Sáng kiến kinh nghiệm Số bài toán quen thuộc đối với học sinh Lớp 7 được giải bằng nhiều cách

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Số bài toán quen thuộc đối với học sinh Lớp 7 được giải bằng nhiều cách

1. C. nội dung Để giải bài toán bằng nhiều cách đòi hỏi học nắm vững kiến thức cơ bản .Giáo viên người hướng dẫn và dẫn dắt học sinh phân tích và tổng hợp kiến thức để học sinh có thể tìm được những cách giải hay cho bài toán .Sau đây là một số bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 7 được giải bằng nhiều cách . I. Bài toán : 1.Bài toán 1 Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông . Chứng minh : + Cách 1: Dùng kiến thức của tam giác cân . Ta có : AM = BM = MC = 1 BC (gt) b 2 ABM và AMC cân m B = A1 ;  C = A2 0 A1 + A2 = 90 Vậy tam giác ABC vuông tại A A c Đường trung bình của tam giác được giới thiệub trong chương trình lớp 8 .Tuy nhiên học sinh có thể chứng minh được các định lí sau bằng kiến thức Hình học 7 m Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba Định lí 2: A c Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy Trong đề tài này tôi không đưa ra cách chứng minh hai định lí mà nêu ra để áp giải các bài toán
2. + Cách 2: Dùng kiến thức đường trung bình trong tam giác Kẻ MN// AC .Khi đó : BMN =  ACM (1) b  NMA =  MAC (2) m MAC cân (vì AM =MC (gt)) n => ACM =  MAC (3) Từ (1) (2) (3) suy ra :  BMN =  NMA A c MN là tia phân giác của MAB cân MN  AB (4) Mà: MN // AB (5) Từ (4) (5) suy ra : AC  AB Vậy tam giác ABC vuông tại A + Cách 3 : Lấy B' thuộc tia đối của tia BA sao cho : AB = AB' Ta có AM là đường trung bình của BCB, b 1 AM B,C 2 m 1 = => B'C = BC AM BC(gt)  2 => CB'B cân tại C có AC là đường trung tuyến A c nên suy ra : AC  BB, AC  AB Vậy tam giác ABC vuông tại A b'
3. + Cách 4 : Dùng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông Kẻ tia xy // BC Ta chứng minh được tia AB ,AC là hai tia phân giác của góc xAM và yAM A1 = A2; A3 = A4 0 0  A2 + A3 = 90 => BAC = 90 x A y Vậy tam giác ABC vuông tại A B m c + Cách 5 : Dùng phương pháp chứng minh phản chứng. Giả sử góc : A B + C 900 =>  A + B + C > 1800 (Điều này vô lí ) A B Vậy góc A=900 suy ra ABC vuông tại A
4. + Cách 6: Dùng kiến thức Trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c ); (c.g.c) Trên tia đối của MA lấy MA=MD Xét AMB và DMC có : b d m A c MD = MA (gt)  BMA =  DMC (đối đỉnh ) AMB = DMC (c-g-c) MB =MC (gt)  => ABC = BCD => AB // CD ( Vì cặp góc so le trong bằng nhau) =>  BAC +  DCA = 1800 (1) Xét ABC và CDA có : AB =CD (vì AMB = DMC) BC = AD (gt) ABC = CDA(c.c.c) AC cạnh chung  => BAC = BCA (2) Từ (1)(2) suy ra : góc BAC =900 Vậy tam giác ABC vuông tại A Tóm lại: Qua bài toán trên học sinh nắm được hệ thống kiến thức về tam giác cân, đường trung bình trong tam giác, tia phân giác, trường hợp bằng nhau của tam giác và các phương pháp chứng minh. Đồng thời học sinh có thể áp dụng nội dung bài toán để giải các bài tập hình học khác.
5. 2. Bài toán 2 : Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi AM là phân giác ngoài của góc A. Chứng minh rằng :AM//BC D GT Cho ABC có AB=AC DAM = MAC a KL AM// BC m Chứng minh : + Cách 1: Dựa vào cặp góc so le trong Ta có: DAC = B + C (Vì góc DAC là góc ngoài của ABC) mà B = C (gt) b c => B = C = 1/2 DAC (1) ADM =  MAC = 1/2 DAC (tính chất tia phân giác ) (2) Từ (1)(2) => AM // BC (vì cặp góc so le trong bằng nhau) + Cách 2: Dựa vào cặp góc đồng vị Chứng minh tương tự cách 1 : suy ra : MAC = B => AM // BC ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau ) + Cách 3 : Dựa vào cặp góc trong cùng phía bù nhau Ta có: DAC = B + C (Vì góc DAC là góc ngoài của ABC) mà B = C (gt) B = C = 1/2 DAC (1)  AMC=1/2 DAC (tính chất tia phân giác ) (2) Trong ABC :  BAC + B + C = 1800 (3) Từ (1)(2)(3) suy ra :  BAC + B + AMC = 1800 hay  MAB + B = 1800 => AM //BC (Vì cặp góc trong cùng phía bù nhau )
6. + Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình D Trên tia đối của tia AB lấy AD=AB AD =AC (1) ADC cân tại A có AM là tia phân giác (gt) AM là trung tuyến A MC=MD (2) M Từ (1)(2) AM là đường trung bình của BDC AM// BC + Cách 5 : Dùng tính chất của tam giác cân B C D Kẻ AH  BC(1) AH là đường phân giác của góc A 0 HAM = 90 a (Góc tạo bởi 2 tia phân giác của m hai góc kề bù ) HA  AM(2) Từ (1) và (2) ta có : AM//BC b c Tóm lại: Bài toán 2 giúp học sinh hế thống được các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song. Ngoài ra tìm thêm được một phương pháp mới đó là sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác.
7. 3.Bài toán 3: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, gọi I là trung điểm của AM ,các đường thẳng CI và AD cắt nhau tại D .Chứng minh rằng AD=1/3AB. GT Cho ABC có MB =MC IA=IM; AB cắt CI tạiD KL AD=1/3AB Chứng minh : + Cách 1 : Sử dụng định lí về đường trung bình . A Kẻ ME // CD Dễ dàng chứng minh được : d BE = ED; ED= AD e i AD = DE = BE B C Vậy AD= 1/3 AB m + Cách 2 Từ B đường thẳng song song với AM cắt CD tại K Lấy điểm P và Q là trung điểm của BK và BD Ta chứng minh được BPQ = ADI BQ=QD=AD Suy ra: AD=1/3AB k A d q i p B C m
8. + Cách 3: Kẻ MN// AB MN là đường trung bình của DBC 1 MN= BD(1) 2 Dễ dàng chứng minh được AID = MNI(g c g ) MN=BD(2) Từ (1) và (2) AD=1/2BD hay AD=1/3AB A d i n B C m