Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-ét giải toán cấp THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-ét giải toán cấp THCS

1. GIỚI THIỆU CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Bình Trị Đông, ngày 10 tháng 11 năm 2017 TM. Tổ chuyên môn NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG Bình Trị Đông, ngày tháng năm 2017 1
2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI TOÁN CẤP THCS A. MỞ ĐẦU I. LÝ DO NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: Ngày nay để theo kịp với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thì việc nâng cao kiến thức toán học cho mọi người nói chung và học sinh nói riêng là vô cùng cần thiết. Trong chương trình Toán 9, ở chương IV, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai một ẩn, công thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt là định lí Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Ta cũng thấy, để giải được các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán. Bên cạnh đó, nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng . Với mong muốn hệ thống những kiến thức trọng tâm về việc ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán ôn thi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp 9 đạt điểm số cao nhất, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập, đồng thời làm tăng năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán. Vì vậy, tôi chọn đề tài ”Ứng dụng định lí Vi-ét giải toán cấp THCS” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh THCS có sự định hướng để giải các bài toán tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai, đặc biệt có lối suy nghĩ nhanh nhẹn, linh hoạt cho các trường hợp và thấy được ứng dụng rộng rãi của định lí Vi-ét. Mỗi bài toán có thể 3
3. 5. Hoàn thành phương pháp sau khi đã cho học sinh thực hành qua đó rút ra bài học kinh nghiệm. VII. NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đề ra giải pháp gồm các nội dung sau: - Sắp xếp các dạng bài ứng dụng hệ thức Vi-ét theo mức độ từ dễ đến khó. - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng bài. - Rèn kỹ năng làm thành thạo các bài toán ứng dụng hệ thức Vi-ét. - Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán. - Minh họa bài tập trong các kỳ thi học kỳ quận Bình Tân và tuyển sinh lớp 10 TP.HCM * Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản. * Đối với học sinh khá, giỏi: - Phát triển tư duy, kỹ năng giải các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét có lồng ghép bài tập nâng cao. - Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng bài. B. NỘI DUNG I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐỊNH LÍ VI-ÉT Trước hết trong quá trình dạy học giáo viên cần làm sao để học sinh nắm vững định lí Vi-ét và một số trường hợp đặc biệt. Bởi vì đó là cơ sở, là tiền đề, cũng là chìa khóa để giải quyết các bài tập: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) b b x1 x2 Có hai nghiệm 2a ; 2a b b 2b b x1 x2 Suy ra: 2a 2a a ( b )( b ) b2 4ac c x1x2 2 2 2 4a 4a 4a a b x1 x2 Vậy - Tổng nghiệm là S : S = a c x1x2 - Tích nghiệm là P : P = a 5
4. 11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x 1 và x 1 2 3 Bài tập áp dụng Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1. 2x2 199x 201 0 2. 7x2 500x 507 0 3. x2 39x 40 0 4. 221x2 21x 200 0 1.2.Sử dụng hệ thức Vi-ét Ví dụ: Hãy nhẩm nghiệm của phương trình (pt) sau: x2 7x 12 0 Giải Do = 1> 0 pt có 2 nghiệm phân biệt Áp dụng hệ thức Vi-ét: x1 x2 7 x1.x2 12 Vậy pt có 2 nghiệm là: x1 = 3; x2 = 4. Bài tập áp dụng Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x2 – 5x + 6 =0 2) x2 ( 3 5)x 15 0 2. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng a + b = 5 và tích ab = 6 Giải Vì a + b = 5 và ab = 6 nên a, b là nghiệm của phương trình : x2 5x 6 0 Giải phương trình trên ta được x1 2 và x2 3 Vậy nếu a = 2 thì b = 3 nếu a = 3 thì b = 2 Bài tập áp dụng: 1)Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = 3 và P = 6 7
5. Hướng dẫn: a) Thay x1 2 và phương trình ban đầu ta được : 1 p 4 5 5 T ừ x1x2 5 suy ra x2 x1 2 b) Vì vai trò của x 1 và x 2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 11 x1 9 x1 x2 7 , ta giải hệ sau: x1 x2 7 x2 2 Suy ra q x1x2 18 4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rổi tính giá trị của biểu thức 4.1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2 ) và x1x2 2 2 2 2 2 2 Ví dụ : a) x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S - 2P b) x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x = S3 -3PS 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) x1 x2 (x1 ) (x2 ) x1 x2 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x1 x2 = (S2-2P)2 – 2P2 1 1 x x S d) 1 2 = x1 x2 x1x2 P x x x 2 x 2 S 2 2P e) 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 P f ) x1 x2 ? 2 2 2 Ta có: x1 x2 x1 x2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 2 2 1. x1 x2 ( x1 x2 x1 x2 = .) 2. x3 x3 ( = x x x2 x x x2 x x x x 2 x x = . ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 9
6. S x1 x2 8 Giải Theo hệ thức Vi-ét ta có vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: P x1x2 15 x2 Sx P 0 x2 8x 15 0 Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1) Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1) Giải Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức vi-ét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có: 4 4 y1 + y2 = x1 x2 4 4 y1 y2 = x1 .x2 4 4 2 2 2 2 2 Ta có: x 1 x 2 = (x1 + x2 ) - 2x1 .x2 = 729 - 2 = 727 4 4 4 4 x1 .x 2 = (x1.x2) = (- 1) = 1 Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0 Bài tập áp dụng Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm sau : 1. x1 = 5 vµ x2 = -2 2. x1 = 1 3 vµ x2 = 1 3 6. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ *Các bước thực hiện : - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Tính S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số - Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. 11
7. Ta có: ' (m 5)2 4m 1 m2 6m 24 m 3 2 15 0 Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-Ét: b S x1 x2 2m 10 Ta có: a c P x .x 4m 1 1 2 a x + x = 2m-10 1 2 2 x1+ x2 = 4m- 20 b) Ta có: 2 x + x + x x = -19 x x = -4m+1 x x = -4m+1 1 2 1 2 1 2 1 2 Bài tập áp dụng 2 Cho phương trình : x m 2 x 2m 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối với m. Hướng dẫn: Dễ thấy m 2 2 4 2m 1 m2 4m 8 m 2 2 4 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức Vi- ét ta có m x1 x2 2(1) x1 x2 m 2 x1x2 1 x1.x2 2m 1 m (2) 2 Từ (1) và (2) ta có: x x 1 x x 2 1 2 2 x x x x 5 0 1 2 2 1 2 1 2 7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: A m C (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, n là hằng số) (*) n B Ta có: C m (v ì A 0) min C m A 0 C n (v ì B 0) max C n B 0 Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 13
8. 5 -5 Dấu "=" xảy ra khi 2m + = 0 m = 2 4 27 5 Vậy GTNN của A là khi m = 4 4 Ví dụ 3: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2015-2016) Cho phương trình: x2 2(m 3)x m2 3m 1 0 (x là ẩn số, m là tham số) a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm. b) Tìm m để A = x1(x2 – 1) – x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Ta có: ' (m 3)2 m2 3m 1 9m 8 Để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m thì: 8 ' 0 9m 8 0 m . 9 8 b) Khi m thì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-ét: 9 b S x1 x2 2 m 3 Ta có: a c P x .x m2 3m 1 1 2 a 2 Ta có: A = x1(x2 – 1) – x2 = x1x2 – x1 – x2 = x1x2 – (x1 + x2) = m – 3m + 1 + 2m + 6 2 1 27 27 = m2 – m + 7 = m 2 4 4 27 1 1 Vậy A đạt GTNN là khi m 0 m (nhận) 4 2 2 Ví dụ 4: (Tuyển sinh 10 NH : 2012-2013) Cho phương trình x2 2mx m 2 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. 24 Tìm m để biểu thức M = 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất x1 x2 6x1x2 Giải 15
9. 7 (1) ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m < 6 (2) m2 + 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3 x1 x2 x1 x2 (3) (x1 x2 )(5 x1.x2 ) 0 x1.x2 5 * Trường hợp: x1 + x2 = 0 x1 = - x2 m = 2 không thoả mãn điều kiện (1) * Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 x1.x2 = 5 Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0 m 2 (lo¹i) m 4 (tho¶ m·n §K) Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 1 x x 1 2 x1 x 2 5 Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2012-2013) Cho phương trình: x2 (m 1)x m 2 0 (x là ẩn số, m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m. 1 1 c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m nguyên để A đạt x1 x2 giá trị nguyên. Giải a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Ta có: (m 1)2 4 m 2 m2 6m 9 m 3 2 0 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo Vi-ét: b S x1 x2 m 1 Ta có: a c P x .x m 2 1 2 a 1 1 x x m -1 1 c) Ta có: A = 1 2 1 x1 x2 x1.x2 m - 2 m - 2 17
10. 8x1 5(x1 x2 ) 6 64x1x2 5(x1 x2 ) 6.3(x1 x2 ) 6 - Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 . Suy ra: 8x2 3(x1 x2 ) 6 (2) 2 64x1x2 15(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 36 m 0 - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m 96) 0 32 (thoả ) m 15 Bài tập áp dụng (TUYỂN SINH 10 - NH:2015-2016) Cho phương trình x2 mx m 2 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m 2 2 x1 2 x2 2 b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa mãn . 4 x1 1 x2 1 (TUYỂN SINH 10 NH:2016-2017) Cho phương trình: x2 – 2m x + m – 2 = 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Định m để 2 nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn: 2 2 (1+ x1)(2 - x2) + (1+ x2)(2 - x1) = x1 + x2 + 2 9. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax2 bx c 0 (a 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S x1 x2 P x1x2 Điều kiện chung trái dấu  P 0 0 0 ; P > 0 cùng dương + + S > 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S 0 0 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2x2 3m 1 x m2 m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu. Giải Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 19
11. b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có: a b - p b c - q và a.b 1 b.c 2 Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm) Bài tập áp dụng Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 11. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 5 x 5 x Ví dụ 1: Giải phương trình: x x =6 x 1 x 1 Giải ĐKXĐ: {x R  x - 1} 5 x 5 x 5 x u  x. x u  5 u x. x 1 x 1 Đặt: x 1 (*) 5 x 5 x 5 x u. 6  x u. x. . x x 1 x 1 x 1 u, v là nghiệm của phương trình: x2 - 5x + 6 = 0 5 1 5 1 = 25 – 24 = 1 x1 = = 3 x2 = = 2 2 2 u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3 u 3 Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 2x + 3 = 0 có ' = 1 - 3 = - 2 < 0  2 Phương trình vô nghiệm: u 2 Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0  3 21
12. 3. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 4. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép 5. Tìm giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm 6. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2 7. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 8. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 9. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm 10. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương 11. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 12. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm 13. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương 14. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép dương 15. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép âm 16. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm là hai số đối nhau 17. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau 18. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện 2 2 x1 + x2 = 1 23
13. 30. Xác định m để độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của 3 phương trình (1) có độ dài bằng , với số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam 2 giác vuông đó IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài đã được áp dụng trong các năm học trước dành cho khối 9 và ôn thi tuyển sinh 10. Thông qua nội dung đề tài, học sinh đã được hệ thống hóa các dạng bài tập áp dụng định lí Vi-ét và các phương pháp giải chúng .Từ đó, học sinh hiểu và nắm kỹ kiến thức hơn, đã góp phần giúp học sinh đạt kết quả tốt trong kỳ thi học kỳ 2, đặc biệt là thi tuyển sinh lớp 10. Ngoài ra, đề tài còn là tài liệu tham khảo dành cho giáo viên Toán. Kết quả trung bình bộ môn các năm học có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Khối Giỏi Khá Trung Yếu Kém Tb trở lên bình Năm học 2014-2015 9 32,4% 34,4% 20,9% 2.3% 0 97.7% Năm học 2015-2016 9 30,3% 33,5% 26.2% 0 0 100% Năm học 2016-2017 9 37,6% 34,6% 27,8% 0 0 100% 25