví dụ 2: Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam 4
5. SKKN GTLN – GTNN. x 2 a/Cho x > 1 . Tìm GTNN của hàm số : y =+ 21x − 49 b/Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của hàm số : y =+ x 1− x Giải: x 2 x −12115 a/ Ta có y =+ Ù y =++ ≥+2 = 21x − 21x − 222 5 x −12 Suy ra min y = Ù = Ù x = 3 (1;+∞ ) 2 21x − 49 4(x + 1−+−xxx ) 9( 1 ) 4(1− xx ) 9 b/ Ta có y =+ Ù y =+= + +13 x 1− x x 1− x x 1− x Suy ra y ≥ 2.6 + 13 = 25 4(1− x ) 9x 2 Vậy miny = 25 Ù = Ù x = (0;1) x 1− x 5 Ví dụ 3: Cho hai số thực x,y thỏa 3x + 4y = 5. Tìm GTNN của biểu thức P = 4x2 + 2y2. Giải: Ta có 2 222⎛⎞⎛⎞39 41 (3x += 4yx )⎜⎟⎜⎟ .2 + 2 2. 2 y ≤++ 8 4 xy 2 Ù 25 ≤ P ⎝⎠⎝⎠24()4 ⎧ 15 ⎧ 32 x = 100 100 = ⎪ Suy ra P ≥ , min P = Ù ⎪4xy Ù 41 41 41 ⎨ ⎨ 40 ⎪34x + y = 5 ⎪ y = ⎩ ⎩⎪ 41 Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số : f(x,y) = x2 + 2y2 – 2xy – 6x + 2y + 15 Giải: D = R Ta tìm m lớn nhất sao cho f(x,y) ≥ m ∀ x,y Ùx2 – 2(y+3)x + 2y2 + 2y + 15 – m ≥ 0, ∀ x,y Ù ∆≤0 , ∀ y Ù (y + 3)2 – (2y2 + 2y + 15 – m) ≤ 0 , ∀ y Ù y2 - 4y + 6 – m ≥ 0 , ∀ y Ù∂ = 4 – 6 + m ≤ 0 Ù m ≤ 2 ⎧∆ = 0 Dấu đẳng thức xảy ra kck ⎨ Ù m = 2, x = 5, y = 2 ⎩∂ = 0 Ví dụ 5: Tìm GTNN của hàm số yxx= 22−++45 xx −+ 610 Giải: Ta có yx= (−++−+ 2)1(22 x 3)1 G G Trong mặt phẳng xét : ax=−(2;1),(3;1) b =− x Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam 5
6. SKKN GTLN – GTNN. GGGG ya=+≥+=||||| b ab | 5 Khi đó ⎧xkx−=2(3) − 5 minyx=⇔ 5 ⎨ ⇔= ⎩1 = k 2 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : yx= +−+6.6 x22 x − x Giải: GG Xét các véc tơ: ax=−=−( ; 1; 6 xb22 ) , (1; 6 xx ; ) GG JJGG Khi đó yaba=.||.|| ≤ b = x2222 ++− 16.16 x +− x + x = 7 ⎧xk= ⎪ 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi: ⎨16= kxk−> ,0 Ù x = 2 ⎪ 2 ⎩⎪ 6x−=xk Ví dụ 7: Tìm GTNN của hàm số: 1. y = | x – 2 | + | x – 3 | 2. y = | x – 2 | + | x – 3 | + | 2x + 3| Giải: 1. y = | x – 2 | + | 3 – x | ≥ | x – 2 + 3 – x | = 1 Miny = 1 Ù (x-2)(3-x) ≥ 0 Ù 2 ≤ x ≤ 3 2. y = | x – 2 | + | x – 3 | + | - 2x - 3| ≥ | x – 2 + x – 3 – 2x – 3 | ≥ 8 ⎧(2)(3)0xx−−≥ 3 Miny = 1 Ù ⎨ Ù − ≤≤x 2 ⎩(2xx−−−≥ 5)( 2 3) 0 2 Ví dụ 8: tìm GTLN, GTNN của hàm số y = | x2 – 5 x + 4 | trên [-1; 3] 2 9 Xét : y1 = x – 5 x + 4 , ta dễ dàng tìm được − ≤≤y 10 trên [-1; 3] 4 1 Suy ra : 0 ≤ y = | y1| ≤ 10 Vậy trên [-1; 3] , maxy = 10 Ù x = -1, miny = 0 Ù x = 1 v x = 4 3.Phương pháp 3: sử dụng BẢNG BIẾN THIÊN Tương tự phương pháp 1 từ BBT ta dễ dàng suy ra tập giá trị của hàm số , từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : yfx==−++−+−() 3 x x 1 ( x 1)(3 x ) Giải: D = [-1; 3] Đặt t = 31−+x x + , => txx2 = 42(++− 1)(3) => tt2 ≥⇒≥42. 2(xx+−≤ 1)(3)4 => t 2 ≤⇒≤822t t 2 − 41 Khi đó : f ()xgtt= ()=− =− tt2 ++ 2 với t 1 2 22 22 f'(t) + 0 - 222≤≤t 5 t = 2 Ù x = - 1 v x = 3 f(t) 2 2 22-2 t = 2 2 Ù x = 1 Vậy: myax= 2⇔=− x 1 vx = 3 [-1;3] Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam 6
7. SKKN GTLN – GTNN. minyx=−⇔= 2 2 2 1 [-1;3] Nhận xét: có thể tìm tập giá trị của ẩn phụ t = 31− x ++x , bằng cả 3 cách đã nêu trên. Tuy nhiên dùng BĐT là nhanh nhất. Ví dụ 2: Tìm GTLN, LTNN của hàm số y = sin4x + cos4x – sinxcosx + 2 Giải: D = R y = 1- 2sin2xcos2x – sinxcosx + 2 = - 1 (sin2x)2 – 1 sin2x + 3 2 2 Đặt t = sin2x , -1 ≤ t ≤ 1, Ta được : y = f(t) = - 1 t2 – 1 t + 3 , với -1 ≤ t ≤ 1 1 2 2 -1 - 1 ⎡ π t 2 x =− +kπ 1 1 ⎢ 12 f'(t) + 0 - t = - => sin2x = - Ù ⎢ 2 2 7π f(t) 25 ⎢x =+kπ ⎣⎢ 6 3 2 8 π t = 1 => sin2x = 1 Ù x =+kπ 4 ⎡ π x =− +kπ 25 ⎢ 12 π Vậy: myax = Ù ⎢ ; miny = 2 Ù x =+kπ R 8 7π R 4 ⎢x =+kπ ⎣⎢ 6 Ví dụ 3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = f(x) = sinx – cosx – sin2x + 1 Giải: D = R Đặt t = sinx – cosx , t ∈ [- 2 ; 2 ] , 2sinx.cosx = 1 – t2 Khi đó f(x) = g(t) = t2 + t + 1, với t ∈ [- 2 ; 2 ] 1 - t = 2 Ù sinx – cosx = 2 t -2 2 2 3π - + Ù x = x =+k2π f'(t) 0 4 f(t) 3-2 3 3+2 3 1 1 3 t = - Ù sinx – cosx = - 2 2 4 π 1 Ù sin(x −=− ) 4 22 3 Vậy: myax=+ 3 2 2 ; min y = R R 4 Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam 7