Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp suy luận phân tích

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp suy luận phân tích

1. Môc lôc Trang PhÇn 1. §Æt vÊn ®Ò 3 1. LÝ do chän ®Ò tµi 3 2. Môc ®Ých nghiªn cøu 3 3. NhiÖm vô nghiªn cøu 3 4. §èi t­îng nghiªn cøu 3 5. Ph¹m vi nghiªn cøu 3 6. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu 4 PhÇn 2. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 5 Ch­¬ng I. C¬ së lÝ luËn 5 I. Suy luËn to¸n häc 5 1. Suy luËn lµ g×? 5 2. Suy diÔn 5 3. Suy luËn quy n¹p 5 II. Ph­¬ng ph¸p chøng minh 7 1. Ph­¬ng ph¸p chøng minh tæng hîp 7 2. Ph­¬ng ph¸p chøng minh ph©n tÝch ®i lªn 7 3. Ph­¬ng ph¸p chøng minh ph©n tÝch ®i xuèng 8 Ch­¬ng II. C¬ së thùc tÕ 8 1. VÝ dô më ®Çu 8 2. Bµi tËp 1 10 3. Bµi tËp 2 12 4. Bµi tËp 3 13 Ch­¬ng III. Bµi tËp 15 Ch­¬ng IV. KÕt qu¶ 16 PhÇn 3. KÕt thóc vÊn ®Ò 20 Tµi liÖu tham kh¶o 21 2
2. PhÇn 1: §Æt vÊn ®Ò 1. LÝ do chän ®Ò tµi. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y c¸c m«n nãi chung vµ m«n h×nh häc nãi riªng th× viÖc t×m ra lêi gi¶i mét bµi tËp ®èi víi häc sinh lµ t­¬ng ®èi khã kh¨n vµ th­êng lµ kh«ng cã hÖ thèng vµ ph­¬ng ph¸p cô thÓ, nhÊt lµ nh÷ng bµi to¸n chøng minh h×nh häc. Häc sinh ®äc c¸c phÇn chøng minh trong s¸ch gi¸o khoa vµ s¸ch bµi tËp th× dÔ hiÓu nh­ng ®Ó lµm ®­îc bµi th× l¹i gÆp khã kh¨n. Bëi v× nh÷ng chøng minh ®ã ®­îc lËp luËn chÆt chÏ hîp l«gic nhÑ nhµng dÉn ®Õn mét hÖ qu¶ tÊt yÕu. Nh­ng lµm sao biÕt ®­îc c¸c trËt tù l«gic ®ã? Lµm sao biÕt ®­îc ph¶i b¾t ®Çu chøng minh tõ ®©u? Ph¶i chøng minh yÕu tè nµo tr­íc, yÕu tè nµo sau? XuÊt ph¸t tõ lÝ do trªn, qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu, t«i nhËn thÊy mét trong nh÷ng ph­¬ng ph¸p ®Ó t×m ®­îc lêi gi¶i lµ ph­¬ng ph¸p suy luËn ph©n tÝch. §©y lµ mét ph­¬ng ph¸p ®¬n gi¶n, dÔ thùc hiÖn, liªn kÕt ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh víi nh÷ng gi¶ thiÕt vµ nh÷ng ®iÒu ®· biÕt ®Ó tõ ®ã, häc sinh cã thÓ dÔ dµng t×m ra ®­îc lêi chøng minh cho mét bµi to¸n vµ tr×nh bµy ®­îc lêi chøng minh ®ã mét c¸ch khoa häc, l«gic. H¬n thÕ n÷a lµ c¸c em cã thÓ vËn dông c¸ch suy nghÜ nµy ®Ó gi¶i quyÕt mét vÊn ®Ò trong thùc tÕ. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu. - VÒ mÆt lÝ luËn, ®Ò tµi nµy sÏ gãp phÇn minh ho¹ cho ph­¬ng ph¸p suy luËn ph©n tÝch ®Ó lµm râ mèi liªn hÖ l«gic gi÷a ®iÒu cÇn chøng minh víi ®iÒu ph¶i chøng minh. - VÒ mÆt ý nghÜa thùc tiÔn, kÕt qu¶ nghiªn cøu cña ®Ò tµi nµy ®­îc sö dông ®Ó tæ chøc d¹y trªn líp vµ tæ chøc chuyªn ®Ò vÒ ph­¬ng ph¸p chøng minh h×nh häc ë cÊp THCS nãi chung vµ ®èi víi häc sinh líp 7, 8 nãi riªng. 3. NhiÖm vô nghiªn cøu ViÖc nghiªn cøu vµ øng dông ®Ò tµi nµy nh»m n©ng cao kh¶ n¨ng suy luËn cho häc sinh trong c¸c bµi tËp chøng minh h×nh häc nãi riªng vµ trong c¸c m«n häc kh¸c vµ c¶ trong thùc tÕ. 4. §èi t­îng nghiªn cøu. - Ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh trong c¸c bµi to¸n chøng minh h×nh häc. 5. Ph¹m vi nghiªn cøu. - Häc sinh líp 7, 8 cña tr­êng THCS Cån Thoi trong c¸c n¨m häc tõ 2008 - 2009 ®Õn n¨m häc 2010 - 2011. 3
3. 6. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu. - §äc s¸ch, nghiªn cøu thu thËp, xö lÝ tµi liÖu s­u tÇm ®­îc. - §iÒu tra kh¶ n¨ng häc h×nh häc cña häc sinh, trao ®æi víi gi¸o viªn cïng tæ nhãm chuyªn m«n. - Tæng kÕt ®óc rót kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. - CËp nhËt th«ng tin tõ m¹ng Internet. - Dùa vµo c¸c ph­¬ng ph¸p nµy vµ ph©n tÝch nguyªn nh©n t«i ®· ®Þnh h×nh cho viÖc nghiªn cøu ®Ò tµi. - PhÇn c¬ së thùc tÕ cña ®Ò tµi ®­îc tr×nh bµy d­íi d¹ng ®­a ra c¸c bµi tËp cô thÓ theo møc ®é khã dÇn. Mçi bµi ®Òu ®­îc ph©n tÝch cô thÓ theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau råi ®­a ra lêi gi¶i cô thÓ theo tõng c¸ch. PhÇn 2. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò Ch­¬ng I. C¬ së lÝ luËn I. SUY LUẬN TOÁN HỌC 1. Suy luận là gì? Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả. Ký hiệu: X1, X2, , Xn Y Nếu X1, X2, , Xn Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic X ,X , ,X Ký hiệu suy luận logic: 1 2 n Y 2. Suy diễn Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic. X Y,X - Quy tắc kết luận: Y 4
4. X Y,Y - Quy tắc kết luận ngược: X X Y,Y Z - Quy tắc bắc cầu: X Z X Y - Quy tắc đảo đề: Y X X Y Z - Quy tắc hoán vị tiền đề: Y X Z X Y Z - Quy tắc ghép tiền đề: X  Y Z 3. Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ trên cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đoán. Ví dụ: 3 – 1 = 3 + (-1) 3 – 2 = 3 + (-2) 3 – 3 = 3 + (-3) Dự đoán: 3 – 4 = 3 + (-4) 3 – 5 = 3 + (-5) Quy tắc: a – b = a + (-b) Đây là một kết luận đúng: Quy tắc trừ hai số nguyên. a) Quy nạp không hoàn toàn : Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể đã được xét đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ:A 1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là B A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là 1 số phần tử của A Kết luận: Mọi phần tử của A là B b) Phép tương tự: 5
5. Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó. Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ: A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d . c) Phép khái quát hóa: Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. d) Phép đặc biệt hóa: Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0; Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đến nó. II. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TOÁN HỌC 1. Phương pháp chứng minh tổng hợp: Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận Sơ đồ: A B C Y X Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A; C là hệ quả lôgíc của B; ; X là hệ quả lôgíc của Y. Vai trò và ý nghĩa: 6
6. + Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng nào đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh. + Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó. + Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. 2. Phương pháp chứng minh phân tích đi lên: Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận. Sơ đồ: X Y   B  A Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; Vai trò và ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rất dài dòng vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. 3. Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống : Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi xuống là phương pháp chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận. Sơ đồ: X Y B A Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quả lôgíc của X ; ; A là hệ quả lôgíc của B và A là mệnh đề đã biết nào đó. Nếu A sai thì X sai. Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai. Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X. 7
7. Ch­¬ng II. C¬ së thùc tÕ cña vÊn ®Ò: chøng minh h×nh häc 1. VÝ dô më ®Çu Cho tam gi¸c ABC (ac < ab). Trªn tia AC lÊy E sao cho AE = AB. Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D, c¾t BE t¹i H. Chøng minh: a) BD = DE A b) BE  AD 1 2 AC < AB AE = AB D GT B C Aµ 1 Aµ 2 1 2 a) BD = DE H KL E b) BE  AD Gi¶i: Ph©n tÝch Chøng minh a) cm BD = DE a) Nèi DE.  BDA vµ EDA cã: cm BDA = EDA AB AE (gt) µ µ  A1 A2 (gt) AD chung AB AE (gt) µ µ Cã: A1 A2 (gt) AD chung BDA = EDA (c.g.c) §ñ ®iÒu kiÖn (c.g.c) BD = DE b) cm BE  AD (Hµ = 900) b)  (1) AD lµ trung trùc cña BE cm (2) AD lµ ®­êng cao µ µ (3) H 1 = H 2  8
8. (1) cm AD lµ trung trùc cña BE Cã AB = AE (1) Ta cã AB = AE (gt)  vµ DB = DE (theo ý a) CÇn cm DB = DE AD lµ ®­êng trung trùc cña BE (§óng theo ý a) AD  BE (2) cm AD lµ ®­êng cao cña (2) V× AB = AE ABE Cã AD lµ ph©n gi¸c cña B· AE nªn ABE c©n t¹i A  Mµ AD lµ ph©n gi¸c cña B· AE AD còng lµ ®­êng cao ABE c©n t¹i A AD  BE (§óng v× AE = AB theo gi¶ thiÕt) µ µ (3) cm H 1 = H 2  (3) ABH vµ AEH cã: cm ABH = AEH AB AE (gt) µ µ A1 A2 (gt)  AH chung AB AE (gt) µ µ Cã: A1 A2 (gt) ABH = AEH AH chung Hµ = Hµ §ñ ®iÒu kiÖn (c.g.c) 1 2 µ µ 0 mµ H 1 + H 2 = 180 µ µ 0 0 nªn H 1 = H 2 = 180 : 2 = 90 VËy BE  AD NhËn xÐt: §Ó chøng minh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc trong vÝ dô nµy, ta ®· sö dông kiÕn thøc vÒ ®­êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng, vÒ ®­êng cao vµ vÒ ®Þnh 9