Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số

1. Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI -Hai yếu tố đã gĩp phần đổi mới phương pháp giảng dạy nĩi chung và phương pháp giảng dạy mơn tốn cấp THCS nĩi riêng, muốn thực hiện được điều đĩ thì vai trị của người thầy hết sức quan trọng. Để gĩp phần vào cơng cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy thì bản thân tơi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, khơng chỉ những kiến thức trong SGK mà cịn phải làm sao đĩ từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và cĩ hệ thống. - Trong chương trình tốn phổ thơng cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhưng khi gặp dạng tốn này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tơi muốn đề cập đến một vấn đề mà khơng ít chúng ta - những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đĩ là dạng tốn “ Tìm cực trị “ nĩi chung và “Tìm cực tri đại số” nĩi riêng. Thật vậy trong chương trình tốn phổ thơng dạng kiến thức về ‘’cực trị’’là một trong những mảng kiến thức khĩ mà ứng dụng của nĩ lai khá rộng rãi nĩ khơng những cĩ mặt trong phân mơn đại số mà cịn đĩng gĩp một vai trị quan trọng trong phân mơn hình học, nĩ khơng chỉ dừng ở chương trình THCS mà cịn là một phần quan trọng trong chương trình THPT. Vì vậy dạng tốn’’cực trị’’là phần gây cho HS ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê mơn tốn và học giỏi tốn vì nĩ địi hỏi phải tư duy, tìm tịi sáng tạo. - Để giải được một bài tốn cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững được các kiến thức cơ bản phổ thơng phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thơng qua các bài tập cực trị HS cĩ thể vận dụng linh hoạt vào các loại tốn khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học Tĩm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những năm dạy tốn ở trường THCS , tơi đã rút ra được vài kinh nghiệm . tơi mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: “ Một số phương pháp giải và các dạng tốn tìm cực trị đại số ” Nếu cĩ thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hồn chỉnh hơn. II. PHẠM VI ĐỀ TÀI Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài tốn dạng này cũng rất phong phú song trong khuơn khổ thời gian cĩ hạn tơi chỉ nêu ra một số phương pháp cơ bản và một số dạng tốn tìm cực trị điển hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp và đi đến bài tốn tổng quát 1 Người viết: Lê Đình Chung GV trường THCS Hạnh Lâm
2. Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số III. ĐỐI TƯỢNG Đề tài này để ơn tấp bồi dượng học sinh khá giỏi khối 8, khối 9.sau khi đá học xong bất đẳng thức Đồng thời đề tài này cĩ thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy mơn tốn IV. MỤC ĐÍCH Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về tốn cực trị đại số . Qua đĩ giúp học sinh cĩ điều kiện hồn thiện các phương pháp về bất đẳng thức và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. V.PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, các phương pháp giải các dạng tốn tìm cực trị đại số từ đĩ giúp học sinh phân tích vận dụng định hướng giải bài tập. Sau đĩ kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể. PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI I.CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ a. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) trong tập xác định (TXĐ) D ta làm như sau : + Chứng minh A(x) M Với M là hằng số + Chỉ ra A(a)=M , (a D) + Kết luận giá trị nhỏ nhất của A(x) là M b. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau: +chứng minh A(x) M với M là hằng số + chỉ ra A(b) = M , (b D) + Kết luận giá trị lớn nhất của A(x) là M c. Để giải một bài tốn cực trị chúng ta cĩ thể vận dụng các kiến thức sau + Cĩ khi phải thay bài tốn đã cho bởi bài tốn tương đương Min A MinA2 với A 0 Min A MaxA ( Tương tự cho bài tốn Max) + Cĩ khi phải tìm cực trị trong từng khoảng của biến rồi so sánh để tìm cực trị trên tập xác định D của biểu thức + Cĩ khi phải vận dụng các định lý cực trị sau Định lý1: Nếu hai số cĩ tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau Định lý 2: Nếu hai số cĩ tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau 2 Người viết: Lê Đình Chung GV trường THCS Hạnh Lâm
3. Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. x 2 0 , x 2n 0(n N * ), x 0 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 2. A A Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A 0 A A Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A 0 III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI A/ Phương pháp 1: Áp dụng hằng đẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 để biến đổi biểu thức về dạng: * A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0 * B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0 Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = 4x2 + 4x + 11 b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c) C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7 Giải: a) A = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x +1)2 + 10 ≥ 10 1 Suy ra minA = 10 khi x = 2 b) B = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x )2 – 36 ≥ - 36 Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoặc x = -5 b) C = (x2 – 2x + 1) +(y2 – 4y + 4) + 2 = (x -1)2 + (y -2)2 +2 ≥ 2 Suy ra minC = 2 khi x =1 và y = 2 Thí dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A = 5 - 8x – x2 b) B = 5 – x2 + 2x - 4y2 – 4y Giải: a) Ta cĩ A = - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21 ≤ 21 Suy ra maxA = 21 khi x = -4 b) Ta cĩ B = - (x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7 = - (x -1)2 - (2y + 1)2 + 7 ≤ 7 1 Suy ra maxB = 7 khi x =1 và y = 2 Bài tập: 1) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = 4 – x2 +2x 3 Người viết: Lê Đình Chung GV trường THCS Hạnh Lâm
4. Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số b) B = 4x – x2 Giải: a) A = 4 – x2 +2x = 5 – (x2 – 2x +1) = 5 – (x – 1)2 ≤ 5 Suy ra maxA = 5 khi x = 1 b) B = 4x – x2 = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x -2)2 ≤ 4 Suy ra maxB = 4 khi x = 2 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 + 5y2 -2xy +4y + 3 b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) c) C = x2 -4xy + 5y2 + 10x - 22y +28 Giải: a) A = (x2 – 2xy +y2) +(4y2 + 4y + 1) +2 = (x –y)2 + (2y + 1)2 + 2 ≥ 2 x y x y 0 Suy ra minA =2 khi 1 2y 1 0 y 2 1 Vậy minB =2 khi x = y = 2 b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) Đặt t = x2 - 2x B = t(t +2) = t2 + 2t = (t2 + 2t + 1) – 1 = (t +1)2 – 1 ≥ -1 MinB = -1 t = -1 x2 - 2x = -1 x2 - 2x +1 =0 (x – 1)2 = 0 x = 1 Vậy minB = -1 khi x = 1 b) C = (x – 2y)2 + 10(x – 2y) + (y – 1)2 + 25 + 2 = (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + 2 ≥ 2 y 1 0 y 1 MinC = 2 khi x 2y 5 0 x 3 Vậy minC = 2 khi x = -3, y = 1 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 A = x 2 x 4 Giải: 2 1 Ta cĩ A = 1 x 1 1 2 Suy ra maxA =1 khi x = 1 2 4 Người viết: Lê Đình Chung GV trường THCS Hạnh Lâm
5. Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 4x 4 4x 2 (x 1) (x 1) 2 9 Giải: Ta cĩ B = (2x 2 x 1) 2 9 9 3 Suy ra minB = 3 khi 2x2 - x – 1 =0 (2x + 1)(x – 1) = 0 1 x =1 hoặc x = 2 1 Vậy minB =3 khi x =1 hoặc x = 2 B/ Phương pháp 2: Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | . Để tìm GTNN của biểu thức Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0 Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = | 2x – 5 | + | 2x + 1 | b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | d) D = 25x 2 20x 4 25x 2 e) E = x 2 2x 1 x 2 4x 4 x 2 6x 9 Giải: a) Ta cĩ A = | 2x – 5 | + | 2x - 1 | = | 2x – 5 | + | 1- 2x | ≥ | 2x – 5 + 1- 2x | = | -4 | = 4 1 5 Suy ra minA = 4 khi (2x – 5)(1 – 2x) ≥ 0 x 2 2 b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | Ta cĩ | x – 1| + | x – 3 | = | x – 1| + | 3 – x | ≥ | x – 1 + 3 – x | = 2 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 1 x 3 | x – 2| nhỏ nhất khi x =2 Vậy min B = 2 khi x =2 c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | = | x - 1| + | x – 4 | + | x – 2 | + | x – 3 | Ta cĩ: | x - 1| + | x – 4 | ≥ | x -1 +4 – x | ≥ 3 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 1 x 4 Ta cĩ: | x – 2 | + | x – 3 | ≥ | x -2 +3 – x | ≥ 1 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 2 x 3 Vậy minC = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3 5 Người viết: Lê Đình Chung GV trường THCS Hạnh Lâm
6. Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số d)Ta cĩ D = (5x 2) 2 25x 2 = | 5x – 2 | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | = 2 2 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (2- 5x)5x ≥ 0 0 x 5 2 Vậy minD = 2 khi 0 x 5 e) Ta cĩ E = (x 1) 2 (x 2) 2 (x 3) 2 = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | Vậy minE = 2 khi x =2 ( làm như câu b ) Bài tập: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A = | x – 1 | + | x – 2 | + + | x – 2006 | b) B = 1 6x 9x 2 9x 2 12x 4 Giải: Chú ý 1: y = | x – a | + | x – b | ( a < b ) Min y = b – a khi a x b a) Ta cĩ A = ( | x – 1 | + | x – 2006 | ) + ( | x – 2 | + |x – 2005 | ) + + ( | x – 1002| + | x -1003 | ) Suy ra minA = 2005 + 2003 + + 1 khi 1002 x 1003 Vậy minA = 10032 khi 1002 x 1003 b) Ta cĩ B = (3x 1) 2 (3x 2) 2 = | 3x – 1 | + | 3x – 2 | = | 3x – 1 | + | 2 - 3x | ≥ | 3x – 1 + 2 – 3x | = 1 1 2 Vậy minB = 1 khi (3x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 x 3 3 Chú ý 2 : y = | ax – b | + | ax – c | ( b < c ) b c Min y = c – b khi x a a Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức C = | 2x -5 | + | 2x – 7 | 5 7 Suy ra min C = 7 -5 = 2 khi x 2 2 Chú ý 3 : y = | ax + b | + | ax + c | ( b < c ) c b Min y = c – b khi x a a 6 Người viết: Lê Đình Chung GV trường THCS Hạnh Lâm
7. Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số Thí dụ : Tìm GTNN của biểu thức D = | 3x + 5 | + | 3x + 7 | 7 5 Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi x 3 3 Bài tập: 1) Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) A = (x 1) 2 (x 2) 2 (x 2006) 2 b) B = (x 1) 2 (x 2) 2 (x 2007) 2 2) Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) C = 4x 2 4x 1 4x 2 12x 9 b) D = 4x 2 4x 1 4x 2 8x 4 4x 2 12x 9 c) E = 4x 2 4x 1 4x 2 8x 4 4x 2 12x 9 4x 2 16x 16 3) Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) F = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + + | 2x – 2006 | b) G = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + + | 2x – 2007 | c) H = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + + | 2x + 2006 | d) I = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + + | 2x + 2007 | e) K = (2x 1) 2 (2x 2) 2 (2x 2006) 2 f) L = (2x 1) 2 (2x 2) 2 (2x 2007) 2 g) M = (2x 1) 2 (2x 2) 2 (2x 2006) 2 h) N = (2x 1) 2 (2x 2) 2 (2x 2007) 2 i) O = (4x 5) 2 (4x 6) 2 (4x 7) 2 k) P = (4x 5) 2 (4x 6) 2 (4x 7) 2 (4x 8) 2 l) Q = (4x 1945) 2 (4x 1946) 2 (4x 2006) 2 m) X = (4x 1975) 2 (4x 1976) 2 (4x 2007) 2 C/ Phương pháp3: Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0 Thí dụ: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | c) C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 | Giải: a) Ta cĩ A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | | (3x + 5) - (3x + 7) | = 2 7 Dấu ‘ = ‘ xảy ra 3x 5 3x 7 0 x 3 7 Người viết: Lê Đình Chung GV trường THCS Hạnh Lâm