Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

1. A – ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là môn khoa học có ứng dụng trong mọi lĩnh vực của cuộc sống.Từ xa xưa con người ta đã biết đến toán học thông qua đo đạc và tính toán. Trong nhà trường môn toán giữ vai trò quan trọng bởi môn toán có tính trừu tượng, tính logic, tính chính xác và có tính thực nghiệm cao.Vì vậy làm thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đật ra cho nhiều thế hệ học sinh. Một trong những nội dung rất cơ bản của môn toán đó là phương trình.Phương trình là một dạng toán quan trọng,xuyên suốt quá trình học toán từ cấp 2 đến cấp 3 và các cấp cao hơn.Bởi vậy các em học sinh cần phải trang bị cho mình kiến thức vững vàng về phương trình. Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay chỉ đưa ra cách giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đơn giản.Vì vậy khi gặp một số phương trình bậc cao thì các em học sinh thường lúng túng chưa tìm ra ngay được hướng giải toán. Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học sinh khá giỏi bản thân người dạy phải ngiên cứu, tìm tòi các cách giải của phương trình bằng phương pháp dễ hiểu nhất, dễ vận dụng nhất. Qua nhiều năm giảng dạy cũng như tìm tòi nghiên cứu tài liệu tôi đã tìm và nghiên cứu đề tài “Rèn luyện giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ”. Nhằm tìm ra biện pháp hữu hiệu nhất để có một phương án đúng đắn giúp học sinh tiếp cận với phương trình bậc cao một cách chủ động, có hứng thú trong quá trình học. Trong đề tài này, tôi xin được tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc về giải phương trình nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo, tư duy cho học sinh đặc biệt là những học sinh có khả năng về môn toán. . B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận Hiện nay mục tiêu của môn Toán ở trường THCS là nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện cho các em các kĩ năng giải toán và ứng dụng vào thực tiễn, rèn luyện kĩ năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Xuất phát từ mục tiêu trên phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh các tư duy cần thiết. Môn Toán là môn khoa học đòi hỏi tư duy cao của người dạy và người học. Thông qua việc giảng dạy môn Toán nhằm rèn kuyện cho người học năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo nhằm hình thành nhân cách cho người lao động trong tương lai. Học sinh muốn có kiến thức toán sâu thì phải luyện tập và thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức toán học của mình. Đây cũng là
2. vấn đề khó đối với người học, chính vì vậy thì đòi hỏi người dạy cần truyền đạt cho các em sự ham thích học toán bằng những phương pháp, kĩ năng giải toán và ứng dụng của mỗi dạng toán. II – Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1- Thực trạng Qua nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh khá giỏi tôi thường trực tiếp tham khảo tài liệu viết về nội dung này và tôi thấy việc cần thiết phải có những phương pháp giải thích hợp giúp học sinh phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải các phương trình.Nhiều dạng phương trình nhất là phương trình bậc cao là phương trình mà cách giải rất phức tạp trong trương trình phổ thông vấn đề này chưa được đề cập sâu.Ở trương trình SGK cấp THCS phương trình bậc cao chỉ mới đề cập đến phương trình bậc hai và phương trình trùng phương.Các phương trình bậc cao với hệ số thực chưa có cách giải tổng quát.Các phương trình phức tạp nếu không giải được không có cách giải cụ thể thì học sinh sẽ rất lúng túng trong khi giải toán. Nhìn chung đa số các em chỉ mới nêu được cách giải các phương trình đơn giản việc đi sâu vào giải phương trình thì các em còn bế tắc, chưa có cách giải. 2 – Kết quả của thực trạng Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có biện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã tham khảo nhiều tài liệu và tiến hành khảo sát 8 em trong đội tuyển học sinh giỏi. Bài tập 1: Giải phương trình x4 – 5x2 + 6 = 0 Bài tập 2: Giải phương trình (x – 1)4 + (x + 3)4 = 82 Bài tập 3: Giải phương trình x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 1 = 0 Bài tập 4: Giải phương trình (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6 Kết quả thu được sau khi các em làm 4 bài tập trên như sau Điểm < 5 Điểm 5 - <6,5 Điểm 6,5 - < 8 Điểm 8 - < 10 SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 4 50,0 3 37,5 1 12,5 0 0 Trong khi chấm khảo sát tôi còn phát hiện thấy phần đa số các em chưa có phương pháp giải, lời giải dài dòng, lập luận không chặt chẽ, thiếu tính lo gic. Ở một số em còn thử và ngộ nhận kết quả. Chính vì vậy sau thời gian đắn đo bản thân còn bỡ ngỡ khi đã nhiều lần tìm tòi, giải các phương trình, đến nay với kinh nghiệm ít ỏi tôi quyết định đúc rút được một số kiến thức tôi đã mạnh dạn chọn đề tài này để nghiên cứu và xin giới thiệu với đồng nghiệp cùng tham, khảo III.Các giải pháp tổ chức thực hiện Phương trình là một đề tài lý thú của phần đại số, là loại bài toán khó tuy nhiên nó lôi cuốn được nhiều đối tượng học sinh. Trong khi giải phương trình có nhiều phương pháp để giải. Mỗi bài toán khi giải cần vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan sao cho phù hợp với đặc điểm của bài toán đó nhằm rèn luyện tư
3. duy toán học một cách linh hoạt, sáng tạo. Vì vậy, các bài toán về phương trình thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, chọn đội tuyển, học sinh giỏi cấp tỉnh, các bài toán thi Violimpic 1.1. Tiến hành khảo sát đối tượng học sinh Khi được phân công giảng dạy các em tôi đã tiến hành khảo sát học sinh bằng cách cho các em một số bài toán dễ để kiểm tra xem các em giải như thế nào và mức độ vận dụng ra sao để phát hiện và có kế hoạch bồi bổ những phần mà các em còn lúng túng, diễn đạt thiếu logíc, thiếu chặt chẽ. 1.2. Tìm tòi và tham khảo tài liệu Trước khi dạy bồi dưỡng các em bản thân tôi đã tìm đến các hiệu sách tìm và mua các tài liệu có liên quan đến phương trình, tìm tòi trên mạng intenet những chuyên đề về phương trình. Hay thu thập một số đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và một số bài toán trong phần Tự luyện Violimpic. 1.3. Biên soạn và phân dạng các bài toán. Sau khi đã tìm tòi được một số bài toán thông qua các sách tham khảo và các kênh thông tin khác tôi tiến hành phân dạng các bài toán thành các dạng cụ thể: 4 2 1. Phương trình dạng a[F(x)] + b[F(x)] + c = 0. 2. Phương trình bậc 4. 2.1 Phương trình đối xứng bậc 4 2.2 Ph­¬ng tr×nh ph¶n th­¬ng 2.3. Phương trình hồi quy dạng tổng quát. 2.4. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m 2.5. Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 trong ®ã ad = bc 2.6. Phương trình dạng (x +a)4 + (x +b)4 = c 3. Phương trình căn thức ( Phương trình vô tỉ) 3.1. Sử dụng 1 ẩn phụ. 3.2. Sử dụng 2 ẩn phụ 3.3. Sử dụng 3 ẩn phụ 3.4.Sử dụng 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình 4. Phương trình đẳng cấp đối với các biểu thức chứa ẩn 5. Phương trình mũ 1.4.Các biện pháp tổ chức thực hiện 4 2 1. Phương trình dạng a[F(x)] + b[F(x)] + c = 0. Trong đó F(x) là biểu thức chứa ẩn; a, b, c R. 2 Cách giải: Giải phương trình này ta đặt ẩn phụ t = [F(x)] đk: t ≥ 0 để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 với ẩn phụ t có dạng: at2 + bt + c = 0 Đây là phương trình quen thuộc mà học sinh dễ dàng giải được Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x4 – 3x2 – 2 = 0. (1)
4. Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai song có thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ. Giải: Đặt t = x2 (Điều kiện t ≥ 0 ) ta được phương trình bậc 2 đối với ẩn t. 2t2 – 3t – 2 = 0. ∆ = 9 + 16 = 25. ∆ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm 3 5 8 t 2 1 4 4 3 5 1 t ( loại) 2 4 2 Với t = 2 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0. t = 2 => x2 = 2 => x = 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1,2 2 Ví dụ 2: Giải phương trình ( x2 + 2x )4 – 15(x2 + 2x )2 – 16 = 0 (2) 2 2 Giải : Đặt (x + 2x ) = t (Điều kiện t ≥ 0 ) Phương trình (2) trở thành: t2 – 15t – 16 = 0 t2 – 16 t + t – 16 = 0 (t -16)(t + 1) = 0 => t = 16 t = -1 ( loại) Với t = 16 => (x2 + 2x)2 = 16 (x2 + 2x)2 – 16 = 0 (x2 + 2x - 4) (x2 + 2x + 4) = 0 (x2 + 2x +1 - 5) [(x + 2)2 + 3] = 0 ( x + 1 - 5 )( x + 1 + 5 ) = 0 x 5 1 1 x2 5 1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. x1 = 5 - 1 x2= - 5 - 1 2. Phương trình bậc 4. Phương trình tổng quát có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. x là ẩn; a, b, c, e là các hệ số, a ≠ 0 2.1 Phương trình đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. (a ≠ 0) (1) Đặc điểm của dạng phương trình này là vế trái của các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau.
5. Phương pháp giải gồm 4 bước: - Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả 2 vế của (1) cho x2 (đk x ≠ 0) rồi nhóm các số hạng cách đều 2 số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình mới. b a ax2 + bx + c + = 0 x x2 1 1 a(x2 ) b(x ) c 0 x2 x 1 1 -Bước 2: Đặt y = x + (2) Đk y 2 x2 y 2 x x2 Từ đó ta có a(y2 – 2) + by + c = 0 ay2 + by -2a +c = 0 (3) - Bước 3: Giải phương trình (3) ta được y = .( Đối chiếu với điều kiện của y) - Bước 4: Thay các giá trị của y thỏa mãn vào (2) để ta tìm x và trả lời nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình 10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = 0. (3) Giải : Ta có x = 0 không phải là nghiệm của (3) Chia cả 2 vế của (3) cho x2 (đk x ≠ 0) ta được phương trình: 27 10 10x2 - 27x - 110 - = 0 x x2 1 1 10(x2 ) 27(x ) 110 0 (3.1) x2 x 1 1 Đặt x + = y (3.2) Đk y 2 x2 y 2 2 x x2 Thay vào (3.1) ta có 10(y2 – 2) - 27y - 110 = 0 10y2 – 27y – 130 = 0 (3.3) 5 26 Giải (3.3) ta được y1 = - (TM§K) y2 = (TM§K) 2 5 5 1 5 * Với y1 = - x + = - 2 x 2
6. 2x2 + 5x + 2 = 0 => x1 = - 2 1 x2 = - 2 26 1 26 * Với y2 = x + = 5 x 5 5x2 – 26x + 5 = 0 => x3 = 5 1 x4 = 5 Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S = { -2; - 1 ; 1 ; 5 } 2 5 Ví dụ 4: Giải phương trình: x4 + (x – 1)( x2 – 2x + 2) = 0. (4) Đây không phải là phương trình dạng tổng quát tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ hợp lý ta sẽ được một phương trình dạng tổng quát như trên. Giải: Đặt y = x – 1 ta có x = y +1. Phương trình (4) (y + 1)4 + y(y2 + 1) = 0 y4 + 5y3 + 6y2 +5y + 1 = 0 (4.1) Vì y = 0 không phải là nghiệm của (4.1) nên ta chia cả 2 vế cho y2 y2 + 5y + 6 + 5 + 1 = 0 y y 2 1 1 (y 2 ) 5(y ) 6 0 (4.2) y 2 y 1 Đặt y + = t Đk t 2 y