Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình vô tỉ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình vô tỉ

1. Trường THCS GIA sơn Phần I: Lý do nghiên cứu 1-Cơ sở lý luận: Trong quỏ trỡnh phỏt triển ,xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người .Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ xung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi ,sáng tạo ,đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng .đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phộp biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ”giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán.Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. 2.Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào?có những phương pháp nào? Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu. Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
2. Trường THCS GIA sơn II-Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. + Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượngdạy và học môn toán. + Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương trình vô tỉ. III- Nhiệm vụ nghiên cứu: 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 2. Hệ thông hoá một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. 3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đật được khi triển khai đề tài. 4. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm. IV- Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 1. Đối tượng nghiên cứu: a. Các tài liệu b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Gia Sơn 2. Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp ở THCS. V- Phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 2. Phương pháp điều tra, khảo sát. 3. Phương pháp thử nghiệm 4. Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm VI- Giả thuyết khoa học: Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
3. Trường THCS GIA sơn PHầN II: Nội dung A- Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: * Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai và căn bậc ba) * Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương trình vô tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. I-Phương pháp nâng lên luỹ thừa: 1. Kiến thức vận dụng: + (A B)2 = A2 2AB + B2 + (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3 f (x) 0 + f (x) g(x) g(x) 0 2 f (x) g(x) + 3 A m A m3 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 2x 1 x (1) Giải Điều kiện căn có nghĩa: 2x 1 0 (2) 1 x 2 (1) 2x 1 x 2 (3) Với điều kiện x 2 0 (4) (3) 2x - 1 = (x-2)2 (5) 2x 1 x 2 4x 4 x 2 6x 5 0 Giải ra ta được x1=1 không thoả mãn (4) x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 1 5x 1 3x 2 (1) Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
4. Trường THCS GIA sơn x 1 0 Phương trình (1) có nghĩa: 5x 1 0 x 0 (2) 3x 2 0 (1) x 1 3x 2 5x 1 Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được x 1 3x 2 5x 1 2 (3x 2)(5x 1) 2 7x 2 15x 2 13x 2 2 7x 0 2 2 4(15x 13x 2) (2 7x) (3) 2 Giải (3) ta được: x không thoả mãn (1). 7 Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 3:Giải phương trình x 1 x 2 1 (1) Giải Điều kiện: x 2 (2) Viết PT (1) dưới dạng x 1 x 2 1 (3) Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được x 1 x 2 1 2 x 2 2 2 x 2 x 2 1 x 2 1 x 3 thoả mãn điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3 Lưu ý: + Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK x+1 x 2 (Đk này luôn đúng) + Nếu biến đổi (1) thành x 2 x 1 1 rồi bình phương hai vế ta phải đặt ĐK x 1 1 x 0 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 x 1 2 3 7 x (1) Giải: Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
5. Trường THCS GIA sơn (1) 3 x 1 3 7 2x 2 (3 x 1 3 7 x)3 23 3 (x 1)(7 x) 0 Giải (1) (x 1)(7 x) 0 x1 1; x2 7 Là nghiệm của phương trình Chú ý: - Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương.- Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn. Ví dụ5: Giải pt: x 2 4x 4 x 8 (1) Giải: (x 2) 2 x 8 x 2 + x 8 Nếu x 2 thì x 2 x 8 x 5 Nếu x < 2 thì 2 x x 8 vô nghiệm Kết luận : x=5 là nghiệm của pt 4- Bài tập tương tự: Giải các pt sử dụng phép bình phương. 1/ x2-4x =8 x 1 (x=4+2 2 ) 2/ 2x 2 8x 6 + x 2 1 =2x+2 7 7 3/ x 2 + x =x (x=2) x 2 x 2 4/ x 1 - x 2 = x 5 - x 10 (x=-1) Sử dụng phép lập phương: 1/ 3 x 1 + 3 x 2 = 3 2x 3 (x=4; 2) 5 2/ 3 x 1 + 3 x 1 = 3 5x (x=0; ) 2 3/ 3 x 1 + 3 3x 1 = 3 x 1 (x=- 1) 28 4/ 3 1 x + 3 1 x =1 (x= ) 27 Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
6. Trường THCS GIA sơn II -Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 1/kiến thức vận dụng : +) f (x) 2 f (x) f (x) nếu f (x) 0 f (x) nếu f (x) 0 +)phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ) 2-Ví dụ: Ví dụ6 :Giải phương trình : x 2 4x x 2 + x 7 6 x 2 1 (1) Giải: Điều kiện : x-2 0 hay x 2 (2) ( x 2 2) 2 ( x 2 3) 2 1 x 2 2 x 2 3 1 Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức a b a b , dấu “=” xảy ra khi a,b > 0. Khi đó x 2 2 3 x 2 x 2 2 3 x 2 1 (3) Dấu “=”xảy ra khi: x 2 2 3 x 2 0 (4) Giải (4) ta được: 6 x 11Thoả mãn (2) Vậy nghiệm của phương trình (1)là : 6 x 11 3/ Chú ý : + Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết được thành bình phương của một biểu thức. + Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên. 4/ Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) x 2 2x 1 x 2 2x 1 2 x 1 2) x x 2 1 x x 2 1 2 x 2 5 3) x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 x 3 2 III- Phương pháp đặt ẩn phụ: Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
7. Trường THCS GIA sơn 1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới: Ví dụ 7: Giải phương trình x 2 5x 13 4 x 2 5x 9 (1) Giải : 5 11 Ta có : x 2 5x 9 x > 0 2 4 Đặt: x 2 5x 9 y 0 x 2 5x 9 y 2 Khi đó (1) y2 + 4 = 4y y 2 x 2 5x 5 4 x 2 5x 5 0 5 5 x 2 5 5 x 2 1 1 Ví dụ 8: Giải phương trình: x x x 2 (1) 2 4 Giải: Điều kiện: x 4 (2) 1 Đặt: x y 0 4 1 x y 2 4 1 1 Khi đó (1) trở thành y 2 (y ) 2 2 4 2 2 2 1 y 0 2 2 4y 4y 7 0 2 2 1 y 2 2 2 1 Trường hợp y < 0 loại 2 x 2 2 , thoả mãn điều kiện (2) Vậy nghiệm của phương trình là : x 2 2 Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
8. Trường THCS GIA sơn Ví dụ 9: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 3 3 x 3 0 (1) Giải: Đặt: x 2 y (1) 3 y 3 1 3 y 3 1 y Lập phương hai vế ta có : y 3 y3 y 6 1 y 0 2 3 6 y y 1 (+) Nếu: y 0 3 x 2 0 x 2 (+) Nếu y 2 3 y 6 1 y 6 y 6 1, vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là : x = -2 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình: a. Dạng: ax b r(ux v) dx e (1) Với a,u,r 0 Đặt u.y v ax b Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng : u(x y)(ruy rux 2ur 1) 0 Ví dụ 10: Giải phương trình: 2x 15 32x 2 32x 20 (1) Giải: 15 Điều kiện: 2x 15 0 x 2 Khi đó: (1) 2x 15 2(4x 2) 2 28 (2) Đặt: 4y 2 2x 15 (3) 1 Điều kiện: 4y 2 0 y 2 Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4) Từ (3) ta có : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5) (4x 2) 2 2y 15(4) Từ (4) và (5) có hệ: 2 (4y 2) 2x 15(5) Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0 Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
9. Trường THCS GIA sơn +) Nếu: x-y = 0 x y thay vào (5) ta được : 16x2 + 14x-11 =0 1 x 2 11 x 8 11 với x , loại 8 +) nếu 8x + 8y + 9 = 0 8y 8x 9 , Thay vào 9 (4) ta được: 64x2 + 72x-35 =0 9 221 , loại x 16 9 221 x 16 1 Vậy nghiệm của phương trình là : x 1 2 9 221 x 2 16 b) Dạng: 3 ax b r(ux v)3 dx e (1) Đặt uy v 3 ax b (1) đưa được về dạng:u(y v)(rP 2 rPQ rQ 2 1) 0 Trong đó: P uy v Q ux v Ví dụ 11: Giải phương trình: 3 3x 5 8x 3 36x 2 53x 25 (1) Giải (1) 3 3x 5 =(2x-3)3-x+2 (2) Đặt :2y-3= 3 3x 5 3x 5 (2y 3)3 (3) khi đó (2) 2y x 5 (2x 3)3 (4) Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch