Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài tập ròng rọc

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài tập ròng rọc

1. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán I/Đặt vấn đề Trong chương trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình Bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở tất cả các ban và là bất đẳng thức được vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chương trình THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng biết, cũng nhớ nhưng để vận dụng được một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn đề. Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề. Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bất đẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thức Cauchy. Nội dung bài viết gồm: I/ Đặt vấn đề II/Nội dung III/Biện pháp thực hiện. IV/Kết quả V/Kết luận Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong được sự góp ý chân thành của đọc giả! Thạch Thành, ngày 20/04/2008 Giáo viên Đỗ Duy Thành. Đỗ duy thành 1 THPT Thạch Thành III
2. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán II/Nội dung 1 Bài 1: Cho a 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của bất biểu thức: S = a + a Bình luận và lời giải 1 1 • Sai lầm thường gặp: S = a + 2 a. 2 MinS 2 . a a 1 • Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 a 1 mâu thuẫn với giả thiết a 3. a 1 • Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a, và S để dự đoán a Min S a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng 10 Min S = đạt tại “Điểm rơi: a = 3” 3 Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên tại “Điểm rơi: a = 3” ta không thể sử dụng bất đẳng thức 1 1 Cauchy trực tiếp cho 2 số a và vì 3 . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất a 3 Đỗ duy thành 2 THPT Thạch Thành III
3. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán a 1 a 1 đẳng thức Cauchy cho cặp số , sao cho tại “Điểm rơi: a = 3” thì tức a a là ta có lược đồ “Điểm rơi” sau đây a 3 1 3 • Sơ đồ: a 3 9 1 1 3 a 3 Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “Điểm rơi” được nêu ở trên. 1 a 1 8a a 1 8.3 10 Lời giải đúng: S = a + = 2 . a 9 a 9 9 a 9 3 10 Với a = 3 thì Min S = 3 1 Bài 2: Cho a 2. Tìm giá trị hỏ nhất của biểu thức: S = a + a2 Bình luận và lời giải a 2 1 2 • Sơ đồ điểm rơi : a 2 8 1 1 4 a2 4 • Sai lầm thường gặp: 1 a 1 7a 8 1 7a 2 7a 2 7.2 2 7 9 S = a + 2 = 2 . 2 . a 8 a 8 a a 8 8a 8 8.2 8 4 4 4 9 Với a = 2 thì Min S = 4 • Nguyên nhân sai lầm: 9 Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S = là đáp án đúng 4 nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: 2 2 2 “Nếu a 2 thì là đánh giá sai” 8a 8.2 4 Đỗ duy thành 3 THPT Thạch Thành III
4. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. 1 8 8 1 6a a a 1 6.2 9 3 • Lời giải đúng: S = a + 2 3. . 2 a a a a 8 8 8. a 8 4 9 Với a = 2 thì Min S = 4 18 Bài 3: Cho a 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = a2 a Bình luận và lời giải a2 36 18 36 2 6 • Sơ đồ điểm rơi: a 6 18 18 6 a 6 • Lời giải đúng: 2 2 2 18 a 18 1 2 a 18 1 2 S = a = 1 a 2 . 1 a a 2 6 a 2 6 2 6 a 2 6 a a 1 2 6 6 1 2 = 6 1 a 6 1 6 =36 + 3 6 6 2 6 6 2 6 Với a = 6 thì Min S = 36 + 3 6 1 1 Bài 4: Cho 0 a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2 a2 Bình luận và lời giải 1 1 1 • Sai lầm thường gặp: S = 2a + = a + a + 33 a.a. 3 MinS = 3 a2 a2 a2 • Nguyên nhân sai lầm: 1 1 Min S = 3 a a 1 mâu thuẫn với giat thiết 0 a a2 2 • Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S. Đỗ duy thành 4 THPT Thạch Thành III
5. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2.a 1 5 9 4 7 3 5 2 3 1 100 81 64 49 36 25 16 9 4 a2 1 2 1 2 1 2 1 2 S 100 81 64 49 36 25 16 9 5 5 9 4 7 3 5 2 3 Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự 1 đoán khi a thì S nhận giá trị nhỏ nhất. 2 1 a 1 2 1 4 • Sơ đồ điểm rơi 1: a 8 2 1 4 2 a2 1 1 7 8 7 3 7.4 3 Cách 1: 2a + 2 = a a 2 2 3 a.a. 2 2 5 . a 8a 8a a 8a 2 8 1 Với a = thì Min S = 5. 2 a 1 2 1 4 • Sơ đồ điểm rơi 2: a 8 2 1 2 4 a2 1 1 1 3 Cách 2: S = 2a + 2 = 8a 8a 2 14a 3 8a.8a. 2 14a a a a 1 1 = 12 14a 12 14. 5. Với a = thì Min S = 5. 2 2 a,b 0 1 Bài 5: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab + a b 1 ab Bình luận và lời giải Đỗ duy thành 5 THPT Thạch Thành III
6. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán 1 1 • Sai lầm thường gặp: S = ab + 2. ab. 2 Min S = 2. ab ab • Nguyên nhân sai lầm: 1 a b 1 1 Min S = 2 ab 1 1 ab 1 : Vô lý ab 2 2 2 • Phân tích và tìm tòi lời giải: 1 1 Biểu thức của S chứa biến số a, b nhưng nếu đặt t = ab hoặc t = thì S = t + là ab t biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là: 1 1 1 1 1 Đặt t = ab và t = 2 2 4 ab t ab a b 1 2 2 1 • Bài toán trở thành: Cho t 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + t t 4 1 4 • Sơ đồ điểm rơi: t 4 16 1 1 4 t 4 • Lời giải tổng hợp: 1 t 1 15t t 1 15t 2 15t 2 15.4 17 S = t + = 2. . . t 16 t 16 16 t 16 4 16 4 16 4 1 17 Với t = 4 hay a = b = thì Min S = . 2 4 1 • Lời giải thu gọn: Do t = 4 a b nên biến đổi trực tiếp S như sau: 2 1 1 15 1 15 17 S = ab + ab 2. ab. 2 . ab 16ab 16ab 16ab a b 4 16 2 Đỗ duy thành 6 THPT Thạch Thành III
7. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán 1 17 Với a = b = thì Min S = . 2 4 a,b,c 0 1 Bài 6: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểi thức S = abc + a b c 1 abc Bình luận và lời giải 1 1 • Sai lầm thường gặp: S = abc + 2 abc 2 Min S = 2 abc abc • Nguyên nhân sai lầm: 1 a b c 1 1 Min S = 2 abc 1 1 3 abc 1 Vô lí. abc 3 3 3 • Phân tích và tìm tòi lời giải: 1 Biểu thức của S chứa 3 biến sô a, b, c nhưng nếu đặt t = abc hoặc t = thì abc 1 S = t + là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến só ta cần phải tìm miền xác t định cho biến số mới, cụ thể là: 1 1 1 1 1 Đặt t = abc và t = 3 3 27 abc t abc a b c 1 3 3 • Bài toán trở thành: Cho t 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + 1 t t 27 1 27 • Sơ đồ điểm rơi: t 2 7 272 1 1 27 t 27 Đỗ duy thành 7 THPT Thạch Thành III
8. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán 1 Lời giải tổng hợp: S = t + t t 1 272 1 t 1 (272 1).t 2 2 .t 2 2 . 27 t 27 27 t 2 2 2 27 1 t 27 1 .27 272 1 730 27 272 272 272 27 1 730 Với t = 27 hay a = b = c = thì Min S = . 3 27 1 Lời giải thu gọn: Do t = 27 a = b = c = nên biến đổi trực tiếp S như 3 sau: 1 S = abc + = abc 1 272 1 1 272 1 abc 2 2 2 abc. 2 2 27 .abc 27 abc 27 .abc 27 abc 2 2 2 27 1 .27 27 1 .27 272 1 730 27 272 272 27 27 1 730 Với a = b = c = thì Min S = . 3 27 a b ab Bài 7: Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: S = ab a b Bình luận và lời giải a b ab a b ab • Sai lầm thường gặp: S = 2. 2 Min S = 2 ab a b ab a b a b ab • Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 = 1 ab a b ab a b 2 ab 1 2 .Vô lí • Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b nên dự đoán Min S đạt tại a = b >0 Đỗ duy thành 8 THPT Thạch Thành III
9. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán a b 2a 2 ab a 1 2 • Sơ đồ điểm rơi: a b 4 ab a 1 2 a b 2a 2 Lời giải đúng: a b ab a b ab 3. a b a b ab 3. a b S = = 2. . ab a b 4 ab a b 4. ab 4. ab a b 4. ab 3 5 5 1 . Với a = b>0 thì Min S = 2 2 2 a,b,c 0 1 1 1 Bài 8: Cho 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a+b+c+ a b c a b c 2 Bình luận và lời giải • Sai lầm thường gặp: 1 1 1 1 1 1 S = a+b+c+ 6.6 a.b.c. . . 6 Min S = 6. a b c a b c 1 1 1 • Nguyên nhân sai lầm: Min S = 6 a b c =1 a b c 3 a b c 3 trái với giả thiết. 2 • Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán 1 Min S đạt tại a = b = c = 2 1 a b c 1 2 1 2 • Sơ đồ điểm rơi 1: a b c 4 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 Cách 1: S = a+b+c+ = a b c Đỗ duy thành 9 THPT Thạch Thành III
10. Sáng kiến kinh nghiệm  Môn: Toán 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 6 3 = a b c 6 a.b.c. . . 3. . 4a 4b 4c 4 a b c 4a 4b 4c 4 a b c 9 1 9 1 27 1 27 1 15 =3+ . 3 3 . 3 4 3 abc 4 a b c 4 a b c 4 6 2 3 3 1 15 Với a=b=c= thì Min S = 2 2 a b c 1 2 • Sơ đồ điểm rơi 2: a b c 2 4 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 Cách 2: S = a+b+c+ = a b c 1 1 1 1 1 1 3 15 = 4a 4b 4c 3 a b c 6 6 4a.4b.4c. 3 a b c 12 3 a b c a b c 2 2 1 15 Với a=b=c= thì Min S = 2 2 a,b,c 0 1 1 1 Bài 9: Cho 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a2 + b2 + c2 + a b c a b c 2 Bình luận và lời giải • Sai lầm thường gặp: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 S = a2 + b2 + c2 + + 9 9 a2b2c2 . . . . . = 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2a 2b 2c 3 4 9 Min S = 3 4 9 • Nguyên nhân sai lầm: Min S = 3 4 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 a b c 2a 2b 2c 3 4 3 2 Đỗ duy thành 10 THPT Thạch Thành III