Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học

1. PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A. Stôliar). Đối với học sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Khối lượng bài tập toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải. Đứng trước những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đưa ra được những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên. Rèn luyện năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, vì để giải bài toán học sinh phải suy luận, phải tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó. Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy. Thông qua khai thác bài tập sách giáo khoa toán và sáng tạo xây dựng bài toán mới làm cho học sinh đi từ bất ngờ này đến bất ngờ khác một cách thú vị, làm cho học sinh biết được cách thức tạo ra kiến thức cũng như bài toán mới và qua đó ứng dụng vào giải các bài tập toán. Trong quá trình dạy học sinh lớp 9, đặc biệt là học sinh khá - giỏi, tổ chức hoạt động khai thác kiến thức cũng như bài tập trong nhiều tiết dạy chính khóa, trong các buổi dạy nâng cao, trong các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi đã thu được một số kết quả nhất định. Thông qua việc khai thác bài tập cũng giúp học sinh lớp 9 ôn tập được kiến thức cơ bản, trọng tâm, làm cho học sinh được rèn luyện một số phương pháp giải bài tập, học sinh có kỹ năng vẽ thêm đường phụ, kỹ năng tìm tòi lời giải và tự tin sáng tạo bài toán mới từ các bài tập toán trong sách giáo khoa. Vì những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là:"Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học" 1
2. B. Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua khai thác phát hiện bài toán mới. 1. Bài toán gốc ban đầu. Bài toán: Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của ABC cắt nhau tại H(Cµ 900 ) và cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) CD = CE b) BHD cân c) CD = CH (Bài tập 95 – SGK toán 9 tập 2 trang 105) Phân tích bài toán Đây là bài toán trong chương trình Hình học 9, là bài tập nhằm củng cố lại kiến thức về đường tròn và góc với đường tròn, nên để giải bài tập ta cần chỉ rõ cho học sinh phương pháp cũng như các kiến thức liên quan. Cụ thể: a) Để chứng minh CD = CE ta cần chứng minh hai góc nội tiếp chắn hai cung đó bằng nhau. b) Từ kết quả chứng minh ở câu a, ta chứng minh được tam giác BHD có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác. c) Từ kết quả chứng minh ở câu b, ta chứng minh được BC là đường trung trực của HD. Từ đó ta có thể giải bài toán như sau: Bài giải Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD A với BC và BE với AC E N a) Ta có D· AC A· HN 900 và C· BE B· HM 900 H · · · · 0 DAC AHN CBE BHM ( = 90 ) O Mà A· HN B· HM B M C D· AC C· BE E»C D»C (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau) D CD CE (Liên hệ giữa cung và dây) b) Ta có C»D C»E E· BC C· BD ( hệ quả góc nội tiếp) BHD cân (Vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác) c) Ta có BHD cân tại B BC là đường trung trực của HD (vì BC chứa BM) CD = CH ( tính chất đường trung trực ) 3
3. AB2 BC 2 CA2 AH.AM BH.BN CH.CP 2 + Định hướng 4: Trong tam giác MNP, DEF trực tâm H có tính chất gì? - Học sinh chứng minh: Tứ giác BCNP nội tiếp một đường tròn P· NB P· CB Cũng theo chứng minh trên CNHM là tứ giác nội tiếp H· NM H· CM P· NB H· NM . Suy ra NB là tia phân giác của góc MNP. - Chứng minh tương tự ta cũng có PC là tia phân giác của góc MPN mà BN và CP cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP. - Mặt khác chứng minh được MN//DE, NP//EF, MP//DF do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F. a) Chứng minh các tứ giác CNHM, BCNP nội tiếp. b) Chứng minh rằng AN.AC = AH.AM; AM.BC = BN.AC. c) Chứng minh rằng AH.AM + BH.BN = AB 2 . Từ đó suy ra AB2 BC2 CA2 AH.AM BH.BN CH.CP . 2 d) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, DEF. Tình huống 2: Xét tam giác ABC có ba góc A nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao E AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn N (O) lần lượt tại D, E, F. Khi đó các cạnh, các đường cao cũng như diện tích các tam giác có F P H O mối liên hệ gì với nhau không? Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định C hướng như sau: B M D + Định hướng 1: Giáo viên nêu ra các câu hỏi liên quan đến tỉ số diện tích của các tam giác và tỉ số của các đoạn thẳng. S S S ?1. Tính HBC , HAB , HAC S ABC S ABC S ABC S HM S HP S HN - Học sinh tính được : HBC ; HAB ; HAC S ABC AM S ABC CP S ABC BN 5
4. HM HN HP AM BN CP ?1. Theo bất đẳng thức Côsi thì ? AM BN CP HM HN HP HM HN HP AM BN CP Học sinh có kết quả 9 AM BN CP HM HN HP AM BN CP ?2. Vậy từ đó ta được ? HM HN HP HM HN HP AM BN CP Học sinh nêu kết quả 1 9 AM BN CP HM HN HP ?3. Tương tự giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh HM HN HP 3 HA HB HC ; 3 HA HB HC 2 BC CA AB Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F. HM HN HP HA HB HC AD BE CF a) Chứng minh rằng 1, 2 , 4 AM BN CP AM BN CP AM BN CP 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng với r là bán kính đường tròn nội tiếp AM BN CP r tam giác ABC. HB.HC HA.HC HA.HB c) Chứng minh rằng 1 AB.AC BA.BC CA.CB d) Chứng minh rằng: AM BN CP HM HN HP 3 HA HB HC 9, và 3 HM HN HP HA HB HC 2 BC CA AB Tình huống 3: Xét tam giác ABC có ba góc A nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường E cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F. Khi đó J N trong bài toán xuất hiện các tam giác bằng F P nhau, các góc bằng nhau. Vậy khai thác các H G O kết quả này cho ta bài toán như thế nào? Nếu vẽ thêm đường kính AK thì có thể có thêm C các kết quả gì? B M I Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định hướng như sau: D K + Định hướng 1: Giáo viên nêu các câu hỏi khai thác các tam giác bằng nhau 7
5. GI 1 Do đó AI, HO trung tuyến của AHK G trọng tâm của AHK AI 3 GI 1 Xét tam giác ABC có I trung điểm của BC và . Suy ra G là trong tâm của AI 3 ABC AB.CD AC.BD + Định hướng 6: Chứng minh S ABDC 2 - Học sinh chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + AC.BD = AD.BC. 1 AB.CD AC.BD Mà S  AD  BC. Suy ra S ABDC 2 ABDC 2 Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới Bài toán 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AH, K là điểm đối xứng với H qua I. a) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, AHC bằng bán kính với đường tròn ngoại tiếp ABC b) Chứng minh rằng OA  EF. c) Chứng minh rằng tứ giác BHCK là hình bình hành và A, O, K thẳng hàng. d) Chứng minh tứ giác BCKD, JOID là hình thang cân. e) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trong tâm của ABC AB.CD AC.BD g) Chứng minh S . ABDC 2 Tình huống 4: Xét tam giác ABC có ba góc A nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Nếu tiếp tục khai thác từ các tam giác đồng dạng thì ta thu được N các kết quả nào nữa? Từ bài toán 3 ta có được J OA NP, vậy có thể khai thác gì từ kết luận P O này không? H C Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định B M I hướng như sau: D K + Định hướng 1: Vẽ đường kính AK. Giáo viên nêu câu hỏi khai thác tính đồng dạng của tam giác. 9
6. S ABC SDBC AB.BC.CA + Định hướng 4: Tính và áp dụng công thức S ABC cho ta SBAD SCAD 4R kết quả gì? S S - Học sinh nêu kết quả: Vì tứ giác ABDC nội tiếp ABC DBC 1 SBAD SCAD Áp dung công thức trên cho các tam giác, ta được AB.CB.CA DB.BC.CD AB.CB.CA DB.BC.CD 4R 4R 1 1 BA.AD.BD CA.AD.CD BA.AD.BD CA.AD.CD 4R 4R AD AB.AC DB.DC Hay BC BA.BD CA.CD Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H cắt đường tròn (O), AM cắt (O) tại D. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi r' là bán kính đường tròn nội tiếp MNP. AB.BC.CA a) Chứng minh rằng S ABC 4R b) Chứng minh rằng R. MN NP PM 2S ABC r' c) Chứng minh rằng 1 cos2 A cos2 B cos2 C R AD AB.AC DB.DC d) Chứng minh rằng BC BA.BD CA.CD Tình huống 5: Xét tam giác ABC có ba góc A nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của BC, NP. Với các yếu tố N được vẽ thêm đó, ta có thể phát biểu được bài J P O toán mới như thế nào? G H Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định E C hướng như sau: B M I D K + Định hướng 1: Vẽ đường kính AK. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, PN. 11
7. Bài toán 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a) Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của BC, NP. Chứng minh rằng AH = 2OI và AI.OI = R.AJ b) Hãy xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác MNP lớn nhất. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh SAGH 2.SAGO d) Gọi E là trung điểm của HC. Chứng minh tứ giác MENP nội tiếp. e) Cho B· AC 600 . Tính BP.BA + CN.CA theo R. Tình huống 6: Xét tam giác ABC có ba A góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. J N Đường tròn tâm H bán kính AH cắt AB, P AC theo thứ tự ở E, F. Cho điểm A di F chuyển trên cung lớn BC sao cho tam H O giác ABC là tam giác nhọn. Khi đó có các E kết quả nào được suy ra từ việc vẽ thêm B C đó? I O' Giáo viên có thể nêu một số câu hỏi định hướng như sau: + Định hướng 1: Chứng minh OA^ NP - Học sinh chứng minh: OA^ NP + Định hướng 2: Đoạn thẳng NP là gì của tam giác AEF? Từ A kể đường thẳng vuông góc với EF, Đường thẳng này đi qua điểm cố định nào? - Học sinh chứng minh: Ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, HN ^ AF nên N là trung điểm của AF, Tương tự P là trung điểm của AE Suy ra NP là đường trung bình của tam giác AEF Do đó NP//EF, mà OA^ NP suy ra OA^ EF, mà O là điểm cố định nên đường thẳng vuông góc với EF kẻ từ A đi qua điểm cố định O. + Định hướng 3: Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với EF, Đường thẳng này đi qua điểm cố định nào? - Học sinh: Gọi O' là điểm đối xứng với O qua BC, ta có OO'' ^ BC, mà AH^ BC. Suy ra AH//OO'. Lại có trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Do đó AH = OO' 13
8. ?1. Các tứ giác MEHF, MEDB có nội tiếp không? Chứng minh H· EF D· EB - Học sinh chứng minh: Dễ thấy tứ giác MEHF nội tiếp H· EF H· MF Dễ thấy H· CM H· MF H· EF M· CF Tứ giác MEDB nội tiếp D· EB D· MB . Mà MD // CP (cùng vuông góc với AB) B· CF D· MB . Do đó E· FB B· CF . Từ đó ta có H· EF D· EB ?2. Các điểm B, E, H và E, F, D có thẳng hàng không?Nêu kết quả tương tự? · · - Học sinh: Từ HEF DEB và B, E, H thẳng hàng, suy ra D, E, F thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta có E, F, G thẳng hàng. Vậy bốn điểm D, E, F, G thẳng hàng + Định hướng 2: Cho dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Khi đó đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có bán kính thay đổi như thế nào? Khi đó diện tích đường tròn đó thay đổi ra sao? - Học sinh: Gọi I là trung điểm BC I cố định (Do B và C cố định) độ dài OI 1 không đổi. Mà ta có OI AH độ dài AH không đổi 2 Vì AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH không đổi độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN không đổi đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi. + Định hướng 3: Gọi H' đối xứng với H qua BC. Giả sử BH = 2HN, AH = H'H. Khi đó tam giác ABC là tam giác gì? - Học sinh chứng minh: HM HN 1 Hai tam giác HMN và HAB có M· HN ·AHB; HA HB 2 MH HM 1 Nên HMN ∽ HAB , suy ra ; H· MN H· AB AH AH 2 CN CM MN 1 Do đó MN//AB. Áp dụng định lí Ta-let ta có suy ra M, N CA CB AB 2 là trung điểm của BC, AC hay AM, BN là đường trung trực của BC, AC. Điều này dẫn tới tam giác ABC đều. Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới Bài toán 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. a) Gọi D, E, F, G lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M lên AB, BN, CP, AC. Chứng minh bốn điểm D, E, F, G thẳng hàng. 15
9. II1.MD AM AI Mà lại có AMD ∽ AII2; AII1 ∽ AMG nên  1 II2.MG AI AM AB2 MB IB Do đó  AC 2 MC IC + Định hướng 4: Xét trường hợp O nằm trên đường thẳng DG thì độ dài AM=?. + Định hướng 5: Xét trường hợp B· AC 750 và N· BC 300 . Tính diện tích tam giác ABC theo R. Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới Bài toán 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi D, G lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC. a) Chứng minh rằng đường thẳng qua A và vuông góc với DG luôn đi qua một điểm cố định khi điểm A di chuyển trên cung lớn BC. b) Đường thẳng qua H và song song với BC cắt MP và MN lần lượt tai F, E. Chứng minh HF = HE. AB2 MB IB c) Vẽ đường kính AK cắt BC tại I. Chứng minh  AC2 MC IC d) Tính độ dài AM biết O nằm trên đường thẳng DG. e) Xét trường hợp B· AC 750 và N· BC 300 . Tính diện tích tam giác ABC theo R. Tình huống 9: Xét tam giác ABC ( A AC>AB) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, D BN, CP cắt nhau tại H. Vẽ đường N thẳng NP cắt BC tại G, đường thẳng P O (O) R AG cắt lại đường tròn tại điểm thứ H hai là D. Đường thẳng qua M song G S B M I C song với NP lần lượt cắt các đường Q thẳng AB, AC, CP tại Q, R, S. Khi đó ta có thể phát biểu được bài toán như K thế nào? + Định hướng 1: Các tứ giác ADBC, ADPN có nội tiếp không? - Học sinh chứng minh: Tứ giác ADBC nội tiếp, ta được GD.GA = GB.GC. Tứ giác BPNC nội tiếp, ta được GB GC GN GP . Suy ra GN GP GD GA . Do đó, tứ giác ADPN nội tiếp. + Định hướng 2: Đường thẳng GH có vuông góc với AI không, vì sao? 17