Sáng kiến kinh nghiệm Sự phong phú của tam giác đồng dạng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sự phong phú của tam giác đồng dạng

1. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 SỰ PHONG PHÚ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I/MỞ ĐẦU: * Người ta thường núi:’’Bớ như hỡnh ‘’thật khụng sai ;bởi vỡ phần lớn học sinh đều ngỏn ngẫm mụn học này do sự phong phỳ và phức tạp của ‘’tam giỏc đồng dạng’’ .Nhưng nếu cỏc em nắm chắc được lớ thuyết và vận dụng tốt thỡ trớ tuệ phỏt triển rất nhanh. *Trong chương trỡnh hỡnh học phẳng THCS, đặc biệt là chương 3 hỡnh học 8, phương phỏp“Tam giỏc đồng dạng” là một cụng cụ quan trọng nhằm giải quyết cỏc bài toỏn hỡnh học . Làm cơ sở để học sinh vận dụng giaỉ cỏc bài toỏn về hỡnh học phẳng ở cỏc lớp trờn . *Phương phỏp “ Tam giỏc đồng dạng” là phương phỏp ứng dụng tớnh chất đồng dạng của tam giỏc, tỷ lệ cỏc đoạn thẳng, trờn cơ sở đú tỡm ra hướng giải cỏc dạng toỏn hỡnh học. *Trờn thực tế, việc ỏp dụng phương phỏp “Tam giỏc đồng dạng” trong giải toỏn cú cỏc thuận lợi và khú khăn chứng như sau: * Thuận lợi: + Phương phỏp “ Tam giỏc đồng dạng” là cụng cụ chớnh giỳp ta tớnh toỏn nhanh chúng cỏc dạng toỏn đặc trưng về tớnh tỷ lệ, chứng minh hệ thức, cỏc bài tập ứng dụng cỏc định lý sau Thales + Với một số dạng toỏn quen thuộc như chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, gúc bằng nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phương phỏp “ Tam giỏc đồng dạng” cú thể cho ta những cỏch giải quyết gọn gàng, ngắn hơn cỏc phương phỏp truyền thống khỏc nhau sử dụng tớnh chất tam giỏc, tớnh chất tứ giỏc đặc biệt Học sinh sẽ vận dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn khi giải toỏn . + Phương phỏp “ Tam giỏc đồng dạng” giỳp rốn luyện tốt khả năng tư duy logic của học sinh, rốn luyện tớnh sỏng tạo, phỏt triển trớ tuệ cho học sinh một cỏch hiệu quả. Từ đú học sinh đam mờ học toỏn . * Khú khăn: + Phương phỏp “ Tam giỏc đồng dạng” cũn lạ lẫm với học sinh. Cỏc em chưa quen với việc sử dụng một phương phỏp mới để giải toỏn thay cho cỏc cỏch chứng minh truyền thống, đặc biệt là với cỏc học sinh lớp 8 mới. + Việc sử dụng cỏc tỷ số cạnh rất phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tớnh toỏn, biến đổi vũng quanh luẩn quẩn, khụng rỳt ra ngay được cỏc tỷ số cần thiết, khụng cú kỹ năng chọn cặp tam giỏc cần thiết phục vụ cho hướng giải bài toỏn. *Từ những nhận định trờn, sỏng kiến kinh nghiệm này giải quyết giỳp cho giỏo viờn dạy lớp 8 và cỏc em học sinh một số vấn đề cụ thể là : - Hệ thống lại cỏc kiến thức thường ỏp dụng trong phương phỏp. - Hệ thống cỏc dạng toỏn hỡnh học thường ỏp dụng phương phỏp “ Tam giỏc đồng dạng”. - Định hướng giải quyết cỏc dạng toỏn này bằng Phương phỏp “ Tam giỏc đồng dạng” - Hệ thống một số bài tập luyện tập. *Trong sỏng kiến kinh nghiệm này tụi đó cú rất nhiều cố gắng nhằm làm rừ thờm một số phương phỏp hỡnh học đặc trưng, tuy nhiờn do hạn chế về kiến thức về thực tế giảng dạy chắc chắn sỏng kiến kinh nghiệm cũn nhiều thiếu sút. Kớnh mong cỏc thầy giỏo, cụ giỏo cú nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy, cỏc bạn đồng nghiệp tham gia gúp ý bổ sung làm cho sỏng kiến kinh nghiệm trở nờn hoàn chỉnh hơn. Tụi xin chõn thành cảm ơn tất cả cỏc quý vị . GV:Nguyễn Kim Chỏnh 1 Sỏng kiến kinh nghiệm
2. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 II/ KẾT QUẢ : Để cú kết quả tốt khi học về tam giỏc đồng dạng thỡ cỏc em cần nắm vững khỏi niệm về tam giỏc đồng dạng . Từ đú mới phõn tớch, biến đổi thành thạo trong mọi trường hợp. * Lí THUYẾT : Học sinh cần nắm chắc và hiểu kỹ những kiến thức về tam giỏc đồng dạng sau để vận dụng cho tốt trong mọi trường hợp cụ thể . 1. Đinh lý Talet trong tam giỏc. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc và cắt hai cạnh cũn lại thỡ nú định A ra trờn cạnh đú những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. MN // BC AM AN AB AC M N AM AN B C MB NC 2. Khỏi niệm tam giỏc đồng dạng. Tam giỏc A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giỏc ABC nếu: + àA' àA ; Bà' Bà; Cà ' Cà A' B ' B 'C ' A'C ' AB BC AC 3. Cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc: a) Trường hợp thứ nhất (ccc): Nếu 3 cạnh của tam giỏc này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giỏc kia thỡ 2 tam giỏc đú đồng dạng. b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu 2 cạnh của tam giỏc này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giỏc kia và 2 gúc tạo bởi tạo cỏc cặp cạnh đú bằng nhau thỡ hai tam đú giỏc đồng dạng. c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu 2 gúc của tam giỏc này lần lượt bằng 2 gúc của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng. d) Cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc vuụng. + Tam giỏc vuụng này cú một gúc nhọn bằng gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng. + Tam giỏc vuụng này cú hai cạnh gúc vuụng tỷ lệ với hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng. + Nếu cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này tỷ lệ với cạnh huyền và cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng. * ÁP DỤNG:Để dễ sử dụng kiến thức khi tớnh toỏn, so sỏnh, chứng minh .Tụi tạm chia thành cỏc dạng toỏn cơ bản sau: &.DẠNG1:Tớnh độ dài đoạn thẳng, gúc, tỷ số, diện tớch, chu vi: _ Loại1: Tớnh độ dài đoạn thẳng: _Vớ dụ:1) Cho ABC vuụng ở A, cú AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực của BC cắt BC , BA, CA lần lượt ở M, E, D. Tớnh độ dài cỏc đoạn BC, BE, CD. 2) Hỡnh thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC) GV:Nguyễn Kim Chỏnh 2 Sỏng kiến kinh nghiệm
3. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 a) Tớnh cạnh hỡnh thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quỏt với AB = a, BC = c. 2ac b) Chứng minh rằng BD c (đối diện với gúc lớn hơn) nờn chỉ cú 2 khả năng là: b = c + 1 hoặc b= c + 2 * Nếu b = c + 1 thỡ từ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + 1 = ac c(a-2) = 1 (loại) vỡ c= 1 ; a = 3; b = 2 khụng là cỏc cạnh của 1 tam giỏc * Nếu b = c + 2 thỡ từ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + 4 = ac c(a – 4) = 4 Xột c = 1, 2, 4 chỉ cú c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa món bài toỏn. Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. _Loại2:Tớnh gúc: _Vớ dụ:1) Cho ABH vuụng tại H cú AB = 20cm; BH = 12cm. Trờn tia đối của HB lấy điểm C 5 sao cho AC = AH. Tớnh Bã AC . 3 2) Cho hỡnh thoi ABCD cạnh a, cú A = 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của cỏc tia BA, DA tương ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tớnh BKD? 3) ABC cú AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bằng 54cm; DEF cú DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chứng minh AEF P ABC b) Biết A = 1050; D = 450. Tớnh cỏc gúc cũn lại của mỗi GV:Nguyễn Kim Chỏnh 3 Sỏng kiến kinh nghiệm
4. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 Giải:1) AB 20 5 AC Ta cú A BH 12 3 AH AB BH 20cm AC AH C 12cm B Xột ABH và CAH cú : H ãAHB = Cã HA = 900 AB BH (chứng minh trờn) AC AH ABH P CAH (CH cạnh gv) Cã AH = ãABH Lại cú Bã AH + ãABH = 900 nờn Bã AH + Cã AH = 900 Do đú : Bã AC = 900 Giải:2) MB MC Do BC // AN (vỡ N AD) nờn ta cú : (1) AB NC MC AD M Do CD // AM (vỡ M AB) nờn ta cú : (2) NC DN B MB AD Từ (1) và (2) K AB DN A 60 C ABD cú AB = AD (đ/n hỡnh thoi) và àA = 600 nờn là đều AB = BD = DA D MB AD MB BD Từ (cm trờn) N AB DN BD DN Mặt khỏc : Mã BD = Dã BN = 1200 MB BD Xột 2 MBD và BDN cú : ; Mã BD = Dã BN BD DN MBD P BDN (c.g.c) ả à M1 = B1 ả à ã ã ã 0 MBD và KBD cú M1 = B1 ; BDM chung BKD = MBD = 120 Vậy Bã KD = 1200 _ Loại3 :Tớnh tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, tỉ số diện tớch: _Vớ dụ: 1) Cho ABC, D là điểm trờn cạnh AC sao cho Bã DC ãABC . Biết AD = 7cm; BD DC = 9cm. Tớnh tỷ số BA 2) Cho hỡnh vuụng ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CE cắt DF S ở M. Tớnh tỷ số CMB ? SABCD 3) Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. a) BM cắt AC ở P, P’ là điểm đối xứng của P qua M. Chứng minh rằng PA = P’D. Tớnh tỷ số PA AP và PC AC PQ PM b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh rằng PQ // BC. Tớnh tỷ số và BC MB GV:Nguyễn Kim Chỏnh 4 Sỏng kiến kinh nghiệm
5. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 c) Chứng minh rằng diện tớch 4 tam giỏc BAM, BMD, CAM, CMD bằng nhau. Tớnh tỷ số diện tớch MAP và ABC. Giải:1) CAB và CDB cú C chung ; ãABC = Bã DC (gt) CB CA CAB P CDB (g.g) do đú ta cú : A CD CB 7cm D CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nờn CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) 9cm Do đú CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) DB 3 B C Mặt khỏc lại cú : BA 4 Giải:2) Xột DCF và CBE cú DC = BC (gt); Cà = Bà = 900; BE = CF à à DCF = CBE (c.g.c) D 1 = C 2 à à à à Mà C 1 + C 2 = 1v C 1 + D 1 = 1v CMD vuụng ở M DC CM à à à ả E CMD P FCD (vỡ D 1 = C 2 ; C = M ) A B FD FC 2 2 SCMD CD CD = 2 SCMD = 2 . SFCD F SFCD FD FD M 1 1 1 1 2 Mà SFCD = CF.CD = . BC.CD = CD 2 2 2 4 D C 2 4 CD 1 2 1 CD Vậy SCMD = . CD = . (*) FD2 4 4 FD2 Áp dụng định lý pitago vào tam giỏc vuụng DFC, ta cú: 1 1 5 DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 2 4 4 S 2 5 2 1 2 1 CMB 1 Thay DF = CD ta cú : SCMD = CD = SABCD = 4 5 5 SABCD 5 _Loại 4: Tớnh chu vi cỏc hỡnh: _Vớ dụ:1) Cho ABC, D là một điểm trờn cạnh AB, E là 1 điểm trờn cạnh AC sao cho DE // BC. 2 Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho chu vi ADE = chu vi ABC. 5 Tớnh chu vi của 2 tam giỏc đú, biết tổng 2 chu vi = 63cm 2 2) A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = .Tớnh chu vi của mỗi tam giỏc, biết hiệu 5 chu vi của 2 tam giỏc đú là 51dm. 3) Tớnh chu vi ABC vuụng ở A biết rằng đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giỏc thành 2 tam giỏc cú chu vi bằng 18cm và 24cm. AD 2 Giải:1) Do DE // BC nờn ADE P ABC theo tỷ số đồng dạng. K = = . Ta cú . AB 5 Chuvi ADE 2 Chuvi ABC Chuvi ADE Chuvi ABC Chuvi ADE 63 A = = 9 Chuvi ABC 5 5 2 5 2 7 D E Do đú: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) B C GV:Nguyễn Kim Chỏnh 5 Sỏng kiến kinh nghiệm