Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị đại số

1. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” Đề tài: "Một số kinh nghiệm Giải bài toán cực trị đại số" Phần thứ nhất mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Như chúng ta đã biết, trong toán học nói chung và trong chương trình toán THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những dạng toán khó, lại hay thường gặp trong các kì thi của cả GV lẫn HS. Mặc dầu vậy, chúng ta vẫn chưa có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những phương pháp, những dạng toán cơ bản thường gặp và cũng chưa có một phương pháp tìm cực trị nào tối ưu cho mọi dạng toán. ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với HS. Với những lí do như vậy, tôi đã tìm hiểu, xây dựng đề tài “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị Đại số”. Với mong muốn được trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả. II. nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu: 1. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Đưa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra một số sai lầm thường mắc phải. - Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải. - Lựa chọn phương pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị. - 1 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình
2. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” 2. Mục đích nghiên cứu: Tác giả muốn đưa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và đồng nghiệp có một cách nhìn tổng quát về các cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Thông qua các ví dụ cụ thể ban đọc có thể vận dụng từng phương pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể. Do việc biến đổi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các bài toán khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức, hay phương pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả bài toán mà chỉ thông qua các bài tập cụ thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các bài tập tương tự. III. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu: 1. Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9) 2. Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh. - Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện. - Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề. - Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - 2 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình
3. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” Phần thứ hai. nội dung đề tài I. Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: Cho biểu thức đại số F(x,y, ) xác định trên miền D và M , m R . Ta nói: M là giá trị lớn nhất (hoặc m là giá trị nhỏ nhất) của f (x, y, ) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn: i) Với mọi x, y, . . . D thì F(x,y, . . .) M (hoặcF(x,y, . . .) m ), ii) Tồn tại x0, y0, . . . D sao cho F(x0,y0, . . .) = M (hoặc = m) 2. Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, chú ý đến miền giá trị của biến. Rèn những phản xạ sau: + Chứng tỏ F(x,y, . . .) M (hoặc F(x,y, . . .) m ) với mọi x, y, . . . D + Chỉ ra sự tồn tại x0, y0, . . . D để F(x0,y0, . . .) đạt cực trị. Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của A II. Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị: 1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 A 4x 2 4x 5 Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta có: 4x 2 4x 5 (2x 1) 2 4 4,x 3 3 ,x 4x 2 4x 5 4 3 1 Max A x 4 2 - 3 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình
4. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “ A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương. Ta đưa ra một ví dụ: 1 Xét biểu thức B x 2 4 Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi 1 mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng 4 khi x 0, ta sẽ đi đến: max B 4 1 1 không phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với x 3 thì . 5 4 Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên. Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x 2 4x 5 (2x 1) 2 4 4 nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A 0 , do đó A 1 lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất 4x 2 4x 5 nhỏ nhất. A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x 2 y 2 biết x y 4 Lời giải sai: Ta có: A x 2 y 2 2xy Do đó, A nhỏ nhất x 2 y 2 2xy x y 2 Khi đó MinA 22 22 8 Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được f (x, y) g(x, y) , chứ chưa chứng minh được f (x, y) m với m là hằng số. Ta đưa ra một vị dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng x 2 4x 4 sẽ suy ra: x 2 nhỏ nhất x 2 4x 4 (x 2) 2 0 x 2. Dẫn đến: Minx 2 4 x 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là: Min x 2 0 x 0 Lời giải đúng: Ta có: (x y)2 42 x 2 2xy y 2 16 (1) Ta lại có: (x y) 2 0 x 2 2xy y 2 0 (2) Từ (1) , (2) : 2(x 2 y) 2 16 x 2 y 2 8 Vậy MinA 8 x y 2 - 4 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình
5. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” 2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x Lời giải sai: 2 1 1 1 1 A x x x x x 4 4 2 4 1 Vậy MinA 4 1 Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f (x) , chưa chỉ ra trường 4 1 hợp xẩy ra dấu đẳng thức f (x) . Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi 4 1 x , vô lý. 2 Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có x 0 Do đó A x x 0 Min A 0 x 0 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của: A xyz(x y)(y x)(z x) Với x, y, z 0 và x y z 1 Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a b) 2 4(x y)z (x y z) 2 1 4(x z)x (y z x) 2 1 4(x x)y (z x y) 2 1 Nhân từng vế (do hai vế đều không âm) 64xyz(x y)(y x)z x) 1 1 MaxA 64 - 5 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình
6. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy 1 ra dấu đẳng thức. Điều kiện để A là: 64 x y z y z x x y z 0 z x y x y z 1 mâu thuẫn x y z 1 x, y , z 0 x, y , z 0 Lời giải đúng:áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 x y z 3.3 xyz (1) 2 (x y) (y z) (z x) 3.3 (x y)(y z)(z x) (2) Nhân từng vế (1) với (2) do 2 vế đều không âm) 3 2 2 9.3 A A 9 3 2 1 MaxA x y z 9 3 III. một số phương pháp giải bài toán tìm cực trị đại số 1. Phương pháp tam thức bậc hai: a, Nội dung phương pháp: Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do. b, Ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai. Ví dụ: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 8x 1 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x 2 4x 1 3/ Tìm giá trị nếu có của C 3x 2 4x 1 4/ Cho tam thức bậc hai P ax2 bx c -Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a 0 -Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a 0 HD giải: - 6 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình
7. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai. 1/ A x 2 8x 1 (x 4) 2 15 15 min A 15 x 4 2/ B 2x 2 4x 1 2(x 1) 2 1 1 min B 1 x 1 2 2 7 7 7 2 3/ C 3x 2 4x 1 3 x maxC x 3 3 3 3 3 2 b c b b 2 4ac 4/ P ax 2 bx c a x 2 x a x a a 2a 4c b 2 4ac b + Nếu a 0 : min P x 4a 2a b 2 4ac b + Nếu a 0 : max P x 4a 2a Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao: VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A (x 2 x 1)2 HD: MinA Min(x 2 x 1) Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: B  f (x)2k (k N) VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C x(x 3)(x 4)(x 7) HD: Dùng phương pháp đổi biến. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai. 3 VD: Tìm giá trị lớn nhất của M 4x 2 4x 5 -Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phương nhị thức. x 2 x 1 VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của P (x 1) 2 - 7 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình
8. “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS” 1 1 HD: P 1 x 1 (x 1) 2 2 1 1 3 3 Đặt y , có P y 2 y 1 y x 1 2 4 4 3 1 MinP y x 1 4 2 Cách 2: Viết P dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm: 2 4x 2 4x 4 3 x 1 3 3 P MinP x 1 2 , 4(x 1) 4 2(x 1 4 4 Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các biến: VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 3xy x 2 y 2 Biết x, y là nghiệm của phương trình: 5x 2y 10 Giải: 10 5x Ta có: 5x 2y 10 y 2 1 59 160 A ( 59x 2 160x 100) x 2 25 4 4 59 2 2 59 80 6400 59 80 1600 x 25 x 25 4 59 3481 4 59 59 80 2 x 125 59 80 125 125 59 A x . Vậy max A 59 4 59 59 59 95 y 59 c, Tiểu kết: Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai. - 8 - Nguyễn Văn Tuấn – GV THCS Yên Bình