SKKN Khai thác lời giải bài toán bằng vẽ thêm đường phụ và lợi ích của nó trong giải bài tập Chương I Hình học 7

Nội dung text: SKKN Khai thác lời giải bài toán bằng vẽ thêm đường phụ và lợi ích của nó trong giải bài tập Chương I Hình học 7

1. A - ĐẶT VẤN ĐỀ "Thế giới chung quanh chúng ta là thế giới hình học" Viện sĩ A.D.Alecxandrow đã chỉ ra như vậy và ông cũng nêu rõ các nhiệm vụ của môn hình học ở trường phổ thông: ''Hình học về bản chất là sự thống nhất trí tưởng tượng sinh động và lôgíc chặt chẽ, vì vậy dạy học hình học phải kết hợp logic và trực quan. Hình học bắt nguồn từ thực tế và ứng dụng vào thực tế nên việc dạy học hình học phải liên hệ chặt chẽ với các môn học khác, với mỹ thuật, với kiến trúc " (Theo Hoàng Chúng - Phương pháp dạy học hình học ở trường Trung học cơ sở). Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho nguời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’. Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp học sinh :  Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn;  Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; Làm cho ‘‘việc học’’ là quá trình kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất.  Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí. Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp và kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học Vậy: Làm thế nào để đạt được các mục đích trên ? Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp 4
2. dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học. Ở trường THCS, học sinh được học ba phân môn của toán học, đó là Số học, Đại số và Hình học. Trong ba phân môn đó thì học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải các bài toán Hình học. Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp. Trong trường phổ thông, hình học 7 là sự tiếp nối và phát triển các kiến thức mở đầu của hình học 6, lâu nay theo đánh giá chung là “nặng” nhất so với phân môn hình học ở cấp THCS. Trong việc dạy học hình học 7 không thể tránh khỏi việc phải vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh - một cách rất hay và cũng rất khó. Trên thực tế việc dạy các nội dung có vẽ thêm yếu tố phụ là rất khó khăn, cả về phía giáo viên lẫn học sinh. Nếu giáo viên làm không tốt việc phân tích tại sao phải làm như vậy thì ngay cả học sinh khá, giỏi cũng chỉ "Lơ mơ" về việc làm đó, thực hiện một cách thụ động mà không biết phân tích, tìm cơ sở cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Chính vì lẽ đó khi dạy hình học 7 giáo viên cần cho học sinh tiếp cận, làm quen, hiểu được mục đích, cũng như cách thức thực hiện và việc vận dụng vào các tình huống cụ thể khi đưa thêm yếu tố phụ vào hình vẽ. 5
3. "Vẽ thêm yếu tố phụ không theo một qui tắc chung nào, mà đó là sự sáng tạo "nghệ thuật" tuỳ theo yêu cầu bài toán, nó giúp: + Giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ có thể sẽ bế tắc. + Trình bày lời giải một số bài toán hình học hay hơn, gọn hơn. + Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thức còn hạn chế, mặc dù sau này khi học đến có thể là đơn giản". (Theo Nguyễn Đức Tấn - Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7). Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em những cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. 6
4. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Khai thác lời giải bài toán bằng vẽ thêm đường phụ và lợi ích của nó trong giải bài tập chương I hình học 7” Với hi vọng giúp các em học sinh biết cách làm chủ kiến thức của mình, thêm yêu môn toán, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này. B - Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I. Một vài bài toán cơ bản Trước tiên chúng ta cùng xét một bài toán được đề cập đến trong SGK. Bài 44 (BTHH7 tập 1 - 81): Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn x· Oy và x·'O ' y ' cóOx // O'x'; Oy // O'y' thì x· Oy x·'O ' y ' Bài toán được giải như sau: · · x' GT xOy; x 'O ' y ' x có Ox // O’x’; Oy // O’y’ O' KL x· Oy x·'O ' y ' y' O A y a, Xét trường hợp O' nằm trong x· Oy Kéo dài tia O'x' về phía O' cắt Oy tại A x ta có Ox // Ax' (gt) nên x· Oy = x· ' Ay (Đồng vị) O'y' // Oy (gt) nên x· ' Ay = x·'O ' y ' (Đồng vị) Do đó x· Oy x·'O ' y ' (Cùng bằng x· ' Ay ) O A y y' O' b, Trường hợp O' không nằm trong x· Oy (Chứng minh tương tự) x' 7
5. Nhận xét: Trong bài toán này thì việc vẽ thêm đường phụ đã được sử dụng nhưng ở một mức độ đơn giản và như thế các em cũng bắt đầu được làm quen với việc phải vẽ thêm đường để giải một bài toán. Để cho các em khắc sâu hơn nữa thì có thể đưa ra bài toán: Bài bổ sung: 1- CMR nếu hai góc tù x· Oy và x·'O ' y ' có Ox // O'x'; Oy // O'y' thì chúng bằng nhau 2- Cho hai góc x· Oy và x·'O ' y ' có Ox // O'x'; Oy // O'y'. Biết rằng trong hai góc có một góc nhọn, một góc tù. Chứng minh hai góc đó bù nhau. Bằng cách giải tương tự như đã nêu học sinh có thể tự chứng minh được, hoặc có gặp khó khăn đi chăng nữa thì chỉ cần hướng dẫn là các em có thể giải được ngay. Như vậy từ việc chứng minh các bài toán nhỏ đã nêu, về thực chất đó là các em đã chứng minh được một mệnh đề toán là: Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì: - Chúng bằng nhau nếu cả hai đều nhọn hoặc đều tù. - Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù. Đây chính là một mệnh đề giúp các em rất nhiều trong quá trình giải toán. Trong các bài toán đã nêu trên bằng cách vẽ thêm đường các em đã vận dụng được tính chất của các đường thẳng song song vào việc giải bài toán. Ta xét một bài toán khác: Bài 57 SGK tập 1 - Trang 104. a 380 Cho hình 39 ( a//b), hãy tính số đo x của góc O. x O Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với a đi qua điểm O. 1320 b Giải: 8
6. Vẽ đường thẳng c đi qua O và song song với đường thẳng a. Do có a // b (gt) Và a // c (cách vẽ ) a 380 Suy ra c // b ( tính chất 3 đường thẳng song song) c 1 0 2 Vì a // c Ô1 = 38 (hai góc so le trong) O 0 0 0 Vì c // b Ô2 + 132 = 180 ( hai góc trong cùng phía ) 132 0 0 0 b Ô2 = 180 - 132 = 48 0 0 0 Mặt khác Ô1 + Ô2 = x nên x = 38 + 48 = 86 . Nhận xét: Đây là bài tập đầu tiên trong SGK mà muốn giải được phải vẽ thêm yếu tố phụ. Chính vì vậy, sau khi nêu đề bài, người viết sách đã chủ ý đưa thêm phần hướng dẫn để học sinh làm quen. Do vậy khi dạy bài này nên đặt vấn đề: Tại sao lại phải vẽ thêm đường thẳng c // a (c qua O)?. Qua đó học sinh có thể nhận thấy: Để có thể áp dụng các tính chất của đường thẳng song song thì phải có đường thẳng song song nên cần vẽ thêm c // a. Thực chất bài toán này có thể giải bằng phương pháp khác (Cũng vẽ thêm đường) như kéo dài AO về phía O cắt b tại D sau đó áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác mà ta sẽ đề cập đến trong phần sau. Thiết nghĩ, khi ôn tập (bài này nằm trong tiết 14 - 15 ôn tập chương I), giáo viên nên chọn bài này và cần thiết phải giới thiệu qua về phương pháp để học sinh được tiếp cận. Trong khi hướng dẫn học sinh trình bày lời giải, phải làm thế nào để học sinh nêu rõ cách vẽ thêm yếu tố phụ trong lời giải của bài toán. Bằng cách giải tương tự có thể đề xuất và hướng dẫn các em giải các bài toán tương tự như: 9
7. m A n Bài 1.1: ( Cho học sinh đại trà): 400 O Cho hình vẽ bên, biết mn // pq; O· An 400 ; ·AOB 900 .Tính O· Bq ? . p B q Bài 1.2: (Cho học sinh khá giỏi): A x a0 Hình bên cho biết: x·AC a0 , ·yBC b0 , ·ACB a0 b0 a0 + b0 C Chứng minh rằng: Ax// By. b0 B y Trong hai bài toán đã nêu thì bài toán 1 được giải tương tự như bài đã nêu. Đối với bài toán 2 thì yêu cầu cao hơn, bài toán được cho ở dạng tổng quát. Có thể hướng dẫn các em giải như sau: Giải: GT x·AC a0 ; ·yBC b0 A x a0 ·ACB a0 b0 1 C 2 z KL Ax// By. b0 CM: B y Từ C kẻ Cz // Ax chia ·ACB thành hai góc µ ¶ · µ 0 µ ¶ · 0 0 C1 và C2 . Ta có xAC = C1 = a (So le trong) Mặt khác: C1 C2 = ACB = a + b ¶ 0 · nên C2 = b = yBC hai góc so le nên Cz // By. Vậy Ax // By (Cùng song song ) với đường thẳng Cz 10