Sáng kiến kinh nghiệm Từ bài toán cực trị đến bài toán cực trị trong không gian tọa độ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Từ bài toán cực trị đến bài toán cực trị trong không gian tọa độ

1. Tổ Toán Tin I/TÊN ĐỀ TÀI : “ TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ” II/ ĐẶT VẤN ĐỀ : Lý do chọn đề tài : a/ Thế nào là bài toán cực trị hình học : Các bài toán cực trị hình học có dạng chung như sau: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, . . .) có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất . b/ Lý do chọn đề tài : Bài toán cực trị nói chung là bài toán khó . Học sinh có thể gặp trong nhiều đề thi tuyển sinh , đề thi dành cho học sinh giỏi và là lớp bài toán không chỉ dành riêng cho khối THPT . Học sinh thường ngại tiếp cận ,giải quyết bài toán cực trị nói chung – bài toán cực trị hình học trong không gian tọa độ nói riêng . Việc tiếp tục tìm hiểu bài toán sau khi đã có lời giải không phải là thói quen của các em học sinh kể cả các học sinh giỏi . Tìm đến lời giải cho một bài toán – không phải là kết thúc quá trình giải toán . Hãy tiếp tục tìm hiểu về bài toán đã giải . Lời giải như vậy có phải là lời giải tốt nhất ? Còn có thể giải khác ? Cách giải tìm thấy có thể vận dụng để giải những bài toán khác ? Có hay không một bài toán tương tự như thế - bài toán tổng quát hơn ? Có thể đặc biệt hóa bài toán ? Chúng tôi chọn 1 khía cạnh trong công việc giải các bài toán để tìm hiểu : “Xác lập các bài toán mới từ bài toán cực trị trong không gian tọa độ ” . Giới hạn phạm vi nghiên cứu Trong phạm vi đề tài , chúng tôi tìm hiểu một số bài toán cực trị trong không gian tọa độ , hình cần tìm nếu là đường , mặt thì viết phương trình đường ,mặt – nếu là điểm thì tìm tọa độ của nó . Những bài toán cực trị hình học khác không gắn liền với không gian tọa độ thì không phải là đối tượng chúng tôi nghiên cứu . Nhiệm vụ - phương pháp nghiên cứu : Tìm một số bài toán cực trị (có thể là trong hình học phẳng hoặc không gian)làm các bài toán gốc . Xuất phát từ một bài toán gốc – qua các thao tác tư duy ( Dự đoán, phân tích , so sánh ,tổng hợp, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa )– xác lập các bài toán mới . Chúng tôi xét bài toán gốc là bài toán ở mức tổng quát – giải quyết bài toán gốc – phát biểu bài toán mới ở mức tổng quát ; sau đó nêu và giải vài bài toán cụ thể mang tính minh họa . Mục dích nghiên cứu : Năm học : 2010 – 2011 1
2. “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ” + Định hướng cho học sinh một cách thức học chủ động – sáng tạo – nâng cao khả năng tự học . + Rèn luyện khả năng suy luận có lý , suy luận mang tính chặt chẽ , logic. + Hệ thống các kiến thức – xâu chuỗi các bài tập qua đó học sinh thấy được mối liên hệ giữa các bài toán cực trị trong không gian tọa độ cả về nôi dung và phương pháp giải. + Có thêm 1 tài liệu dành cho việc học tập bộ môn toán đối với các học sinh giỏi , tài liệu tham khảo cho các học sinh thi đại học . III/ CƠ SỞ LÝ LUẬN : Điều 24.2 Luật giáo dục (1998) viết : ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh" Trên quan điểm chung về phương pháp dạy học như vậy – việc dạy học Toán ở trường THPT hiện nay là làm cho học sinh học tập một cách tích cực, biết phát hiện và giải quyết vấn đề , phát triển được tư duy linh hoạt – hình thành ở các em. IV/ CƠ SỞ THỰC TIỄN : Các em học sinh vì nhiều lý do liên quan đến nội dung chương trình – thời gian , thói quen học tập đã trở nên thụ động trong quá trình học . Các em dễ dàng chấp nhận – nhớ máy móc một kiến thức để rồi vận dụng các kiến thức đó giải toán trong các tình huống riêng lẻ . Khả năng tư duy vốn tiềm ẩn không được thể hiện một cách sinh động . Cần phải thay đổi tinh thần , thái độ học tập – phương pháp học tập và cả về ý niệm học toán giải toán là như thế nào . Không nhiều các tiết dạy mà ở đó giáo viên tạo được không khí học tập cởi mở - học sinh được độc lập suy nghĩ , trao đổi , tìm hiểu các vấn đề - Các tiết dạy như vậy mang đến cho các em niềm hứng thú với môn học – hình thành ở các em phương pháp học tập sáng tạo linh hoạt . Chúng tôi nghĩ cần có một “ví dụ sinh động” về việc học , giải toán một cách chủ động – Cách thể hiện trong bài viết này là một “ví dụ”như thế - V/ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : gồm 2 phần Phần I : Các bài toán cực trị mang tính khái quát trong không gian tọa độ Phần II : các bài toán cực trị trong không gian tọa độ mang tính minh họa 2
3. Tổ Toán Tin PHẦN I : CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ MANG TÍNH KHÁI QUÁT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ Các bài toán dưới đây là những bài toán mang tính khái quát : Cho một điểm là cho tọa độ của điểm – cho một đường hay mặt thì kèm theo đó là phương trình của đường hay mặt – Tìm mặt phẳng là viết phương trình mặt phẳng Bài toán 1: Cho 2 điểm A,B và mặt phẳng . Tìm điểm M trên mặt phẳng sao cho MA+MB nhỏ nhất . Đây là bài toán quen thuộc – Có thể tìm hiểu lời giải bài toán qua các hình vẽ minh họa cho các trường hợp A,B nằm cùng phía ; khác phía đốí với mặt phẳng . Ta thử tìm hiểu nếu xuất phát từ bài toán này ta có thể xác lập được các bài toán nào khác . Nếu trong bài toán 1 ta thay “mặt phẳng ”bởi “đường thẳng ” ta có bài toán : Bài toán 1.1 : Trong không gian cho 2 điểm A,B và đường thẳng .Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho MA+MB nhỏ nhất . Ta giải quyết bài toán 1.1 trong từng trường hợp AB và đồng phẳng ; AB và chéo nhau . + Trường hợp AB và đồng phẳng ( học sinh tự tìm hiểu) + Trường hợp AB và chéo nhau : Nếu AB , chéo nhau và vuông góc nhau Điểm M cần tìm là điểm M0 trên hình vẽ bên. Nếu AB , chéo nhau và không vuông góc nhau Gọi H, K là hình chiếu của A,B lên - là mặt phẳng chứa và qua B . A’ là điểm trên sao cho A’ , B nằm khác phía đối với , A’H  và A’H = AH (xem hình) . A’B cắt tại M0 . Ta có MA + MB = MA’ +MB ≥ A’B MA+MB nhỏ nhất  M  M0 Chú ý : M0 nằm trên đoạn HK và M0H/ M0K = A’H/BK = AH/BK Năm học : 2010 – 2011 3
4. “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ”  AH   M H M K 0 BK 0 Điều thú vị là có thể phát biểu bài toán tương tự như bài toán 1 đối với mặt cầu trong một vài trường hợp đặc biệt chẳng hạn : Bài toán 1.2: Cho 2 điểm A , B nằm ngoài mặt cầu (S) có tâm I sao cho IA = IB.Tìm điểm M trên mặt cầu (S) sao cho MA+MB nhỏ nhất . Giải : Gọi H là trung điểm AB . N là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABI) .N nằm trong đường tròn lớn của mặt cầu (S) trong mặt phẳng này . Ta có : MA + MB ≥ NA + NB ≥ M0A + M0B (xem hình) MA+MB nhỏ nhất  M M0 Bài toán 2: Cho 2 đường thẳng d , chéo nhau . Tìm M d và N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. (2 điểm M,N cần tìm theo đó MN là đoạn vuông góc chung của d , .) Nếu thay “đường thẳng d ” bởi “mặt phẳng ” với và d không có điểm chung ( // ) thì bài toán mới có vô số nghiệm hình (xem hình) ( ’ là hình chiếu của lên ) Do vậy ta có thể phát biểu bài toán mới “khác” một chút . Bài toán 2.1: Cho mặt phẳng và đường thẳng ; // . Tìm tập hợp các điểm M thuộc sao cho d(M, ) là nhỏ nhất . Nếu trong bài toán 6.1 ta thay mặt phẳng bởi mặt cầu (S) ta có : Bài toán 2.2: Cho mặt cầu (S) và đường thẳng ((S) và không có điểm chung) . Tìm M (S) và N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. Trong bài toán 6 : Nếu thay “2 đường thẳng ” bởi “2 mặt ” ( 2 mặt cầu hay 1 mặt cầu và 1 mặt phẳng ) Ta có : Bài toán 2.3 : Cho mặt phẳng và mặt cầu (S ) ((S) và không có điểm chung) Tìm M (S) và N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. Giải : N0 là hình chiếu của tâm I lên mặt phẳng . Mặt cầu (S) cắt đoạn IN 0 tại . 0 là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M0 . 0 cắt đoạn MN tại P . Ta có : MN ≥ PN = d(P, ) = M0 N0 . Đoạn MN là nhỏ nhất  M  M0 4
5. Tổ Toán Tin Nhìn lại bài toán 2 - hai điểm M 0 , N0 cần tìm mà theo đó đoạn M 0 N0 là đoạn vuông góc chung .Ta có : , M0 N0 = d(M0 , ) ≤ d(M , ) – Bài toán 6 có thể phát biểu lại theo một cách khác : Bài toán 2*: Cho 2 đường thẳng d , chéo nhau . Tìm M d sao cho khoảng cách từ M đến là nhỏ nhất. Từ đây học sinh có thể phát biểu một vài bài toán tương tự khác : Bài toán 2*.2 : Cho mặt phẳng và mặt cầu (S ) ((S) và không có điểm chung) Tìm M (S) sao cho khoảng cách từ M đến là nhỏ nhất ( lớn nhất ) . Bài toán 2*.3: Cho mặt cầu (S) và đường thẳng ((S) và không có điểm chung) . Tìm M (S) sao cho khoảng cách từ M đến là nhỏ nhất ( lớn nhất ) . Bài toán 3: Cho hai điểm A , B .Tìm mặt phẳng qua A sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng là lớn nhất . Giải : mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng qua A và vuông góc với AB . (xem hình) Nếu” hai điểm A,B” được thay thế bởi“2 đường thẳng d và (không có điểm chung)”thì ta có bài toán chẳng hạn : Bài toán 3.1: Cho 2 đường thẳng d và chéo nhau .Tìm mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ d đến mặt phẳng là lớn nhất . Bây giờ ta phát biểu bài toán với” một điểm và một đường thẳng (không chứa điểm đó)” Bài toán 3.2 : Cho điểm A và đường thẳng d không chứa A .Tìm mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng là lớn nhất Ở một góc nhìn khác,trong bài toán 3 thay vì “mặt phẳng qua A” thì là “đường thẳng qua A ” Tương tự như trên , đường thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc với AB ( có vô số đường thẳng như thế) Để bài toán có nghiệm hình cụ thể ta điều chỉnh như sau : Bài toán 3.3: Cho mặt phẳng và hai điểm A , B (A ) . Tìm trong mặt phẳng đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng là lớn nhất . Để ý rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng có thể nhỏ nhất – khi đó là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng . Ta có : Bài toán 3.4: Cho mặt phẳng và hai điểm A , B (A ) . Tìm trong mặt phẳng đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng là nhỏ nhất . Năm học : 2010 – 2011 5
6. “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ” Nếu trong bài toán 3 , xuất hiện thêm điểm C thì ta xác lập bài toán mới như thế nào với các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng ? Ta có : Bài toán 3.5 : Cho ABC . Tìm mặt phẳng qua A sao cho B,C nằm cùng một phía với mặt phẳng và tổng các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng là lớn nhất . Giải : M là trung điểm BC . H,I ,N lần lượt là hình chiếu của B,C,M lên mặt phẳng . BH + CI = 2 MN ≤ 2 MA . BH + CI lớn nhất khi N  A . Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng 0 qua A và vuông góc với AM Nếu trong bài toán 3.5 , xuất hiện thêm điểm D thì ta có : Bài toán 3.6 : Cho tứ diện ABCD . Tìm mặt phẳng qua A sao cho B,C,D nằm cùng một phía với mặt phẳng và tổng các khoảng cách từ B , C, D đến mặt phẳng là lớn nhất . Giải : M là trung điểm CD . G là trọng tâm tam giác ABC . Tổng các khoảng cách từ B , C, D đến mặt phẳng bằng BH + 2 MI = 3GO ≤ 3 GA . Tổng này lớn nhất khi O  A . Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng qua A và vuông góc với AG Có thể tổng quát hóa các bài toán 2.5, 2.6 ta có : Bài toán 3.7 : Cho n+1 điểm A0 , A1 ,A2 , , An. Tìm mặt phẳng qua A 0 sao cho các điểm A1 ,A2 , ,An nằm cùng một phía với mặt phẳng và tổng các khoảng cách từ các điểm A1 ,A2 , ,An đến là lớn nhất . Có thể giải được bài toán này bằng phương pháp qui nạp toán học . Ta thử xác lập bài toán mới từ Bài toán 3.5 với một góc nhìn khác . Ta thay “mặt phẳng qua A”bởi “đường thẳng qua A ”Ta có : Bài toán 3.8 : Cho ABC . Tìm đường thẳng qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B , C đến đường thẳng là lớn nhất . Giải : Ta có BH + CI ≤ BA+CA . BH + CI lớn nhất  H  C và I  C Đường thẳng cần tìm qua C vuông góc với mặt phẳng (ABC) . (xem hình ). Có thể mở rộng bài toán 3.8 với nhiều điểm cùng nằm trong một mặt phẳng chẳng hạn : Bài toán 3.9 : Cho tứ giác ABCD . Tìm đường thẳng qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B,C,D đến đường thẳng là lớn nhất . Nếu trong bài toán 3.5 ta thay “tổng các khoảng cách từ B , C”bởi “giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ B ,C” và với sự điều chỉnh cần thiết ta có : 6