Sáng kiến kinh nghiệm Các ứng dụng của định lý Vi-ét

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Các ứng dụng của định lý Vi-ét

1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT PHẦN I: CƠ SỞ XUẤT PHÁT 1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về phương diện suy luận và ứng dụng trong chương trình toán nói chung cũng như chương trình toán THCS nói riêng. 2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng người Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete) (1540- 1603) tìm ra được mang tên ông: Định lý Vi-vét. Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nó có giá trị đặc biệt là nêu lên được nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai như: - Tìm tổng và tích các nghiệm của một phương trình bậc hai khi có nghiệm. - Biết một nghiệm của phương trình bậc hai suy ra nghiệm kia. - Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai (khi có nghiệm) trong các trường hợp. - Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. - Lập một phương trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trước Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò “một chìa khoá” quan trọng mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng như: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ giữa đường thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề các; tính giá trị các biểu thức bậc cao của các nghiệm số 3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chương trình đại 9 có ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của một phương trình bậc 2; nêu được quan hệ định tính, định lượng của các nghiệm số với các hệ số của phương trình bậc 2. Có thể nói: ''Các nghiệm số của phương trình bậc 2 dưới lăng kính của địmh lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ''. 4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) các dạng bài tập về phương trình bậc 2 (phương trình qui về bậc hai); các bài toán có liên quan đến nghiệm số của phương trình bậc 2; những kỹ thuật giải phương trình; hệ phương trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét. 5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây được hứng thú giải bài tập cho HS, hình thành cho HS những ý tưởng phong phú, trau dồi tư duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài toán có liên quanđến phương trình bậc hai. 6. Phương trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số được gắn kết với nhau như hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng dụng phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ.
2. 7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm giàu tư duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài toán trong mối liên hệ sinh động dưới “con mắt động” của sự ràng buộc giữa biến số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lượng học tập môn toán. 8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó trong Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của bất kì một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho người dạy, người học một phong cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới phương pháp dạy học một cách hiệu quả. 9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của người dạy và người học phần nào còn nhiều sơ sài như chưa khai thác triệt để định lý đảo; các kết quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học. PHẦN II: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP A. LÝ THUYẾT: 1. Định lý Viet thuận: 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì b S = x + x = 1 2 a c P = x . x = 1 2 a b x x 1 2 a a 0vµ Δ 0 c x 1 .x 2 a * Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) c - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm kia là x = 1 2 a c - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = - 1; nghiệm kia là x = 1 2 a 2. Định lý đảo: x1 x 2 S 2 Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: t x1 .x 2 P - st + p = 0 2 (Điều kiện  2 số x1, x2 là s - 4p 0)
3. Chú ý: * Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm a 0 Δ 0 (Δ' 0 ) * a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1 x y S * Nếu có: x = ; y =  là nghiệm hệ phương trình thì ,  là xy P nghiệm phương trình: t2 - st + p = 0 3. Các ứng dụng cơ bản (thường dùng): a. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2. b. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2. c. Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia d. Tìm 2 số biết tổng và tích. e. Lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm 4. Một số kết quả thu được từ định lý Viet: a. Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) thành nhân tử: b c Khi (*) có 0  x , x / x + x = ; x . x = thì 1 2 1 2 a 1 2 a b c 2 2 2 ax + bx + c = a x x ax (x1 x2 )x x1x2  a a 2 = a(x - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 - Nếu S = x1 + x2 (không đổi) còn P = x1 . x2 thay đổi. S 2 Do S2 - 4P 0 P 4 S 2 b S P = x = x = 4 1 2 2a 2 S 2 S maxP = x = x = (Vì x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép) 4 1 2 2 KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau. - Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi) Còn S = x1 + x2 (thay đổi) Do: S2 - 4P 0 S 2 P S 2 P 0 S - 2 P 0 ; S = 2 P x1 = x2 = P KL: 2 số dương có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.
4. c. Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) b c S ; P a a - Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P 0; v > 0). 2u 2v 6a u v 3a Ta có: 2 2 uv 2a vu 2a
5. Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2. 2 2 t - 3at + 2a = 0 giải được t1 = a ; t2 = 2a Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a. 2 2 x1 x 2 13 b. Tìm phương trình bậc 2 nhận x1; x=2 là nghiệm và (*) x1x 2 6 x x 5 2 1 2 (x1 x2 ) 2x1x2 13 Biến đổi hệ (*) ta có: x 1 x 2 5 x1x2 6 x 1 x 2 6 x 1 x 2 5 x , x là nghiệm phương trình: x2 - 5x + 6 = x .x 6 1 2 1 2 0 x 1 x 2 5 2 x1 , x2 là nghiệm phương trình: x + 5x + 6 = x 1 .x 2 6 0 3 x 3 y 4 (1) c. Giải hệ phương trình: xy 27 (2) x y 5 (Ta quy về tìm x, y / ) xy P Từ (1) có 3 x 3 y 4 x y 33 xy 3 x 3 y 64 x y 28 x y 28 Vậy hệ (1) (2) có dạng do 282 - 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm của xy 27 2 phương trình: t - 28t + 27 = 0. Giải được t1 = 1 ; t2 = 27. Hệ có 2 nghiệm: x 1 x 27 ; y 27 y 1 5 x 5 x d. Giải phương trình: x . x 6 (Đ/K: x -1) x 1 x 1 5 x 5 x Đặt: u x ; v = x 6 (Đ/K: x -1) x 1 x 1 u v 5 u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho: u.v 6 2 Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phương trình t - 5t + 6 = 0  t1 = 3; t2 = 2. u1 3 u 2 2 Từ đó có: hoặc . v1 2 v 2 3
6. x 2 2x 3 0 2 Phương trình đã cho x 3x 2 0 giải được x1 = 1; x2 = 2 (TM) x 1 e. Cho phương trình: x2 +ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; phương trình x2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều 0. Giải: Áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho có: c + d = - a (1) c . d = b (2) a + b = - c (3) a . b = d (4) Từ (1) a + c = - d   b d (3) a + c = - b  Từ (2) c =1 (Vì b = d 0) Từ (4) a = 1 (Chia 2 vế cho b = d 0) Thay a = c = 1 vào (1) d = - 2 b = - 2 Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2) II. TÍNH GIÁ TRỊ CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM: 1. Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm: Biểu thức f(x1, x2) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1 , x2) = f(x2, x1) (Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 và x2 thì biểu thức không thay đổi). - Nếu f(x 1, x2) đối xứng thì f(x 1, x2) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức đối xứng là S = x1 + x2; P = x1 . x2. 2 - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1, x2 của phương trình bậc 2 ax + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi hán vị x1 và x2. Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1, x2 theo S và P. Ví dụ: 2 2 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 S 2P 3 3 3 3 x1 x 2 x1 x 2 3x1x 2 x1 x 2 S 3SP 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x 2 x1 x 2 2x1 x 2 (S 2P) 2P 1 1 x x S 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P 2 2 2 1 1 x 1 x 2 S 2 P 2 2 2 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P . . . 2. Các ví dụ: a. Bài toán 1: Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0)
7. n n Có 2 nghiệm là x1, x2. Chứng minh rằng: Với S n x 1 x 2 Thì a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 Giải: 2 ax 1 bx 1 c 0 Do x1, x2 là nghiệm (*) 2 ax 2 bx 2 c 0 n 2 n n n 2 n 1 n ax 1 .x 1 bx 1 .x 1 cx 1 0 ax 1 bx 1 cx 1 0 n 2 n n n 2 n 1 n ax 2 .x 2 bx 2 .x 2 cx 2 0 ax 2 bx 2 cx 2 0 n 2 n 2 n 1 n 1 n n a. x1 x 2 b x1 x 2 c x1 x 2 0 hay: a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 b. Bài toán 2: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức: 2 2 3 3 4 4 7 7 2 3 3 2 x1 x 2 ; x1 x2 ; x1 x2 ; . . . ; x1 x2 ; x1 x2 x1 x2 ; x1 x 2 Giải: Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay không. = 25 - 8 = 17 > 0 Phương trình có 2 nghiệm x1 x2 2 2 2 Suy ra: x1 x 2 S 2P 21 3 3 2 x1 x2 S(S 3P) 95 4 4 2 2 2 x1 x2 (S 2P) 2P 441 8 433 7 7 3 3 4 4 3 3 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 .x 2 x1 x 2 = - 95 . 433 - 8 . (- 5) = 2 3 3 2 2 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P .S 20 2 2 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 4x1x 2 S 4P 17 * Chú ý: Ta có thể mở rộng cho bài toán trên yêu cầu tính giá trị của n 2 n 2 x1 x 2 S n 2 ; Sn + 1 ; Sn bằng cách áp dụng kết quả Bài toán 1. Sn +2 = - b Sn + 1 - cSn 2 7 7 Ví dụ: Cho x1, x2 là nghiệm phương trình: x - 2x - 2 = 0 Tính x1 x 2 Ta có: ’ = 3 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm x1, x2. 2 2 2 S1 = 2 S 2 x1 x 2 (x 2 x 2 ) 2x1 .x 2 8 S3 = - bS2 - cS1 = 16 + 4 = 20 S4 = - bS3 - cS2 = = 56 S5 = - bS4 - cS3 = 152 = S6 = - bS5 - cS4 = 416 S7 = - bS6 - cS5 =1136