Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp vẽ yếu tố phụ trong hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp vẽ yếu tố phụ trong hình học

1. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học Phần I - Đặt vấn đề Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay. Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân. Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
2. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ. I - Cơ sở lý luận. Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình THCS: Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c. Giải: Cách dựng: B a b c a c A b C x - Dựng tia Ax. - Dựng đường tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax. - dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a. Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước. Cách dựng: - Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được OAB. - Dựng O’A’B’ = OAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được Oˆ ' Oˆ . x A A’ O O’ B y B’ Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
3. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học Cách dựng: - Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B. - Dựng đường trung trực của AB. O A B D Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện. I - Cơ sở thực tế Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
4. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 BH = 3 ( cm) Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm) DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3). Ta có: DH  BC, DH // AK AK  BC. Xét ABK và ACK có: • BK = KC ( theo cách lấy điểm K) • AKB = AKC = 900 • AK là cạnh chung ABK = ACK (c – g – c) AB = AC ABC cân tại A. 4) Nhận xét: Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ. Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác). !) Phân tích bài toán: Bài cho: tam giác ABC có Bˆ Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC. 2) Hướng suy nghĩ: A Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I BC) 3) Chứng minh: 1 2 GT ABC; Bˆ Cˆ Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên B C I
5. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học A 3) Chứng minh: 1 ABC; Aˆ 90 0 ; GT AM là trung tuyến 1 KL AM BC B 2 2 C M 1 D Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA. Xét MAC và MDB ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) •M 1 = M2 ( vì đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) MAC = MDB ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) ˆ ˆ và A 1 D (2 góc tương ứng). AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Lại có: AC  AB ( gt) AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay Aˆ Cˆ 90 0 (2) Xét ABC và CDA có: • AB = CD ( Theo (1)) • Aˆ Cˆ 90 0 ( Theo (2)) • AC là cạnh chung ABC = CDA ( c – g – c) Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
6. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) ˆ ˆ và A 1 D (2 góc tương ứng). (2) Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) CD < AC. (3) Xét ACD có: CD < AC ( theo (3)) ˆ ˆ A 2 D (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) ˆ ˆ Mà A 1 D ( theo (2)) ˆ ˆ A 2 A 1 hay BAM < MAC. 4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển A1 và A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và A2 ở trong cùng một tam giác ADC. Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng. Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1) A B C D ( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng s ong song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau) 1) Phân tích bài toán: Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD. 2) Hướng suy nghĩ: Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
7. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học Bài cho ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều. 2)Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB  AC và suy ra A = 900. 3) Chứng minh: ABC; AH BC; A GT trung tuyến AM; Aˆ Aˆ Aˆ 3 1 2 3 1 2 I ABC vuông ; KL ABM đều 1 2 B C Vẽ MI  AC ( I AC) H M Xét MAI và MAH có: • Hˆ ˆI 90 0 ( gt) • AM là cạnh chung) MAI = MAH ( cạnh huyền – góc nhọn) ˆ ˆ • A 2 A 3 (gt) MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1) Xét ABH và AMH có: ˆ ˆ 0 • H 1 H 2 90 ( gt) • AH là cạnh chung ABH = AMH ( g – c - g) ˆ ˆ • A 1 A 2 ( gt) BH = MH ( 2 cạnh tương ứng) (2) 1 1 1 Mặt khác: H BM , Từ (1) và (2) BH MH BM CM MI CM 2 2 2 1 Xét vuông MIC có: MI CM nên Cˆ 300 từ đó suy ra: HAC = 600 . 2 3 3 BAC HAC 60 0 90 0 . 2 2 Vậy ABC vuông tại A. Vì Cˆ 300 Bˆ 600 ; Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
8. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học Xét MBF và MCE có: MBF = MCE ( so le trong của BF // CE) MB = MC ( gt) BMF = CME ( đối đỉnh) MBF = MCE (g – c – g) BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1) Mặt khác ADE có AH  DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt) Do đó: ADE cân tại A BDF = AED Mà BF // CE ( theo cách vẽ) BFD = AED Do đó: BDF = BFD BDF cân tại B BF = BD (2) Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE 4) Nhận xét: Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS. 5 cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán. Cách 6: Phương pháp “ tam giác đều” Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Ta xét một bài toán điển hình: Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D 1 sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA = Aˆ . 2 1) Phân tích bài toán: Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
9. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học 4) Nhận xét: 1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng. 2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác: - Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). - Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC). - Vẽ tam giác đều ABM ( M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình. * Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm: Sau thời gian vận dụng phương pháp kết, quả đạt được tương đối khả quan 60% đã vận dụng thành thạo, 30% đã biết vận dụng để giải một số bài đơn giản, 10% cần được bồi dưỡng thêm . Phần IV: kết luận I. Kết luận. Thông qua một số bài toán và phương pháp giải một số bài toán hình học bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ học sinh đã hình thành cho mình một cái nhìn về phương pháp này một cách tích cực hơn đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Qua quá trình hướng dẫn một số bài tập thể như vậy, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt một số phương pháp giải vào bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng, kết hợp Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên
10. Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hưng Yên