Sáng kiến kinh nghiệm Toán luỹ thừa trong Q

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Toán luỹ thừa trong Q

1. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương Mục lục Trang A. Đặt vấn đề B. Nội dung và phương pháp I .Tình hình chung II .Những vấn đề được giải quyết III .Phương pháp tiến hành 1. Cơ sở lí thuyết 2. Các dạng bài tập 2.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 2.1.1. Tìm cơ số, thành phần cơ số của luỹ thừa 2.1.2. Tìm số mũ, thành phần số mũ của luỹ thừa 2.1.3. Một số trường hợp khác 2.2. Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa 2.2.1. Tìm một chữ số tận cùng 2.2.2. Tìm 2 chữ số tận cùng 2.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên 2.3. Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa 2.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa 2.5. Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa 3. Kết quả thực hiện VI. Những vấn đề hạn chế và hướng tiếp tục nghiên cứu V. Điều kiện áp dụng C. Kết luận Tài liệu tham khảo 1
2. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương A. Đặt vấn đề Phải nói rằng: Toán học là một môn khoa học tự nhiên lý thú. Nó cuốn hút con người ngay từ khi còn rất nhỏ. Chính vì vậy, mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi môn toán là nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Trong giảng dạy môn toán , ,việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản , biết khai thác và mở rộng kiến thức , áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng . Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy , óc sáng tạo , sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học lớp 6 . Đó là tiền đề để các em học tốt môn ĐạI Số sau này. Trong toán học, ‘’Toán luỹ thừa’’ là một mảng kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về luỹ thừa không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh lớp 6, lớp 7, các em mới được làm quen với môn đại số và mới được tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính toán Để học tốt bộ môn toán nói chung và ‘’Toán luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng là luôn biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải từng bài tâp qua sự suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đứng trước một bài toán khó, chưa tìm ra cách giải, học sinh thực sự lúng túng, hoang mang và rất có thể sẽ bỏ qua bài toán đó, nhưng nếu có được sự giúp đỡ, gợi mở thì các em sẽ không sợ mà còn thích thú khi làm những bài toán như vậy. Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh lớp 6, lớp 7, bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi , học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, tôi muốn trình bày một số ý kiến về chuyên đề ‘’Toán luỹ thừa trong Q’’ nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng. B. Nội dung và phương pháp I. Tình hình chung Thông qua giảng dạy, tôi thấy hầu hết học sinh cứ thấy bài toán liên quan đến luỹ thừa là sợ, đặc biệt là luỹ thừa với số mũ lớn , số mũ tổng quát. Như đã nói ở trên, học sinh lớp 6, lớp 7 mới được tiếp xúc với toán luỹ thừa, trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ vừa phải, nhẹ nhàng. Chính vì thế mà khi giáo viên chỉ cần thay đổi yêu cầu của đề bài là học sinh đã thấy khác lạ, khi nâng cao lên một chút là các em gặp khăn chồng chất: Làm bằng cách nào? làm như thế nào? chứ chưa cần trả lời các câu hỏi: làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6, lớp7 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập. 2
3. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương II. Những vấn đề được giải quyết. 1. Kiến thức cơ bản 2. Kiến thức bổ sung 3. Các dạng bài tập và phương pháp chung 3.1. Dạng1: Tìm số chưa biết 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa 3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa 3.1.3. Một số trường hợp khác 3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa 3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng 3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên 3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa 3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa 3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừa III. Phương pháp tiến hành. 1. CƠ Sở Lý THUYếT a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên n * a = a.a a (n N ) n thừa số b. Một số tính chất : Với a, b, m, n N am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p N) am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy ước: a1 = a a0 = 1 (a ≠ 0) ❖ Với : x, y Q; m, n N; a, b Z n * x = x.x x (x N ) n thừa số 3
4. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương n a a n (b ≠ 0, n ≠ 0) b b n xo = 1 xm . xn = xm+n m x m n x x n (x ≠ 0) 1 x-n = (x ≠ 0) x n (xm)n = xm.n (x.y)m = xm. ym n x x n (y ≠ 0) n y y c. Kiến thức bổ sung * Với mọi x, y, z Q: x x + z 0 thì: x x . z x . z > y . z * Với x Q, n N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Với a, b Q; a > b > 0 => an > bn a > b a2n +1 > b2n + 1 a > 1 , m > n > 0 => am > an 0 n > 0 => am > an 2. Các dạng bài tập 1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa *Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ Bài 1: Tìm x biết rằng: a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8 c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = 9 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp. 4
5. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8 x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3  x = -3 => 2x – 1 = - 2 Vậy x = - 3 2x = -2 + 1 2x = - 1 1 => x = 2 1 Vậy x = 2 c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3 2x = 6 2x = 0 x = 3 x = 0 Vậy x = 3 hoặc x = 0 . d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4 x = -2 x = 6 Vậy x = -2 hoặc x = 6 Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5 Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết , số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ ‘’ tìm mò ằ được x = o hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? Giáo viên có thể gợi ý : x 2 0 x 0 x 0 x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 => => => 3 3 x 1 0 x 1 x 1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau : Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20 x 0 x10 0 x 0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : => => x 1 10 10 x 1 0 x 1 x 1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây , vì đã tìm được x .Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y . 1 +) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 3 5
6. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương 2 +) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 3 +) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0 1 2 Vậy y = ; ; 0 3 3 Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 Bài nàyngược với bài trên , hai lũy thừa đã có số mũ -đã biết- giống nhau nhưng cơ số – chưa biết – lại khác nhau . Lúc này ta cần sử dụng tính chất : bình phương của hai lũy thờa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau . Ta cố : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – 5 = 1 – 3x hoặc x – 5 = 3x – 1 => 4x = 6 2x = -4 6 3 => x = = x = -2 4 2 Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) Với bài toán này , cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau , lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu ‘ ’’ , thật là khó ! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề : hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0 . Ta thấy : (3x - 5)100 0  x Q (2y +1)200 0  x Q => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0 , không thể nhỏ hơn 0 Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 3x – 5 = 2y + 1 =0 5 1 => x = và y = 3 2 Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 x = -2 => y = 3 +) Trường hợp 2 : (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 1 y 4 => x = -2 => y 2 6
7. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương +) Trường hợp 3 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 0 x 2 1 => => y = 3 x 2 1 x 1 => x 3 +) Trường hợp 4 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 1 x 1 y 4 => => x 3 y 2 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 2 3 3 4 2 4 2 Thật là một bài toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp ,bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài . Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau : 1 . Tìm x biết : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1 c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 2 . Tìm y biết : a, y200 = y b, y2008 = y2010 y y c, (2y - 1)50 = 2y – 1 d, ( -5 )2000 = ( -5 )2008 3 3 3 . Tìm a , b ,c biết : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1 : Tìm n N biết : a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a, a, 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0 7
8. Toán Luỹ thừa Trong Q Hoàng Dương Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên : b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = 2 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d, c, 32-n. 16n = 1024 (25)-n. (24)n = 1024 2-5n. 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162 =>6 . 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – 1 = 3 n = 4 Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n . Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = 0 => 2m.2n -2m -2n + 1 = 1 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1 (2m - 1)( 2n - 1) = 1 (*) Vì 2m 1 , 2n 1  m,n N 2m 1 1 2m 2 m 1 Nên từ (*) => => => n n 2 1 1 2 2 n 1 Vậy : m = n = 1 Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho : 8