Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A, PHẦN THỨ NHẤT I, ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Chúng ta biết rằng: dạy học toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ giúp họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên và xã hội.Vì vậy, dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được kiến thức, những định lý toán học.Điều quan trọng là dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ. Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong học tập.Vì vậy cần giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ chung, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng. 2.Trong xu thế chung những năm gần đây, viêc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhất nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà ngay cả trong các giờ luyện tập. Luyện tập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức đã học một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo. Có thể nói, bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số là bài toán cơ bản và thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐHCĐ trong những năm gần đây,thế nhưng không ít học sinh còn lúng túng không có cái nhìn thấu đáo vế bài toán này, các em thường không nhận dạng được bài toán và chưa có phương pháp giải toán cho từng dạng toán cũng như khả năng phân tích đề còn nhiều khó khăn. Sở dĩ học sinh chưa làm được bài tập viết phương trình tiếp tuyến của hàm số là vì: - Thứ nhất: Bài toán viêt phương trình tiếp tuyến được trình bày ở cuối chương trình 11 nên nhiều học sinh đã quên phương pháp cho từng bài toán. - Thứ hai: Các em thiếu nhiều bài tập để rèn luyên kĩ năng phân tích và trình bày bài toán. - Thứ ba: học sinh chưa có được phương pháp khái quát các bài toán thường gặp về viết phương trình tiếp tuyến của hàm số Chính vì vậy, đã thôi thúc tôi tìm hiểu và viết đề tài “Một số bài toán thường gặp về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ” nhằm giúp các em học sinh nắm chắc được kiến thức về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để các em có sự chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp PTTH và ĐHCĐ. Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
2. 2 II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT: 1.Tiếp tuyến của đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x) ’ và M(x 0 ; f (x 0 )) (C) kí hiệu M (x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C) y f(x) M, M f (x 0 ) T O x 0 x x Đường thẳng MM’ là một cát tuyến của ( C). ’ Khi x x 0 thì M (x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M(x 0 ; f (x 0 )) và ngược lại. Giả sử MM’ có vị trí giới hạn, kí hiệu là MT thì MT được gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M. Điểm M được gọi là tiếp điểm “Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với oy” Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) (C) Phương trình tiếp tuyến tại tại M(x 0 ;y 0 ) (C) có dạng: , y=f (x 0 ).( x-x 0 ) + y 0 , -Với: f (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến và y 0 = f (x 0 ) Định lý 2: Cho hàm số (C) và đường thẳng (d) có phương trình: y = f(x) ( C ) và y = kx + b ( d ) Đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
3. 3 f ( x ) kx b , k f ( x ) Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm B.BÀI TOÁN Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) ( C ) I. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại M(x 0;y 0 ) thuộc đồ thị hàm số ( C ) * Phương pháp: - Viết phương trình tiếp tuyến của h/s: y =f(x) tại M(x 0 ;y 0 ) có dạng: , y= f (x 0 ).( x-x 0 ) + y 0 , -Với: f (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến , , -Tính: f (x) =? → f (x 0 ) =? -Kêt luận: . Nhận xét:+bài toán chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến 2 Ví dụ 1`( Đề TNTHPT-2007 ) Cho hàm số (C): y = x+1 - Hãy viết phương trình 2x 1 tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) Giải 4 Ta có: y’= 1+ nên y’(0) = 5 (2x 1) 2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) có dạng: y = 5(x-0) + 3 hay y = 5x + 3 Ví dụ 2: ( Đề TNTHPT-2006 ) Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn đồ thị (C) Giải Ta có: y’=3.x2-12x +9 ; y”=6x-12 ; y”=0 x=2 Với: x = 2 y = 2 và y’(2)= -3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn A(2;2) có dạng: y = -3(x-2) + 2 hay y = -3x + 8 Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
4. 4 II. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x=x 0 * Phương pháp: -Với: x =x 0→ y 0 =f(x 0 )=? ( về dạng trên) - Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x = x 0 có dạng: , y=f (x 0 ).( x-x 0 ) + y 0 Nhận xét:+áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ: y= y 0 → y 0 =f(x 0 ) →x 0=? ( bài toán về dạng tiếp tuyến tại một điểm ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2008 ) Cho hàm số (C): y = x 4-2x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2 Giải Ta có: y’=4x3- 4x Với: x = -2 y = 8 và y’(-2)= - 24 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) có dạng: y = -24( x + 2 ) + 8 hay y = -24x - 40 III.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) có hệ số góc là k *Phương pháp: , , -Tính: f (x) =? → f (x 0 ) =? (chứa ẩn x 0) , -Hệ số góc của tiếp tuyến là: f (x 0 ) = k→ x 0 =? → y 0 =f(x 0 )=? - Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số:y =f(x) có hệ số góc là k có dạng: y=k.( x-x 0 ) + y 0 Nhận xét: , +Số nghiệm x 0 của phương trình: f (x 0 ) = k là số phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k , +Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = kx +b→ f (x 0 ) = k→ x 0 =? → y 0 =f(x 0 )=? Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
5. 5 , +Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= kx +b→ f (x )= - 1 → x =? y =f(x 0 k 0 0 )=?→Phương trình tiếp tuyến : y=- 1 .(x- x ) + y 0 k 0 0 +Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục ox một góc ' thì: f (x0 ) tan  x0 ? y0 ?.Phương trình tiếp tuyến : y= tan .(x- x 0 ) + y 0 Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2009 ) 2x 1 Cho hàm số (C): y = Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết hệ số x 2 góc của tiếp tuyến bằng -5 Giải 5 5 Ta có: y’= .Ta có hệ số góc của tiếp tuyến: = -5 (x 2) 2 1 x=1 (x 2) 2 (x 2) 2 hoặc x=3 -Với x=1 y=-3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1;-3) có dạng: y = -5( x -1 ) - 3 hay y = -5x + 2 -Với x=3 y=7 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm B( 3;7 ) có dạng: y = -5( x -3 ) +7 hay y = -5x + 22 IV. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) qua một điểm A(x 1 ;y 1 ) *Phương pháp: , -Tính : f (x) =? -Gọi đường thẳng qua A(x 1 ;y 1 ) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- x 1 )+y 1 -Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: f (x) k(x x1) y1 , có nghiệm k f (x) , -Thay (2) vào (1)ta có: f(x) = f (x) (x- x 1 )+ y 1 (3)→x = ? thay vào(2)→k = ? -Kết luận: Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
6. 6 +Nhận xét:-số nghiệm x của phương trình(3) là số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A(x 1 ;y 1 ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2004 ) 1 Cho hàm số (C): y = x3-x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm 3 A(3;0) Giải Ta có: y’= x2-2x -Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- 3)+0 -Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: 1 x 3 x 2 k (x 3) 3 có nghiệm 2 k x 2x 1 3 2 2 -Thay (2) vào (1)ta có x x (x 2x)(x 3)→x=0 và x= 3 3 -Với x=0 thay vào(2)→k = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = 0 -Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9 -Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là: y = 0 và y = 3x – 9 Ví dụ: ( Đề TS ĐH khối A-2009 ) x 2 Cho hàm số (C): y = Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết tiếp 2x 3 tuyến cắt trục hoành,trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác AOB cân tại O Giải Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn*(d)là tiếp tuyến của ( C) *(d)cắt ox tại A và cắt oy tại B *OA=OB Cách 1: Vì (d) cắt ox tại A nên A(a;0) (d) cắt oy tại B nên B(0;b) . điều kiện: a 0 và b 0 Để tam giác AOB cân tại O thì OA=OB a b a = b hoặc a = -b x y *Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: 1 a a y = - x + a Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
7. 7 Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì: x 2 x a 2x 3 1 có nghiệm 1 2 (2x 3) Từ (2) ta có: x = -2 hoặc x = -1 -Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = -x - 2 -Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = 0 (loại) x y *Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: 1 a a y = x - a x 2 x a 2 x 3 Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì: 1 có nghiệm 1 2 ( 2 x 3 ) Từ (2) suy ra hệ vô nghiệm Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -x - 2 Cách 2: Vì tam giác AOB cân tại O nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 45 0 hoặc 1350 và không đi qua gốc tọa độ O -Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 450 ta có: 0 ' 1 tan 45 y (x0 ) 1 2 phương trình vô nghiệm (2x0 3) - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 1350 ta có: 0 ' 1 2 tan135 y (x0 ) 1 2 (2x0 3) 1 x0 = -1 hoặc x0 = -2 (2x0 3) Với x0 = -1 y0 1.Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại vì đi qua gốc tọa độ O) Với x0 = -2 y 0 0. Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - 2 Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y= -x - 2 NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện của a và b để A BO là tam giác -Với cách 2: đơn giản hơn xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp tuyến của đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ O Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
8. 8 C) BÀI TÂP CHUYÊN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3 I, Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x + 5 khi biết: 1, Hoành độ của tiếp điểm là: x1 = -1; x2 = 2 2, Tung độ tiếp điểm là : y1 = 5; y2 = 3 Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4. Viết p.tr tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau: 1, Đường thẳng d: y = 7x + 4 2,Parapol P: y = -x2 + 8x – 3 3, Đường cong (C): y = x3 -4x2 + 6x – 7 Bài 3: Học viện quân y – 98 3 Cho hàm số: (Cm): y= x + 1 – m(x + 1) 1,Viết p.tr tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với oy 2, Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8 Bài 4: ĐH Thương Mại - 20 3 Cho điểm A(x0;y0) đồ thị (C): y = x – 3x + 1. Tiếp tuyến với (C) tại A(x0;y0) cắt đồ thị (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm tọa độ điểm B Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96 Cho (C): y = x3 + 3x2 + 3x + 5 1, CMR không tồn tại 2 điểm nào (C) để 2 tiếp tuyến tại đó  với nhau 2, Tìm k để (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này  với đường thẳng: y = kx + m Bài 6: 3 2 Cho (Cm): y = f(x) = x + 3x + m + 1 1, Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1),D, E. 2, Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau Bài 7: ĐH Quốc gia TP.HCM – 96 3 2 Cho (Cm): y = f(x) = x + mx + 1 Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B,C sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc với nhau. Bài 8: HV Công nghệ BCVT HN – 01 Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x 1, Cmr: đt ( m): y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại điểm A cố định 2, Tìm m để ( m) cắt (C) tại A, B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau. Bài 9: ĐH Ngoại ngữ HN – 01 Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số