Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2009 - 2010 TÊN ĐỀ TÀI : Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số Họ và tên NGUYỄN ĐÌNH TÚ Chuyên môn ĐHSP Toán Đơn vị công tác Trường THPT Quốc Oai Năm học 2009 - 2010
2. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số SỞ GD & ĐT HÀ NỘI Trường THPT Quốc Oai  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2009 -2010 I. SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ và tên: NGUYỄN ĐÌNH TÚ Ngày tháng năm sinh: 27 – 06 – 1979 Chức vụ: Giáo viên Trình độ chuyên môn: Cử nhân. Hệ đào tạo: Chính quy Bộ môn giảng dạy: Toán Đơn vị công tác: Trường THPT Quốc Oai. II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Tên đề tài: “ Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số ’’. Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 2
3. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 2. Lý do chọn đề tài Từ bậc tiểu học, học sinh đã làm quen với việc tìm một giá trị nào đó để thoả mãn một hệ thức. Khi học đến THCS, học sinh được học về phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn. Khi học đến THPT học sinh được học về các dạng phương trình (PT) một ẩn như PT vô tỷ, PT hữu tỷ mà cách giải ngoài việc nắm chắc kĩ năng cơ bản về PT còn đòi hỏi học sinh cần có sự biến đổi linh hoạt các biểu thức của PT và sử dụng điều kiện, đặt ẩn phụ một cách hợp lý. Nội dung về PT là một nội dung lớn trong chương trình đại số 10 và là những kiến thức có mối liên hệ chặt chẽ đối với kiến thức đại số và giải tích lớp 11, 12 của chương trình môn toán bậc THPT. Qua thực tế giảng dạy của các năm học trước và trong năm học này, tôi nhận thấy kĩ năng giải phương trình của học sinh còn yếu kém, đặc biệt là những bài toán dòi hỏi tính tư duy logic, đòi hỏi học sinh biết quy lạ về quen qua một số phép biến đổi đơn giản. Với lí do trên, trong năm học 2009 – 2010 tôi đã chọn đề tài: “Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số ’’. 3. Mục đích nghiên cứu Trước hết ta phải hiểu như thế nào về ẩn phụ cho đầy đủ? Ẩn phụ phải được xem là không phải ẩn ban đầu đã cho của bài toán. Phải dùng đến ẩn khác với ẩn đã cho là vì với ẩn đã cho bài toán khó giải (có khi không giải được). Thay ẩn đã cho bởi một ẩn khác là mong rằng : bài toán với ẩn mới dễ giải hơn bài toán đã cho. Ẩn phụ cũng có thể hiểu theo đúng nghĩa của từ phụ (tức không là chính). Việc giải bài toán bằng cách dùng ẩn phụ có thể xem như là đáng lẽ đi theo đường thẳng thì ta lại đi theo đường vòng nhưng dễ đi hơn để tới đích. 4. Phạm vi và thời gian thực hiện Đề tài được áp dụng đối với diện đai trà của học sinh khối 10, bên cạnh đó đề tài được sử dụng để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, ôn thi đại học. Đề tài được thực hiện song song với thời gian giảng dạy nội dung PT bằng phương pháp lồng ghép vào các giờ học tự chọn theo chuyên đề. Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 3
4. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số III.QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI A. Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện đề tài: Qua thực tế những năm học trước khi chưa thực hiện đề tài cho thấy kỹ năng sử dụng ẩn phụ trong giải PT đại số của học sinh hầu hết còn lúng túng, không đáp ứng được yêu cầu. Tình trạng trên còn được thể hiện qua số liệu thống kê đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức của học sinh, cụ thể -7% học sinh có kĩ năng biết sử dụng ẩn phụ trong giải PT. -10% học sinh có kĩ năng biết sử dụng ẩn phụ trong giải PT nhưng còn mắc nhiều sai sót trong quá trình biến đổi PT và đặt điều kiện cho ẩn. -30% học sinh đặt chưa đúng ẩn phụ khi giải PT. -53% học sinh không biết đến ẩn phụ. B. Nội dung và biện pháp thực hiện Trong năm học 2009 – 2010, khi được phân công giảng dạy ở khối lớp 10, tôi đã thực hiện đề tài : “ Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số’’ với nội dung gồm các phần Phần I : Giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình vô tỷ, phương trình hữu tỷ không sử dụng ẩn phụ. Phần II : Giải phương trình vô tỷ, phương trình hữu tỷ với một ẩn phụ. Phần III : Giải phương trình vô tỷ, phương trình hữu tỷ với nhiều hơn một ẩn phụ. Các nội dung trên được thực hiện với biện pháp + Tóm tắt những nội dung lí thuyết có liên quan một cách cô đọng, xúc tích. + Đưa ra phương pháp giải quyết tổng quát và một hệ thống bài tập mẫu với lời giải chi tiết rõ ràng, cùng hệ thống bài tập luyện tập tương ứng. + Hệ thống bài tập được chọn lọc kỹ lưỡng và được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần từ cơ bản đến nâng cao nhằm giúp học sinh có cách tiếp cận dễ dàng, từ đó đạt kết quả tốt trong khi làm bài kiểm tra, thi cử. Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 4
5. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số Cụ thể hơn các nội dung của từng phần được thể hiện: PHẦN I : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ, PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỶ KHÔNG SỬ DỤNG ẨN PHỤ 1. Phương trình bậc nhất ax + b =0 *) Tóm tắt lí thuyết: b 1) a 0 : Phương trình có nghiệm duy nhất x . a 2) a = 0 và b 0 : Phương trình vô nghiệm. 3) a = 0 và b =0 : Phương trình vô số nghiệm. *) Bài tập mẫu: Bài 1 Giải và biện luận PT sau theo tham số m m2x + 2 = x +2m (1) Giải. Ta biến đổi tương đương (1) m2x – x = 2m -2 (m2 – 1 )x = 2(m – 1) (1a) Xét các trường hợp sau đây +) Khi m 1 ( tức m 1 và m - 1), ta có m2 – 1 0 nên (1a) có nghiệm 2(m 1) 2 x m2 1 m 1 Đó là nghiệm duy nhất của PT đã cho. +) Khi m =1, PT (1a) trở thành 0x = 0 ; PT này vô số nghiệm (tập nghiệm là S = IR), nên PT (1) cũng vô số nghiệm. +) Khi m = - 1, PT (1a) trở thành 0x = - 4; PT này vô nghiệm nên PT (1) cũng vô nghiệm. Kết luận 2 m 1: (1) có nghiệm x . m 1 m 1 : (1) vô nghiệm. m 1 : (1) vô số nghiệm. *)Bài luyện tập Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 5
6. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số Giải và biện luận các PT sau theo tham số m 1) ( m2 + 2 )x – 2m = m - 3; 2) m(x – m ) = x + m – 2; 3) m( x – m + 3 ) = m ( x – 2 ) + 6. 2. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0. *)Tóm tắt lý thuyết 1) a = 0 : Trở về dạng PT bậc nhất 2) a 0 . 0 : PT có hai nghiệm phân biệt b b x ; x 12a 2 2 a b . 0 : PT có một nghiệm kép x 2a . 0 : PT vô nghiệm. *) Bài tập mẫu Bài 2 Giải và biện luận PT sau theo tham số m mx2 – 2( m – 2 )x + m – 3 = 0. (2) Giải. 3 x Với m = 0, PT (2) trở thành 4x – 3 = 0; nó có nghiệm 4 . Với m ≠ 0, (2) là PT bậc hai với biệt thức bậc hai thu gọn ' 2 m 2 m m 3 4 m . Do đó +) Nếu m > 4 thì ' 0 nên (2) vô nghiệm; m 2 1 +) Nếu m = 4 thì ' 0 nên (2) có nghiệm kép x ; m 2 +) Nếu m 4 : (2) vô nghiệm; Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 6
7. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 3 m = 0: (2) có nghiệm x ; 4 m 2 4 m 0 ≠ m ≤ 4 : (2) có hai nghiệm x 1,2 m 1 ( hai nghiệm này trùng nhau và bằng khi m = 4 ). 2 Bài 3 Giải và biện luận PT sau theo tham số m : mx2 - 2(m+1)x + m + 3 = 0 (3) Giải. . m = 0 : (3) trở thành PT bậc nhất : 3 -2x + 3 = 0, có nghiệm là x . 2 . m ≠ 0 (3) là một PT bậc hai. Ta xét dấu của ' 1 m . +) Nếu 1 – m 1 thì ' 0. Do đó (3) vô nghiệm. +) Nếu m = 1 thì ' 0, nên (3) có một nghiệm kép là x = 2. +) Nếu m 1 : (3) vô nghiệm. *) Bài luyện tập Giải và biện luận các PT sau theo tham số m 1) ( m – 1 )x2 +3x - 1 = 0; 2) ( m - 1 )x2 - 2( m + 2 )x + m = 0; 3) ( m + 3 )x2 - 3x + 1 = 0. Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 7
8. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 3. Phương trình vô tỷ f( x ) g ( x ); ( trong đó f(x), g(x) là các nhị thức bậc nhất ) *) Tóm tắt lý thuyết g( x ) 0 f()() x g x 2 f()() x g x *) Bài tập mẫu Bài 4 Giải PT x 2 x (4) Giải: 2 x 0 x 2 (4) 2 2 x 2 x x 4 4 x x x 2 x 2 x 1 x 1 2 x 5 x 4 0 x 4 Kết luận. PT (4) có nghiệm duy nhất x = 1. Bài 5 Giải PT 2x 3 x 2 (5) Giải: x 2 0 x 2 5 2 2 2x 3 x 2 2x 3 x 4 x 4 x 2(5 a ) 2 x 6 x 7 0(5 b ) PT (5b) có hai nghiệm x 3 2 và x 3 2 kết hợp điều kiện (5a) ta có được x 3 2 . Kết luận. PT (5) có một nghiệm x 3 2 . Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 8
9. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số *) Bài luyện tập Giải các PT sau 1) 5x 6 x 6 2) 3x 5 4 x 3 3) 5 4x 11 x 6 . 4. Phương trình hữu tỷ *) Tóm tắt lý thuyết +) Đặt điều kiện cho PT xác định. +) Đưa PT hữu tỷ về PT đã biết cách giải bằng cách quy đồng mẫu số. +) Giải PT sau khi quy đồng bằng các công thức nghiệm đã biết hoặc nhẩm nghiệm PT bậc cao để đưa về PT tích. Kết hợp với điều kiện để có nghiệm của PT. *) Bài tập mẫu Bài 6 Giải PT 2 2 x 1 x 2 2 (6) 2x 1 2 x 1 Giải. Điều kiện 2x + 1 ≠ 0 (6a) Với điều kiện (6a) PT đã cho tương đương với 2( x2 - 1 ) = 2( 2x + 1 ) - ( x + 2 ) 2x2 - 3x - 2 = 0 x = -1 / 2 hoặc x = 2. Nghiệm x = - 1 / 2 không thỏa mãn (6a) nên bị loại. Kết luận.PT (6) có nghiệm duy nhất x = 2. Bài 7 Giải PT 2x 5 5 x 3 (7) x 1 3 x 5 Giải. x 1 0 Điều kiện (7a) 3x 5 0 Với điều kiện (7a) PT (7) tương đương với ( 2x - 5 )( 3x + 5 ) = ( x - 1 )( 5x - 3 ) 2 x + 3x - 28 = 0 x = - 7 hoặc x = 4. Hai nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (7a). Kết luận. PT có hai nghiệm x = - 7 và x = 4. Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 9
10. SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số *) Bài luyện tập Giải các PT sau 4x2 3 1) 2x 3 x 1 x 1 5x 2 2) x 2 x 3 4x 3 2 x 5 3) 3 . 2x 1 x 3 PHẦN II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ, PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỶ VỚI MỘT ẨN PHỤ Dạng 1: Chuyển bài toán ẩn x sang bài toán ẩn phụ không còn x. 1. Phương trình vô tỷ *) Tóm tắt lý thuyết PT ban đầu có thể xuất hiện ngay ẩn phụ, nhưng cũng có PT phải qua các phép biến đổi ta mới có được ẩn phụ Do vậy, cơ sở lí thuyết của phần này là +) Đặt điều kiện cho ẩn x ( nếu có ). +) Biến đổi PT về dạng có biểu thức chung. +) Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ ( nếu có ). +) Giải PT với ẩn phụ. +) Giải PT với ẩn x sau khi đã tìm được ẩn phụ. *) Bài tập mẫu Bài 8 Giải phương trình x 5 x 2 3 x x 3 0 (8) Giải. Điều kiện x(x+3) ≥ 0 (8a) 2 (8) x 3 x 10 3 x x 3 0 Ẩn phụ chung đã xuất hiện, đó là biểu thức x(x+3) Đặt u x x 3 , điều kiện u ≥ 0. Khi đó x ( x + 3 ) = u2. Phương trình đã cho trở thành u2 + 3u - 10 = 0 PT có hai nghiệm u = - 5 và u = 2. nghiệm u = -5 x2 + 3x - 4 = 0. Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 10