Sáng kiến kinh nghiệm Vẽ đường phụ để giải một số bài toán Hình học 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vẽ đường phụ để giải một số bài toán Hình học 7

1. PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận - Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho nguời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’. - Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp học sinh : ➢ Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn; ➢ Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho ‘‘việc học’’ là quá trình kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất. ➢ Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí. Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp và kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học. - Làm thế nào để đạt được các mục đích trên? Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. II. Cơ sở thựctế - Trong các môn học trong trường THCS thì môn Toán là một trong những môn phục vụ cho các môn học khác nhưng có thể nói là khó nhất. Ở trường THCS, học sinh được học ba phân môn của toán học, đó là Số học, Đại số và Hình học. Trong ba phân môn đó thì học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải các bài toán Hình học.
2. PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. THỰC TRẠNG - Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán Hình học lớp 7, chúng tôi thấy học sinh thường gặp một số khó khăn sau đây: ➢ Vẽ hình không biết bắt đầu từ đâu và làm gì. ➢ Khó khăn hơn trong việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đườngphụ. ➢ Chưa biết suy luận để thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đườngphụ. ➢ Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải bài toán. ➢ Sau khi đã vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải của bài toán mà không tìm hiểu xem tại sao người ta lại kẻ thêm đường phụ như vậy. - Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau: ➢ Bước1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? ➢ Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằngnhau. ➢ Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy chúng tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNGPHỤ 1. Kẻ thêm đoạnthẳng 1.1 Mục đích Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hiện hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều. 1.2 Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng
3. Ví dụ 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền A bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2) 1 Phân tích: B Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM rồi tìm cách chứng 2 C 1 minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ M cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD. 2. Vẽ thêm đường phângiác D 2.1 Mục đích Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều, 2.2 Sử dụng khinào? Ta thường dùng cách vẽ này khi muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, ) vào hai tam giác có mối liên hệ về góc, về cạnh. Ví dụ 4. Cho ∆ABC có = . Chứng minh AB=AC. Phân tích : AA - Để chứng minh AB = AC, ta phải chứng minh hai tam giác chứa cặp cạnh này 1 2 bằng nhau. Nhưng trên hình vẽ không có hai tam giác bằng nhau (H.4a). Như vậy, ta có thể nghĩ đến việc tạo ra hai tam giác có chứa hai cạnh AB và AC bằng nhau. B C B M C - Đường phụ cần vẽ là tia phân giác a) b) ) của góc A (H.4b). Hình 4 Nhận xét : - Vẽ tia phân giác AM là ta đã tạo ra một cặp góc bằng nhau ( 1 = 2) và một cạnh chung (AM) của hai tam giác (∆AMB và ∆AMC). Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán. - Có hai cách vẽ khác : dựng AM ⊥ BC hoặc dựng M là trung điểm của BC. Ví dụ 5. Cho ∆ABC có = 600.Tia phân giác của góc B cắt AC ở D, tia phân giác của góc C cắt AB ở E. Chứng minh rằng BC = BE + CD. Phân tích : - Gọi I là giao điểm của BD và CE (H. 5a), ta dễ dàng tính được: = 1200 ; = = 600
4. 3. Kẻ thêm đường thẳng songsong 3.1 Mục đích Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hiện hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau và đặc biệt là hai tam giác bằng nhau. 3.2 Sử dụng khinào? Ta thường dùng cách này khi đã có các đường thẳng song song trong hình vẽ. Ví dụ 6. Cho hình 6a, trong đó = + .Chứng minh rằng Ax//By. Phân tích : - Để chứng minh Ax // By, ta phải tìm ra một cặp góc so le trong, một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau. Nhưng trên hình vẽ ta thấy không có các cặp góc như vậy (H. 6a). Ta có thể nghĩ đến việc kẻ thêm đườngphụ. - Từ giả thiết = + , ta có thể kẻCz//Ax(H.6b).Từ đó tìm ra lời giải của bài toán A x A x A x A x z z 1 C z C 2 C C B y B y B y B Dy a) b) c) d) Hình 6 Nhận xét : - Việc kẻ tia Cz // Ax, ta đã làm xuất hiện các cặp góc so le trong bằng nhau. - Ta có thể kẻ tia Cz cùng hướng với tia Ax (và By) (H.6c),nhưng lời giải phức tạp - Ta cũng có thể kéo dài AC cắt tia By tại D (H.6d) rồi áp dụng định lí tổng ba góc và góc ngoài của tam giác. Ví dụ 7. Cho ∆ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Kẻ DE // BC (E ∈ AC). Chứng minh rằng EA =EC. Phân tích : - Để chứng minh EA = EC, ta phải tìm ra hai tam giác có chứa hai cạnh đó bằng nhau. Nhìn trên hình vẽ ta thấy không thể tìm ra hai tam giác như vậy (H.7a). Ta có thể nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ. Nhưng kẻ thêm đường như thế nào cho hợp lí?
5. ∆ABH vuông tại H có =600 nên AH=AB:2=5(cm). Từ đó ta dễ dàng tìm ra lời giải. Ví dụ 9: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều? Phân tích: A Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần 3 kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh 1 2 I đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra 1 2 0 B C AB  AC và suy ra = 90 . H M Ví dụ 10. Cho ∆ABC có AB = 16 2cm, BC=20cm, =450. Tính AC. A Phân tích: B 0 A - Theo giả thiết AB = 16 2 cm, = 45 nên ta có thể x nghĩ đến việc tạo ra tam giác vuông cân có AB là cạnh huyền. ) ̂ - Kẻ AH  BC, ta thấy ∆AHB vuông cân tại H. Từ đó ta 450 dễ dàng tìm ra lời giải. B H C B B B C C Ví dụ 11. Cho hình 11a. Biết AB = 5 A A A x x x cm, AD = 8 cm, CD = 11 cm. Tính BC. ) ̂ ) ̂ ) ̂ Phântích: 11 BBH - Rõ ràng theo hình 11a không thể tính được BC nếu ta không vẽ đường phụ. Nhưng 5 vẽ như thế nào và xuất phát từ đâu? A 8 D A D - Căn cứ vào giả thiết, thì a b Hình 11 = = 900, từ đó ta kẻ đường vuông góc từ B (hoặc C) là hợp lý nhất. a b
6. 5. Phương pháp tam giácđều 5.1 Mục đích Đây là một phương pháp rất đặc biệt, đó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Để tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau ta có thể vẽ tam giác cân, và đặc biệt là tam giác đều. 5.2 Sử dụng khinào? Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác đều khi hình vẽ đã có một tam giác cân với một góc có số đo cho trước Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như : - Tam giác cân có một góc xác định. - Tam giác đều. - Tam giác vuông cân. - Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền