SKKN Kinh nghiệm khai thác bài tập 95 trang 105 (SGK) Hình học 9 Tập 2

Nội dung text: SKKN Kinh nghiệm khai thác bài tập 95 trang 105 (SGK) Hình học 9 Tập 2

1. Khai thác bài tập 95 trang 105 SGK hình học 9 tập 2 Kinh nghiệm khai thác bài tập 95 trang 105 (sgk) hình học 9 tập 2 A. đặt vấn đề : Muốn nâng cao hiệu quả của các giờ lên lớp, người thầy giáo phải biết lựa chọn phương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy nâng cao nhận thức, thúc đẩy tính năng động sáng tạo và giải quyết tốt các vấn đề đặt ra. Nhưng trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong bài học giáo viên chỉ đưa ra các bài tập trong (SGK), học sinh biết giải các bài tập đó. Việc chỉ dừng lại và giải các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học toán đặc biệt môn hình học. Nếu áp dụng với cách học này, học sinh không những không tiến bộ mà sẽ gây cho học sinh sự chắn nản trong học toán. Không kích thích được tính tò mò, tư duy, sáng tạo cho học sinh, mỗi khi giáo viên đưa ra một bài toán mới thì học sinh không biết xuất phát từ đâu, cần vận dụng kiến thức nào. Qua nhiều năm giãng dạy và bồi dưỡng toán 9 tôi nhận thấy việc khai thác, mở rộng và phát triển các bài toán từ một bài toán trong (SGK) sẽ kích thích cho học sinh tính sáng tạo, phát triễn tư duy, học sinh có sự móc nối các kiến thức lại với nhau. Với cách học và cách dạy như thế này luôn tạo cho học sinh tình huống có vấn đề, bắt buộc học sinh luôn phải tìm tòi, suy nghỉ giải quyết các vấn đề đặt ra. Sau đây tôi xin nêu ra một số cách khai thác các bài toán từ một bài toán cơ bản trong (SGK) toán 9 như sau . B. giải quyết vấn đề : I/ Bài toán cơ bản : Bài tập 95 (SGK hình học 9 tập 2 trang 105) Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của ABC cắt nhau tại H (Cà 900 ) và cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng : a/ CD = CE ; b/ BHD cân ; c/ CD = CH Bài giải :Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD với A E BC và BE với AC N a/ Ta có : Dã AC ãAHN 900 và Cã BE Bã HM 900 H Dã AC ãAHN Cã BE Bã HM ( = 900) B C Mà ãAHN Bã HM ( đối đỉnh ) M D 1
2. Khai thác bài tập 95 trang 105 SGK hình học 9 tập 2 Dã AC Cã BE EằC DằC ( các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau ) CD CE ( Liên hệ giữa cung và dây ) b/ Ta có CằD CằE ( cmt) Eã BC Cã BD ( hệ quả góc nội tiếp) BHD cân ( Vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác ) c/ Ta có BHD cân tại B BC là đường trung trực của HD ( vì BC chứa BM) CD = CH ( tính chất đường trung trực ) II/ Khai thác các bài toán từ bài toán cơ bản : Nhận xét 1 : Ta có CH là đường cao của ABC nên kẻ đường cao CH cắt AB tại Q cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại F. Từ câu a ta có : CD CE CằD CằE Cã FD Cã FE FC là phân giác A E của Eã FD . Tương tự DA là tia phân giác của Eã DF ; EB là N tia phân giác của Dã EF H là tâm của đường tròn nội tiếp Q DEF nên ta có thể khai thác bài toán sau ; H C B M D Bài toán 1 : Các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của ABC cắt nhau tại H ( Cà 900 ) và cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần lượt tại D, E, F . Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp DEF . Nhận xét 2 : Từ câu b, c của bài toán cơ bản ta có : BD = BH, CD = CH BDC BHC (c.c.c). Tương tự : AFB AHB ; AEC AHC các đường tròn ngoại tiếp : AHB; BHC; AHC có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC nên ta có thể khai thác thêm bài toán sau : Bài toán 2 : Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O và H là trực tâm của ABC . CMR bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác : AHB; BHC; AHC có cùng bán kính với đường tròn ngoại tiếp ABC . Nhận xét 3 : Từ câu a của bài toán cơ bản ta có : CD = CE , nếu gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC thì OC là đường trung trực của ED . 2
3. Khai thác bài tập 95 trang 105 SGK hình học 9 tập 2 Dễ dành chứng minh được tứ giác ABMN nội tiếp đường A E tròn đường kính AB . N ã ã ẳ BAM BNM ( góc nội tiếp cùng chắn cung BM ) Q F O Mặt khác : Bã AD Bã ED ( góc nội tiếp cùng chắn cung H C BằD ) B M ã ã BNM BED MN // DE . D Từ nhận xét này ta có thể khai thác thêm bài toán sau Bài toán 3 : Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D, E, F ( M BC; N AC;Q AB ). Chứng minh rằng : OC  MN. Nhận xét 4 : Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AQHN nội tiếp đường tròn đường kính AH Bã AD Qã NH ( góc nội tiếp cùng chắn cung QẳH ) Tương tự chứng minh được tứ giác CNHM nội tiếp đường tròn đường kính HC Bã CF Mã NH ( góc nội tiếp cùng chắn cung MẳH ). Mặt khác : Bã HD Bã CF ( hai góc nội tiếp cùng chắn hai A E cung bằng nhau ) N Qã NH Mã NH NH là tia phân giác của Qã NM . Q F O H Ta lại chứng minh được : QH là tia phân giác Nã QM ; C B M NM là tia phân giác của Qã MN D H là tâm của đường tròn nội tiếp QNM . Do đó ta có thể khai thác thêm bài toán sau. Bài toán 4 : Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H ( M BC; N AC;Q AB ) và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D, E, F . Chứng minh rằng : a/ Tứ giác : AQHN; CNHM nội tiếp b/ H là tâm đường tròn nội tiếp QNM . Nhận xét 5 : Dễ thấy đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQHN và đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMHN cắt nhau tại 2 điểm H và N. 3
4. Khai thác bài tập 95 trang 105 SGK hình học 9 tập 2 . AH, CH lần lượt là các đường kính của hai đường tròn A E trên. Nếu ta gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm N của CH. Khi đó IK gọi là đoạn nối tâm IK là đường I Q F trung trực của HN. Với nhận xét này ta có bài toán sau : O H K C B M D Bài toán 5 : Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H ( M BC; N AC;Q AB ) và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D, E, F . Gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng : IK  NH. Nhận xét 6 : Từ bài toán cơ bản , nếu ta gọi P là A trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P khi N đó ta có tứ giác BHCT là hình bình hành CT // BN Q H O CT AC ( vì BN  AC ) ãACT 900 . P C Tương tự ãABT 900 tứ giác ABTC nội tiếp B M đường tròn O T thuộc đường tròn tâm O. Với nhận xét T này ta có thể khai thác thêm bài toán sau . Bài toán 6 : Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H ( M BC; N AC;Q AB ). Gọi P là trung điểm của BC , T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh rằng tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn Nhận xét 7 : Nếu gọi R là bán kính của đường tròn nội tiếp ABC ta áp dụng công thức : a.ha b.hb c.hc (a b c).r ta có : AB BC AC .R CQ AB AB BC AC .R BN AC AB BC AC .R AM BC 4
5. Khai thác bài tập 95 trang 105 SGK hình học 9 tập 2 1 1 1 Ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức : a b c 9 a b c 1 1 1 a b a c c b Thật vậy : a b c 3 a b c b a c a b c 1 1 1 áp dụng bất đẳng thức cô si ta có : a b c 3 2 2 2 a b c 1 1 1 a b c 9 Dấu bằng xẩy ra a = b = c a b c 1 1 1 Từ đó ta có : AM BN CQ AB BC AC .R 9R AB BC AC AM BN CQ 9R Dấu "=" xẩy ra AB = BC = AC ABC đều. Từ nhận xét trên ta có thể khai thác bài toán sau : Bài toán 7 : Gọi R là bán kính đường tròn nội tiếp ABC , các đường cao AM, BN, CQ của ABC cắt nhau tại H. Chứng minh rằng : Nếu AM BN CQ 9R thì ABC đều. Một số bài tập ra thêm : Bài tập 1 : Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By và nữa nữa đường tròn cùng nằm về một nữa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nữa đường tròn O ( M A;M B ) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tyến này cắt tia Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng : a/ Cã OD 900 b/ CD = AC + BD c/ Tích AC. BD không đổi khi M di chuyễn trên nữa đường tròn O. d/ Tìm vị trí của M để tổng diện tích của hai tam giác ACM và BMD nhỏ nhất . e/ Tứ giác ACMO nội tiếp. f/ Kẻ AM cắt OC tại P; BM cắt OD tại Q. Chứng minh PQ = OA g/ Tìm vị trí của M để tổng điện tích của hai tam giác ACM và BMD nhỏ nhất. h/ Kẻ MH  AB , MH cắt BC tại H. Chứng minh : MK = KH. k/ Cho AB = 2R, gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp OCD . Chứng minh rằng : 1 r 1 3 R 2 5
6. Khai thác bài tập 95 trang 105 SGK hình học 9 tập 2 C. Kết quả Trên đây là một vài suy nghỉ của tôi về hướng khai thác các bài toán từ một bài toán cơ bản. Nhưng khi vào tropng thực tế ta có thể chọn các cách khai thác làm sao cho những em khá giỏi không nhàm chán, những em yếu không bị bõ rơi. Do đó khi gợi ý câu hỏi cũng phải đưa ra những câu hỏi dễ cho những em yếu, những câu hỏi đòi hỏi sự tư duy cao cho các em khá, giỏi. Sau đây là kết quả điều tra từ hai lớp 9 mà tôi trực tiếp giảng dạy. Từ đầu năm : Lớp Biết vẽ hình Biết chứng minh Biết khai thác thêm bài toán 9A 5 1 0 17 % 3% 30 30 9C 5 2 0 16% 6,5 % 31 31 Giữa kỳ I : Lớp Biết vẽ hình Biết chứng minh Biết khai thác thêm bài toán 9A 15 5 1 50 % 17 % 3% 30 30 30 9C 17 7 2 55% 23% 6,5 % 31 31 31 Học kỳ I : Lớp Biết vẽ hình Biết chứng minh Biết khai thác thêm bài toán 9A 30 15 5 100% 50 % 17 % 30 30 30 9C 31 17 7 100% 55% 23% 31 31 31 Qua kết quả khảo sát được tôi thấy nếu hướng phân tích, tìm tòi khai thác bài toán được thực hiện một cách thường xuyên không những đối với lớp 9 mà ta có thể áp dụng đối với cả lớp 7, lớp 8 thì chất lượng đại trà được nâng lên một cách rõ rệt, vừa phát triển được chất lượng mũi nhọn 6
7. Khai thác bài tập 95 trang 105 SGK hình học 9 tập 2 D. kết luận và kiến nghị Trên mỗi bài toán nếu người học chịu khó tìm tòi suy nghĩ ta có thể tìm được nhiều cách giải, đề xuất được nhiều bài toán thú vị và thiết lập được mối liên hệ giữa các bài toán. Phát triển từ bài toán cơ bản giúp học sinh tăng năng lưc giải toán gây hứng thú và tính tích cực, tự giác trong học tập. Qua việc thực hiện phương pháp giảng dạy “Phát triển bài toán từ bài tập ở sách giáo khoa toán 9”. Các em học sinh đã có sự tiến bộ rõ rệt, các em đã nắm được kiến thức cơ bản từ những bài toán quen thuộc và hiểu sâu hơn bài giảng liên hệ xâu chuỗi được giữa các bài toán với nhau. Trên đây là hình thức rèn luyện kỹ năng, vận dụng, khắc sâu kiến thức và đặc biệt là kỹ năng phát triển từ các “bài toán cơ bản” mà tôi đã áp dụng trong các tiết luyện tập, ôn tập với đối tượng học sinh trung binh khá đã cho kết quả tốt. Do trình độ người viết còn hạn chế, chắc rằng bài viết còn nhiều khiếm khuyết . Kính mong Hội đồng khoa học và các bạn bè đồng nghiệp góp ý bổ sung giúp đỡ tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mang lại kết quả cao hơn trong giảng dạy. Xin chân thành cảm ơn! 7