Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp hàm số để tìm điều kiện của bài toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp hàm số để tìm điều kiện của bài toán

1. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT A/. Lý do chọn đề tài: - Trong chương trình Toán học THPT bài toán “Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm hay vô nghiệm” chiếm một lượng lớn. Đây là một trong những bài toán khó và được đề cập đến không ít trong các kỳ thi Đại học – Cao đẳng – THCN. - Để giải được các bài toán đó có rất nhiều phương pháp như: Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2, phương pháp toạ độ phẳng, phương pháp lượng giác và phương pháp đạo hàm và bảng biến thiên của hàm số. Việc nắm vững bản chất và ý nghĩa của bảng biến thiên của hàm số giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về miền giá trị của hàm số và tính chất của hàm số và nếu biết sử dụng nó thích hợp trong từng bài toán thì nó có thể cho những lời giải ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu hơn so với những phương pháp khác. Tuy nhiên phương pháp sử dụng đạo hàm và BBT của hàm số không phải là phương pháp tối ưu trong tất cả các bài toán. Nhưng khi sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 thì đại đa số học sinh không loại trừ được hết các điều kiện xảy ra, sử dụng phương pháp tọa độ thì nói chung học sinh không sử dụng được vì liên quan đến hình học - Trong bài viết này tôi đưa ra một số ví dụ minh chứng cho điều đó và sử dụng hoàn toàn bằng phương pháp đạo hàm và BBT của hàm số để giải. Tuy nhiên trong các bài toán đó có thể áp dụng được một số phương pháp đơn giản để tìm điều kiện của bài toán như là sử dụng: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm; các bất đẳng thức cơ bản là BĐT Cô si, BĐT Bunhiacôpski B/. Nội dung: Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình: (x 1)(x 3)(x 2 4x 6) m thoả mãn với mọi x R Hướng dẫn: Đặt t x 2 4x 3 t' 2x 4 0 x 2 Ta có BBT: x - -2 + t’ - 0 + + + t -1 Vậy t 1 với mọi x R . Khi đó ta có: t 2 3t m (*) Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 1
2. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x R khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t 1. 2 Xét hàm số: y t 3t với t 1 3 Có y' 2t 3 0 t 2 BBT: 3 t - 1 + 2 y’ - 0 0 + + + y -1 -2 Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi t 1 m 2 Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x R m 2 Bài toán 2: Tìm điều kiện của a để : 4 (4 x)(2 x) x 2 2x a 18 nghiệm đúng với mọi x [ 2,4] Hướng dẫn: * TXĐ: x [ 2,4] . Đặt u x 2 2x 8 với x [ 2,4] x 1 Có u' 0 x 1 x 2 2x 8 BBT: x - -2 -1 4 + u’ + 0 - 3 u 0 0 Vậy: 0 u 3 Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: u 2 4u 10 a Xét hàm số: y u 2 4u 10 với 0 u 3 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 2
3. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Có : y' 2u 4 0 u 2 BBT x - 0 2 3 + u’ - 0 + 10 7 u 6 Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x [ 2,4] Maxy a u 0,3 10 a a 10 Bài toán 3: Tìm m để phương trình: x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1 có nghiệm. có nghiệm? Hướng dẫn : * TXĐ: x [1,5] Đây là một dạng phương trình “không mẫu mực”, tức là ta không thể luỹ thừa 2 vế của phương trình để giải. Đối với các loại phương trình này người ta thường giải bằng cách đánh giá giá trị của 2 vế của phương trình đó. ở bài toán này ta sẽ khảo sát hàm số y x 1 x 1 5 x 18 3x trên tập xác định của nó là đoạn [1,5] . Khi đó việc tìm m để phương trình có nghiệm hoàn toàn có thể thực hiện được. 1 1 1 1 Ta có y' 0,x [1,5] 2 x 1 2 x 1 2 5 x 2 18 3x Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [1,5] và: y(1) 2 2 15 ; y(5) 2 6 3 Ta có BBT sau: x - 1 5 + y’ + 2 6 3 y Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 3
4. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT 2 2 15 Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm khi : 2 2 15 2m 1 2 6 3 ; 2 2 15 2 6 2 m 2 2 Bài toán 4: Tìm điểu kiện để phương trình: 3 x 6 x (3 x)(6 x) m Hướng dẫn : * TXĐ: x  3,6 Đây là một bài toán thường gặp trong các bài thi Đai học. Đối với bài toán này ta có thể sử dụng một số phương pháp khác như: Phương pháp tam thức bậc 2, phương pháp chuyển hệ phương trình và sử dụng điều kiện đường tròn Đặt: t 3 x 6 x , x  3,6 1 1 6 x 3 x 3 Ta có: t' 0 x 2 3 x 2 6 x 2 (3 x)(6 x) 2 x - -3 3/2 6 + t’ + 0 - 3 2 t 3 3 Vậy t 3,3 2 t 2 9 Khi đó ta có: t 2 9 2 (3 x)(6 x) (3 x)(6 x) 2 Vậy phương trình đã cho trở thành: t 2 2t 9 2m Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ẩn t có nghiệm t 3,3 2. 2 Xét hàm số: y t 2t 9, t 3,3 2. có: y' 2t 2 0 t 1 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 4
5. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT BBT: t - 1 3 3 2 + y’ 0 - 6 y 6 2 9 6 2 9 Vậy phương trình có nghiệm khi: 6 2 9 2m 6 m 3 2 Bài toán 5: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 2x 1 m 2 m 1. (1) 3 Hướng dẫn: Vì m 2 m 1 0 m nên ta có: 2 1 2 (1) x 2x.log 1 log 1 (m m 1) 3 3 3 2 2 x 2x log 1 (m m 1) 3 2 Đặt: M log 1 (m m 1) 3 x 2 2x M Xét y x 2 2x Ta có bảng biến thiên sau: x 0 1 2 2 y x 2x x 2 2x -( x 2 2x ) x 2 2x y’ 2x-2 2-2x 2x-2 y’ - + 0 - + 1 y x 2 2x 0 0 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 5
6. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Từ BBT ta thấy: Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 2 0 m 1 0 log 1 (m m 1) 1 3 1 m 2 m 1 1 3 1 m 0 Bài toán 6: Biện luận số nghiệm của phương trình x m m x 2 1 Hướng dẫn: TXĐ: R x m( x 2 1 1) x( x 2 1 1) mx 2 x 0 2 x 1 1 mx Vậy phương trình luôn có nghiệm x=0. x 2 1 1 Với x 0 ta có: m x x 2 1 1 Xét hàm số: y ; x 0 x x 2 (x 2 1) 1 y' 0,x 0 x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 Vậy hàm số nghịch biến với mọi x 0 . x 2 1 1 x 2 1 1 Và: lim y lim 1;lim y lim 1 x x x x x x x 2 1 1 x 2 1 1 lim y lim ;lim y lim x 0 x 0 x x 0 x 0 x Ta có BBT sau: x - 0 + y’ - - y + -1 +1 - Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 6
7. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Kết luận: Với m 1 m 1 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Với 1 m 1 Phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=0 2x 2 xy y 2 1 Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình : 2 2 (I) x xy y m có nghiệm? Hướng dẫn: 2x 2 1 1 m * Với y=0 , hệ trở thành: 2 . Hệ có nghiệm khi . x m 2 1 x 2t 2 t 1 * Với y 0, ta đặt t . Khi đó hệ trở thành y 2 (II) y 2 2 t t 1 m(2t t 1) Vậy để hệ phương trình (I) có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y). 1 t 1 Từ hệ (II) xét phương trình : 2t 2 t 1 ta có: 2t 2 t 1 0 1 y 2 t 2 t 2 t 1 Do đó hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y) m có nghiệm 2t 2 t 1 1 t ( , 1)  ( , ) . 2 t 2 t 1 1 Xét hàm số: f (t) trên ( , 1)  ( , ) 2t 2 t 1 2 t 2 6t 2 t 3 7 Ta có: f '(t) 2 2 ; f '(t) 0 (2t t 1) t 3 7 Lập bảng biến thiên: 1 t - 3 7 -1 3 7 + 2 f’(t) - 0 + + 0 - - 1 + + 2 f(t) 14 5 7 1 28 11 7 2 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 7
8. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ 14 5 7 khi: m 28 11 7 x 2 y a y 2 (1) Bài toán 8: Tìm điều kiện của a để hệ phương trình 2 2 có y x a x (2) nghiệm duy nhất? Hướng dẫn: Trừ hai vế của hai phương trình cho nhau ta có: y x (x y)(xy x y) 0 xy x y 0 TH1: Nếu y=x thay vào phương trình (1) ta có: a x 3 x 2 . Số cặp nghiệm của hệ phương trình là số nghiệm của phương trình: a x 3 x 2 Xét hàm số f (x) x 3 x 2 x 0 f '(x) 3x 2 2x 0 2 Ta có: x 3 BBT: 2 x - 0 + 3 f’(x) - 0 + 0 - + 4 27 f(x) 0 - 4 Vậy: - Với a ( ,0)  ( , ) Hệ có một cặp nghiệm. 27 a 0 4 - Với a Hệ đã cho có 2 cặp nghiệm phân biệt. 27 4 - Với a (0, ) Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm phân biệt. 27 x TH2: Nếu xy x y 0 y vì x 1 x 1 x 4 x 3 x 2 Thay vào phương trình (1) ta có: a (x 1) 2 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 8
9. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT x 4 x 3 x 2 Xét hàm số g(x) với x 1 (x 1) 2 x(x 1)(x 2)(2x 2 x 1) Ta có: g'(x) (x 1) 4 x 0 Vậy g'(x) 0 x 2 x 1 BBT: x - -2 -1 0 + g’(x) - 0 + - 0 + + + + + g(x) 12 0 Vậy: - Với a<0 Hệ phương trình vô nghiệm. - Với a=0 Hệ có 1 cặp nghiệm. - Với a (0.12) Hệ có 2 cặp nghiệm. - Với a=12 Hệ có 3 cặp nghiệm. - Với a (12, ) Hệ có 4 cặp nghiệm. Kết luận: Vậy với m<0 Hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm duy nhất. Bài toán 9: cos 2 4x 1/. Tìm miền giá trị của hàm số: y 3 cos 4x 2/. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin 4 x cos 4 x m 2 cos 2 4x . Hướng dẫn: 1/. Đặt t cos 4x t [ 1,1] , như vậy bài toán trở thành tìm miền giá trị cử t 2 hàm số: y ,t [ 1,1] 3 t t 2 6t x 0 Ta có: y' 2 0 (t 3) x 6 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 9
10. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Vậy ta có BBT sau: t - -1 0 1 6 + y’ - 0 + 1 2 1 y 4 0 1 Vậy miền giá trị của hàm số đã cho là: 0 y 2 2/. Xét phương trình: sin 4 x cos 4 x m 2 cos 2 4x 3 cos 4x 4m 2 cos 2 4x cos 2 4x 1 Vì m=0 không thoả mãn phương trình nên ta có: 3 cos 4x 4m 2 Từ câu 1/. ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: cos 2 4x 1 1 0 m 2 3 cos 4x 2 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nếu: m 2 Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình: cos 2x m.cos 2 x. 1 tgx có nghiệm x 0; 3 Giải: Với x 0; ta có tgx 0; 3 3 1 tg 2 x 1 tgx Phương trình đã cho tương đương với: m. 1 tg 2 x 1 tg 2 x (1 tgx)(1 tgx) m. 1 tgx 1 tgx 0 tgx 1 x k 0; 4 3 (1 tgx) 1 tgx m(*) Vậy để phương trình đã cho có nghiệm x 0; khi và chỉ khi (*) có 3 nghiệm x 0; 3 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 10