Sáng kiến kinh nghiệm Hướng sáng tạo bài toán khi dạy học Ôn tập Chương III - Hình học 9

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng sáng tạo bài toán khi dạy học Ôn tập Chương III - Hình học 9

1. A.ĐặT VấN Đề 1.Lí do chọn đề tài Hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá các hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát huy năng lực tự học;nhằm hình thành tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực tự phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;từ đó tác động đến tình cảm, hứng thú, niềm tin và trách nhiệm học tập của học sinh. Dạy toán hiện nay thực chất là dạy hoạt động toán học. Chính vì vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ mà là người chủ đạo trong việc giúp học sinh chủ động học hỏi kiến thức toán học, có ý thức tự khám phá và giải quyết các bài toán mới. Trong quá trình dạy học, bản thân tôi đã bắt gặp nhiều dạng toán, bài toán mà khi bắt đầu nghiên cứu, thực sự gặp nhiều khó khăn, bối rối.Tôi luôn tự hỏi:"Tại sao người ta ra được những bài toán vừa hay vưà khó đến thế?Phải chăng mọi bài toán đều có một điểm xuất phát nhất định?". Từ đó tôi luôn tự tìm tòi tài liệu, sách tham khảo và hiểu rằngtất cả các bài toán hay và khó đều khởi nguồn từ nhiều bài toán đơn giản;cũng như các dòng sông lớn đề bắt nguồn từ các dòng suối nhỏ. Theo đó, trong suốt quá trình giảng dạy môn toán 9, tôi luôn tổ chức cho học sinh:Củng cố kiến thức cũ, tìm tòi khám phá kiến thức mới từ những bài toán cơ bản.Tôi giúp học sinh có ý thức tự đọc hiểu và hiểu sâu kiến thức cơ bản từ SGK, sách tham khảo để rồi tự mình tìm, tự sáng tạo và giải quyết bài toán mới từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó bằng phương pháp:Phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá; từ đó quy lạ về quen, quy khó về dễ, dần dần dẫn học sinh đi vào khám phá kiến thức toán học một cách hứng thú. Phương pháp sáng tạo các bài toán tạo thành một chuỗi các bài toán thực sự thiết thực và mang lại hiệu quả trong trường hợp nào? Tại sao phải làm như vậy? Phải chăng đó là những môn học sử dụng nhiều đến phương pháp suy diễn logic và hình ảnh trực quan như bộ môn hình học. Phải chăng đó là những tình huống dạy học,những bài dạy mang tính tổng hợp như "Ôn tạp chương, ôn tập cuối năm"? Phải chăng đó là những bài học cần có sự trợ giúp của công nghệ thông tin ? Là xu hướng phát triển tất yếu của khoa học giáp dục. Xuất phát từ những vấn đề trên, trong bài viết này tôi xin mạnh dạn xuất một ví dụ về " Hướng sáng tạo bài toán khi dạy học :Ôn tập chương III-Hình học 9" 2.Mục đích của đề tài -Phát huy tối đa tính tích cực, sáng tạo cua học sinh -Cung cấp tri thức và phương pháp sáng tạo cho học sinh khi học bộ môn hình học -Định hướng phương pháp sáng tạo trong dạy học thông qua dạy toán cho giáo viên -Khơi dậy phong trào sáng tác và giải toán ở địa phương. 3.Cấu trúc của đè tài A.Đặt vấn đề 1
2. B.Nội dung I.Ôn tập kiến thức cơ bản thông qua bài tập trắc nghiệm 1.Liên hệ giữa cung và dây 2.Góc với đường tròn II.Luyện tập II.1.Bài toán gốc II.2.Các hướng khai thác sáng tạo bài toán C.Tình hình thực trạng học sinh trước và sau khi tiếp thu phương pháp này D.Kết luận b.nội dung I.Ôn tập kiến thức cơ bản thông qua bài tập trắc ngh iệm Trong điều kiện thời lượng dạy học ôn tập chương chỉ một tiết, với một lượng kiến thức hết sức nặng nề,làm thế nào để đảm bảo hệ thống các kiến thức cơ bản, vừa đảm bảo thời gian ? Trước hết, giáo viên cần cho học sinh ghi nhớ trước các định nghĩa, các định lý và chuẩn bị hệ thống câu hỏi "Ôn tập chương III"-Trang 100,101,102,103 sách giáo khoa Toán 9, Tập II.Sau đó tung ra các bài tập mang tinh tổng hợp các kiến thức cơ bản như sau: Quan sát các hình vẽ tương ứng và hoàn thành các bài toán sau bằng cách điền thích hợp vào chỗ trống: 1.Liên hệ giữa cung và dây: D Bài toán 1. -Trên hình 1: C o o O a)Sđ cungABnhỏ= góc = a ;SđcungBCnhỏ= góc =b o A b)Sđ cung ABlớn= 360 - (Định nghĩa số đo cung) B c)cungAB > cungCD a b cungBC= cungCD b c (Sosánh hai cung) Hình 1 d)cung AB>cung CD AB CD(Liên hệ giữa và ) D e)Nếu B cung AC thì Sđ cung AC = + C O -Trên hình 2: A f)AD//CI cung CD cungAI I (Hai cung bị chắn giữa hai dây song song) Hình 2 D -Trên hình 3: C k)cung CB=cungCD ED = EB AC BD (Liên hệ giữa đường kính -dây cung) O A B Hình 3 2
3. 2.Góc với đường tròn: Bài toán 2. -Trên hình 4: a)gócAOB= Sđ (Góc chắn cung AB ) F b)GócACB=1/2Sđ (Góc chắn cung AB) c)Góc ACB= (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) d)cung AB=cungAD góc ACB= góc D (Hai góc nội tiếp chắn hai cung ) e)góc xAB=1/2 Sđ C (Góc tạo bởi và chắn cung AB) f)Góc ACB= Góc xAB O (Góc và góc cùng A B chắn ) g)Góc ACB= GócAOB Hình 4 (Góc nội tiếp và góc cùng chắn cung AB) h)Từ a,b,c,d,e,f suy ra: x GócACB=Góc =Góc =Góc =Góc =1/2Góc =1/2Sđ i)GócAEB =1/2(Sđ +Sđ ) Góc có đỉnh đường tròn chắn và ) k)GócBFA=1/2(Sđ -Sđ ) (Góc có đỉnh đường tròn chắn và ) m)Quỹ tích các điẻm nhìn đoạn thẳng AB cho trước một góc không đổi cho trước (00< <1800) là n)Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) khi và chỉ khi: -A,B,C,D (O)(Định nghĩa tứ giác nội tiếp) -Góc A+GócC= hoặc + =1800 D (Định lý đảo tứ giác nội tiếp) C -OA= = = =R E (định lý tứ giác nội tiếp và định nghĩa đường tròn) O -Góc ADB =Góc = (Quỹ tích cung chứa góc) A B Hình 5 Bài toán 3.Dùng kí hiệu để chỉ các góc bằng nhau, cung hoặc dây bằng nhau trên hình 5: x II.luyện tập: Bài toán 1.Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại và E.Chứng minh rằng: a)CD=CE ; b) BHD cân ; c)CD =CH. 3
4. (Bài 95 -Trang 105 -SGK Toán 9,T ập 2 -NXBGD 2005) *Phân tích và hướng dẫn giải:(Hình 6) D a) CD, CE là hai dây của đường tròn (O). Để chứng C minh hai dây CD và CE bằng nhau, ta có thể chứng minh điều gì? Liệu có thể chứng minh cung CD =cung A' CE ? E O - Muốn chứng minh cung CD =cung CE, ta có thể B' H chứng minh các góc nội tiếp tương ứng chắn các cung B tương ứng bằng nhau được hay không ? Hãy chứng A minh điều này. - Gv hướng dẫn HS lập sơ đồ phân tích và trình Hình 6 Bài chứng minh: Sơ đồ 1: CD=CE  Cung CD= cung CE (Liên hệ giữa cung và dây)  Góc A1=Góc B2 (Hệ quả góc nội tiếp)  0 0 Góc A1+góc H2=90 ;Góc B2+Góc H1= 90 ; GócH1 =GócH2 0 0 Góc A1+góc H2=90 ;Góc B2+Góc H1= 90 ; GócH1 =GócH2    AHB' vuông tại B' BHA'vuông tại A' (đối đỉnh)   BB' AC(Gt) A'A BC(Gt) b)Có nhiều cách chứng minh một tam giác cân.Tam giác BHD có sẵn điều gì đặc biệt ? Từ đó, để chứng tam giác BHD cân tại B,ta chứng minh điều gì? Vì sao? -HS trả lời tương ứng và GV giúp HS hoàn thành sơ phân tích đồ sau Sơ đồ 2: BHD cân tại B  BA' vừa là đường cao, vừa là đường phân giác góc HB'D  Góc B1 = Góc B2  Cung CD = Cung CE(Câu a) 4
5. (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau-Hệ quả góc nội tiếp) c) Muốn chứng minh CH =CD, ta chứng minh điều gì? CB có vai trò như thế nào đói với DH ? Vì sao? Từ đây, HS lập được sơ đồ: Sơ đồ 3 CD = CH  BC là đường trung trực của HD  BA' vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác BHD  BHD cân tại B (Câu b) Từ bài toán này, chúng ta có thể giúp HS khai thác thêm các bài toán theo các hướng khcs nhau. Hướng khai thác thứ nhất: Giữ nguyên các giả thiết, thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố trên hình và kết quả sẵn có, thiết lập bài toán mới. Quan sát hình 6, ta có CE=CD=CH (Câu a và c). Ta còn có BC là trung trực của HD, AC là trung trực của HE (Từ câu b), học sinh dễ dàng chứng minh được bài toán mới sau: Bài toán 2. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại và E.Chứng minh rằng: a)C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. b)D đối xứng với H qua CB, E đối xứng với H qua CA. D C A' E O B' H B A Hình 7 Từ bài toán 2, C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE nên C nằm trên trung trực của DE, ta có bài toán: 5
6. Bài toán 3. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại và E.Chứng minh rằng, C nằm trên đường trung trực của DE. Từ câu a của bài toán 1, ta thấy rằng C là điểm chính giữa của cung DE. Dựa vào định lý "Trong một đường tròn, đường kính di qua điểm chính giữa của một cung thìvuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại" và định lý "Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy"(Trang 102-SGK Toán 9 -Tập 2-NXBGD 2005), ta có:OC là đường trung trực của DE, Ta có bài toán mới: Bài toán 4. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.Chứng minh rằng:OC là đườngtrung trực của đoạn thẳngDE. Kết hợp câu a của bài toán 1 và bài toán 4, ta có CO vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác CDEcân tại C, ta có bài toán sau: Bài toán 5. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H(Góc C khác 900) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.Chứng minh rằng OC là tia phân giác của góc DCE. Hoàn toàn tương tự với vị trí của cung CDE là cung DBE, OC DE Đường thẳng CO cũng đi qua điểm chính giữa của góc DBE. Ta có bài toán sau: Bài toán6. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (Góc C khác 900 ) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.Chứng minh rằng đường thẳng CO chia cung DBE thành hai phần bằng nhau. Trở lại bài toán 2b, E đối xứng với H qua AC, D đối xứng với H qua BC CHA =CEA; CHB=CDB; mà CEA và CDB và ABC có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp nênCHAvàCHB , ABC có cùng bán kính dường tròn ngoại tiếp,. Từ đó, giúp HS phát hiện và chứng minh được bài toán: Bài toán7. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (Góc C khác 900 ) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.Chứng minh rằng các  CHA, CHB, AHB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau . . Hoặc bài toán ra dưới dạng ẩn tàng hơn: Bài toán 8. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (Góc C khác 900 ) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. So sánh bán kính đường tròn ngoại tiếp các CHA, CHB, AHB . 6
7. Hướng khai thác thứ hai:Bổ sung thêm các giả thiết của bài toán gốc, vẽ thêm các đường phụ để phát hiện các quan hệ mới: ' ' D Từ hình 7, giả sử BB, AA là hai đường cao hạ từ B và C A của tam giác ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp G A' tam giác ABC, ED cắt CA, CB thứ tự tại Fvà G, F ' (Hình 8), ta nhận thấy: B là trung điểm của E O ' ' ' B' EH,A là trung điểm của DH B A là đường H trung bình của tam giác EDH B'A' //ED,(Tính B chất đường trung A bình của tam giác )Mặt khác, ED  CO(Bài toán 4) OCA'B'. Hình 8 Ta có bài toán tiếp theo: Bài toán 9.Cácđường cao AA',BB' của tam giác ABC cắt nhau tại H, cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.DE cắt CA, CB lần lượt tại F và G.Chứng minh: a)ED // A'B'; b)OC vuông góc với A'B'. D C Từ hình 8,gọi I là giao diểm của ED với CO. Theo G ' ' ' ' I A' kết quả bài 2,4,9,ta có:BI //HA; BI = HA,nên ta có F ' ' tứ giác HAIB là hình bình hành. Ta còn có E ' O DB,EA',HIlà 3 đường trung tuyến của tam giác HDE B' nên chúng đồng quy.Từ đây, GV biết nhìn nhận và H phát hiẹn cách chứng minh bài toánkhó hơn(Hình B 9): A Hình 9 Bài toán 10.Các đường cao AA',BB' của tam giác ABC cắt nhau tại H, cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.DE cắt CA, CB lần lượt tại F và G. HI, EA', DB' đồng quy tại một điểm. Bây giờ chúng ta chuyển sang xét các tứ giác D nội tiếp và các bài toán xung quanh nó từ bài toán C 1. G A' Quan sát hình 10 ta thấy :Góc CA 'B=góc F E ' 0 ' ' 0 O CB H=90 và Góc AB B =Góc AA B = 90 các tứ B' giác CA'HB',AB'A'B nội tiếp được đường tròn. Khi H B đó, ta chứng minh được: -HB.HB' = HA.HA' A -AH.AA' = AC.AB'; Hình 10 -BH.BB' = BC.BA'; 7