SKKN Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trong chương trình Toán THCS

Nội dung text: SKKN Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trong chương trình Toán THCS

1. Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Lời nói đầu: Víi xu thÕ ph¸t triÓn cña x· héi nãi chung vµ sù ph¸t triÓn cña khoa häc nãi riªng, con ng­êi cÇn ph¶i cã mét tri thøc, mét t­ duy nh¹y bÐn ®Ó n¾m b¾t vµ sö dông nh÷ng tri thøc ®ã trong cuéc sèng hµng ngµy. Muèn cã nh÷ng tri thøc ®ã con ng­êi cÇn ph¶i häc, nhµ tr­êng lµ mét trong nh÷ng n¬i cung cÊp nh÷ng hµnh trang ®ã . Bé m«n to¸n trong tr­êng trung häc c¬ së, nhÊt lµ bé m«n ®¹i sè 8 lµ mét bé m«n rÌn luyÖn tÝnh t­ duy nh¹y bÐn cña häc sinh, nã ®ßi hái ng­êi häc ph¶i nh×n nhËn vÊn ®Ò d­íi mäi gãc ®é ph¶i liªn hÖ gi÷a bµi to¸n ®· gi¶i, nh÷ng kiÕn thøc ®· biÕt ®Ó gi¶i quyÕt. V× vËy ng­êi thÇy ph¶i cho häc sinh n¾m ®­îc c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n vµ c¸c h­íng më réng cña bµi to¸n ®ã. Tõ ®ã ®Ó häc sinh ph¸t triÓn t­ duy vµ h×nh thµnh kÜ n¨ng gi¶i to¸n. Muèn ®¹t ®­îc ®iÒu ®ã ph¶i ®ßi hái tÝnh tÝch cùc, tÝnh t­ duy cña ng­êi häc nh­ng ph­¬ng ph¸p cña ng­êi thÇy còng rÊt quan träng, lµm cho häc sinh häc mét nh­ng cã thÓ lµm ®­îc hai ba. Tõ bµi to¸n ®¬n gi¶n më réng lªn bµi khã. Với thực tế và yêu cầu chung đó việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình Toán THCS” Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm tốn chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán. Xin trân trọng cảm ơn! 2. Lý do chọn đề tài: Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng. Một trong những dạng toán đó là: phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toán Trung học cơ sở. Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoàn Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Chuyên đề này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đó những phương pháp quan trọng như đưa về tổng các bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Toán THCS”. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7; 8; 9 bậc THCS 2. Phạm vi nghiên cứu: +Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6; 7; 8; 9 qua các năm. +Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, các loại sách tham khảo. +Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán. Hơn nữa trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có bài toán tìm cực trị đại số nên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu của học sinh làm cho các em yêu thích môn Toán hơn. Nghiên cứu về “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. 2 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS
3. Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về tìm GTLN, GTNN của biểu thức. IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 2. Hệ thống hóa kiến thức và phương phaùp giải toán tìm GTLN, GTNN 3. Đưa ra được những kó năng cần thiết khi biến đổi và tìm GTLN, GTNN. 4. Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học toán. 5. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài. 6. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 2. Phương pháp điều tra, khảo sát. 3. Phương pháp thử nghiệm . 4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm . VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn . Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận: -Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán. -Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh. -Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS. -Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: -Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu. -Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu. -Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài liệu cụ thể, do đó làm mất nhiều thời gian. -Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng chuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn. -Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành. II. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI. 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN): ❖ Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn. + Với mọi x thuộc D thì f(x) M, M là hằng số. + Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M. ❖ Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: + Với mọi x thuộc D thì f(x) m, m là hằng số. + Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m. 2. Mở rộng khái niệm trên đối với biểu thức f(x,y ), xác định trên miền D như sau: ❖ Cho biểu thức f(x ; y ). Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x ; y ) ký hiệu Max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn : 4 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS
5. Sáng kiến kinh nghiệm - Với mọi x , y để f(x ; y ) xác định thì f(x ; y ) M (1). - Tồn tại xo , yo sao cho f(xo ; yo ) = M (M là hằng số) (2). ❖ Cho biểu thức f(x ; y ). Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x ; y ) ký hiệu Min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn : - Với mọi x , y để f(x ; y ) xác định thì f(x ; y ) m. (1)’. - Tồn tại xo , yo sao cho f(xo ; yo ) = m (m là hằng số) (2)’. ❖ Chú ý rằng : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1)’ thì chưa thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận Min A = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. Cách giải đúng như sau : A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2. A = 2 x – 2 = 0 x = 2. Vậy Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2. 3. Ñònh nghóa vaø tính chaát giaù trò tuyeät ñoái cuûa moät soá a.Định nghĩa: a = a nếu a 0 a = - a nếu a 0. 3) a b a - b ( đẳng thức xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 ) 4) | a | + | b | | a + b |, 5) | a | – | b | | a – b |. a b 6) 2 với a > 0, b> 0. b a 4. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các giá trị x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. x -b/a ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích bằng cách xét dấu các nhân tử của tích. Nếu số nhân tử âm mà chẳn thì tích dương, ngược lại tích sẽ âm. Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giá trị của biến. Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm 5. Các hằng đẳng thức đáng nhớ, các bất đẳng thức đã học, các quy tắc so sánh phân số 6. Sử dụng các mệnh đề tương đương: * A nhỏ nhất – A lớn nhất. * B lớn nhất B2 lớn nhất. (B > 0) 1 * C nhỏ nhất lôùn nhất. (C > 0) C 7. Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta GTLN của tích, GTNN của tổng. a) Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: Chứng minh: Nếu a, b có a + b = k ( k là hằng số ) thì (a + b)2 4ab ta có a.b k 2 k 2 do đó max(a.b) = khi và chỉ khi a = b. 4 4 b)Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: Chứng minh: Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 4ab Min (a + b)2 = 4h, (khi và chỉ khi a = b) Min (a + b) = 2 h , (khi và chỉ khi a = b). III. KHẢO SÁT BAN ĐẦU: Đơn vị Khối 8;9 Hứng thú với dạng Biết cách tiếp toán cận dạng toán Tổng số 240 HS 50 20 Tỷ số% 100% 20,8% 8,3% IV. THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN: 1. Thực trạng: - Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh không hứng thú với dạng toán này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng toán một cách thực sự. - Chất lượng bài làm của học sinh rất thấp - Tiềm năng của học sinh về môn toán chưa được khai thác hết. 6 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS