Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

1. Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một số bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ba điểm thẳng hàng A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong nhà trường THCS, bộ môn toán có thể nói là một bộ quan trọng nhưng là môn học khó trong các bộ môn mà học sinh được học đặc biệt là phần hình học của bộ môn này. Hiện nay trình độ của học sinh thường không đồng đều ở các bộ môn, học sinh thường yếu về các môn tự nhiên, năng lực tư duy cũng như khả năng lập luận của học sinh còn rất nhiều hạn chế, do vậy làm thế nào để học sinh có hứng thú học tập bộ môn là một câu hỏi đặt ra cho tất cả giáo viên toán có tâm huyết với nghề nghiệp. Như chúng ta đã biết, ở lứa tuổi học sinh THCS phần lớn các em còn ham chơi, chứa chú trọng đến việc học tập, định hướng về mục đích học tập cũng chưa thật rõ ràng. Môn toán lớp 9 là bộ môn có thể nói là rất khó đối với học sinh, đặc biệt là phần hình học vì vậy nếu chúng ta không có giải pháp hữu hiệu sẽ dẫn đến tình trạng học sinh chán học bộ môn hình thành thói quen xấu là trông chờ, ỷ lại ở chính bản thân người học. Loại toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng qui ở phân môn hình học được coi như một loại toán chứng minh rắc rối và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh. Nhưng loại toán khó này lại là loại toán tổng hợp bởi nó vận dụng đến nhiều kiến thức liên quan trong bộ môn hình học bậc THCS. Giúp học sinh có hướng giải quyết loại toán này chúng ta đã giúp học sinh nắm chắc được kiến thức của hầu như cả bậc học THCS. Chính vì vậy mà loại toán chứng minh ba điểm thẳng hàng hay 3 đường thẳng đồng qui được xem như loại toán cơ bản quan trọng trong các loại toán cơ bản ở bậc THCS. B. THỰC TRẠNG CHẤT LƯỢNG BỘ MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH KHỐI LỚP 9 CỦA NHÀ TRƯỜNG: Năm học 2008 – 2009 tôi được BGH trường giao cho giảng dạy bộ môn toán của khối lớp 9, đây là khối lớp cuối cấp học do vậy tôi nhận thức rõ trách nhiệm của bản thân mình trước phụ huynh học sinh và trước các em càng nặng nề hơn bao giờ hết. Là một giáo viên dạy toán tôi không khỏi lo ngại vì chất lượng bộ môn toán của học sinh khối lớp 9 mà tôi giảng dạy lại thấp đến như vậy. Phần lớn học sinh đã bị hổng kiến thức ngay từ lớp dưới, các em thường có thói quen ỷ lại vào giáo viên bộ môn, các học sinh học khá trong lớp. Các bài toán đơn giản trong chương trình SGK học sinh cũng không tự mình làm mà có tư tưởng chờ cho bạn hoặc thầy cô chữa rồi chép vào vở. Khả năng lập luận của học sinh thì rất yếu, phần đa trong các em không biết cách giải toán, không biết khai thác những gì mà bài toán cho để tìm lời giải. Lời giải của học sinh thường lủng củng, thiếu chặt chẽ và không mang tính thuyết phục đối với người đọc. Đối với bộ môn hình học kết quả rất đáng buồn, học sinh không biết phân biệt đâu là giả thiết, đâu là kết luận của bài toán, kỹ năng vẽ hình thì rất yếu. Như vậy thì làm sao có thể nói đến việc chứng minh hình học một lĩnh vực quan trọng trong bộ môn toán bậc THCS. Kết quả kiểm tra đầu năm của bộ môn toán ở khối lớp 9 như sau TSHS Giỏi Khá TB Yếu Kém 81 0 4 30 39 8 NĂM HỌC: 2009- 2010 1
2. Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một số bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ba điểm thẳng hàng Đó là kết quả đáng báo động về chất lượng bộ môn toán nói chung của trường và của khối lớp 9 nói riêng. Điều này càng thôi thúc bản thân tôi phải nhanh chóng tìm ra những giải pháp để từng bước lấp những lỗ hổng kiến thức ở học sinh. Tôi đã thử phát phiếu thăm dò thái độ học tập bộ môn trong khối lớp 9, kết quả thăm dò như sau: TSHS Rất thích Bình thường Không thích 98 3 33 62 Tại sao học sinh lại không có niềm đam mê với bộ môn toán đến như vậy? Đó là câu hỏi mà tôi nhiều đêm trăn trở tìm lời giải đáp. C. GIẢI PHÁP: Từ thực trạng trên tôi đã tìm cách phân loại và sưu tầm các loại toán chứng minh hình học, trong đó loại toán mà tôi tâm đắc đó là loại toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng qui bởi đây là loại toán đòi hỏi người giải phải biết vận dụng đến nhiều loại kiến thức của bậc học, từ đó sẽ củng cố cho họ những kiến thức hết sức cơ bản của bộ môn toán học bậc THCS. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Ví Dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, P là điểm chính giữa của cung AC, I là giao của AN và CM, K là giao của OP và AC. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng. Định hướng: AN và CM là hai đường trung tuyến của ABC, AN và CM cắt nhau ở I, do vậy I chính là trọng tâm của ABC. Nhờ tính chất đồng qui của ba đường trung tuyến ta có thể dự đoán BK là trung tuyến thứ 3 của ABC. Vấn đề đặt ra là ta phải chứng minh được K là trung điểm của AC. B M A N I O K C P Chứng minh: Cung PA = cung PC POˆA POˆC (hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau). AOC cân tại O (vì OA = OC = R) mà có OP là đường phân giác của góc O OP  AC KA = KC (theo định lý đường kính và dây cung). BK là đường trung tuyến của ABC. Mà AN và CM là hai đường trung tuyến cắt nhau ở I, theo tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác đồng qui BK cũng qua điểm I B, I, K thẳng hàng. NĂM HỌC: 2009- 2010 2
3. Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một số bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ba điểm thẳng hàng Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Định lý đường kính và dây cung, định lý về góc ở tâm, định nghĩa đường trung tuyến của tam giác, định lý 3 đường trung tuyến trong tam giác đồng qui). Ví Dụ 2: Cho hai đường thẳng a và b song song. Trên đường thẳng a lấy hai điểm A và B, trên đường thẳng b lấy hai điểm C và D (A và C nằm cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BD) sao cho CD = 2AB. Qua A kẻ đường thẳng c song song với BD và cắt b tại M, cắt BC tại I. Qua I kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a và cắt BD tại N. BM cắt DI tại K. Chứng minh rằng ba điểm C, K, N thẳng hàng. Định hướng: hãy dự đoán vị trí của điểm M trên A B đoạn CD, vị trí điểm I trên đoạn BC, vị trí điểm N trên đoạn BD Các đường BM, CN, DI là các đường gì đặc biệt của BCD? N I K Chứng minh: C M D AB // MD; AM // BD (gt) Tứ giác ABDM là hình bình hành MD = AB mà CD = 2AB (gt) MD = MC (1). MI // BD mà MC = MD (cmt) IB = IC (đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai của BCD thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba) (2). IN // CD mà IB = IC (cmt) NB = ND (đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai của BCD thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba) (3). Từ (1), (2), (3) BM, DI, CN là ba đường trung tuyến của BCD Mà BM x DI tại K theo định lý ba đường trung tuyến đồng qui ta có CN cũng qua điểm K C, N, K thẳng hàng. Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Định nghĩa và tính chất của hình bình hành, định lý về đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang, định lý 3 đường trung tuyến của tam giác đồng qui). Ví dụ 3: Cho ABC, các đường cao AD, BE, CF. Đường tròn đi qua D, E, F cắt BC, CA, AB thứ tự tại M, N, P. Chứng minh các đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC, kẻ từ N vuông góc với AC, kẻ từ P vuông góc với AB đồng qui. Định hướng: Gọi I là giao của MM’ và NN’. Gọi O’ là trung điểm của HI. Em có nhận xét vì về hai điểm O và O’, điểm O’ thuộc trung trực của những đoạn thẳng nào? Điểm H và I như thế nào qua điểm O? tương tự gọi I’ là giao của PP’ và MM’ có nhận xét gì về H và I’ qua O I và I’ có trùng nhau hay không? Ba đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng qui. NĂM HỌC: 2009- 2010 3
4. Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một số bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ba điểm thẳng hàng Chứng minh: Kẻ MM’  BC (M’ đường tròn tâm A O); NN’  AC (N’ đường tròn tâm O); PP’  AB (P’ đường tròn tâm O); MM’ cắt NN’ tại I. Gọi H là trực tâm của ABC O’ là trung điểm của HI, M' N MM’  BC, AD  BC AD // MM’ mà O’ là P I E trung điểm của HI O’ đường thẳng // với DM và O P' cách đều hai đường thẳng MM’ và AD O’ trung F H trực của DM, tương tự O’ trung trực của NE, O’ N' trung trực của PF O’ là tâm của đường tròn đi qua C sáu điểm D, M, E, N, P, F và I đối xứng với H qua O’ M B D O trùng O’. Tương tự MM’ cắt PP’ tại I’ I’ cũng đối xứng với H qua O I và I’ trùng nhau. Vậy PP’ cũng qua I 3 đường thẳng PP’, MM’, NN’ đồng qui tại điểm I. (điểm O là tâm đường tròn Ơle của ABC). Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng:(Đối xứng trục, đối xứng tâm, đường trung trực của đoạn thẳng, quĩ tích cung chứa góc đặc biệt là cung chứa góc 900). Ví dụ 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B (O), C (O’)). a. Tính góc BAC. b. Tính BC. c. Gọi D là giao điểm của AC với đường tròn tâm O (D A). Chứng minh B, O, D thẳng hàng. Định hướng: Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại I, so sánh IB, IB, IC ABC là gì? Góc O’IO là góc gì? Tính IA BC = ? Hãy so sánh các góc AOD và CO’A DO và O’C như thế nào? OB và O’C như thế nào với nhau? điều gì? C Chứng minh: B I a. Kẻ tiếp tuyến chung trong tại điểm A cắt BC tại I. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ta có: O' 0 A IA = IB = IC ABC vuông tại A BAˆC 90 . O b. IO  IO’ (hai tia phân giác của hai góc kề bù) O’IO vuông tại I có đường cao ứng với cạnh huyền là IA IA 2 = OA. O’A = R.r. D mà BC = 2 IA BC = 2 R.r . c. O’AC cân tại O’, OAD cân tại O hai tam giác cân này có hai góc ở đáy tương ứng bằng nhau nên góc ở đỉnh cũng tương ứng bằng nhau OD // O’C. Ta lại có OB // O’C (cùng vuông góc với BC theo định lý tiếp tuyến vuông góc với bán kính) B, O, D thẳng hàng. NĂM HỌC: 2009- 2010 4
5. Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một số bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ba điểm thẳng hàng Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Vị trí tương đối của hai đường tròn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn, định lý về tính chất của tiếp tuyến, cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn, định lý về 2 tia phân giác của hai góc kề bù, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất của tam giác cân, tiên đề Ơclit, ) Ví dụ 5: Cho ABC (AC > AB). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, BC ở D và E. Gọi M, N là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm của MN và AI. Chứng minh rằng: a. Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn. b. Ba điểm D, E, K thẳng hàng Định hướng: IE BC góc IEC = ? I, E, C thuộc đường tròn đường kính IC, vậy ta phải chứng minh điểm K thuộc đường tròn đường kính IC tức là góc IKC = 900. Hãy chứng tỏ rằng tổng của hai góc DEI và IEK bằng 1800. A Chứng minh: 1 2 a. MN // AB (MN là đường trung bình của ABC ˆ ˆ ˆ ) K1 A1 A2 KM = AM = MC Ta có: D M 0 0 I AKˆC 90 Ta lại có góc IEC = 90 K, E, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC. b. Từ câu a suy ra: B E N C Aˆ Cˆ Bˆ CEˆK CIˆK 2 1 900 (hai góc nội K 2 2 tiếp cùng chắn một cung) (1) Mặt khác, BED cân tại B (vì BE = BD theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Bˆ Bˆ BEˆD 900 CEˆD 900 (2). 2 2 Từ (1) và (2) CEˆK CEˆD 1800 D, E, K thẳng hàng. Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Đường trung bình của tam giác, quĩ tích cung chứa góc , góc nội tiếp, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, hai góc kề bù ) Ví dụ 6: Cho ABC (AB AC), đường trung trực của BC cắt BC tại M và cắt tia phân giác của góc A tại I. a. Chứng minh bốn điểm A, I, B, C cùng thuộc một đường tròn. b. Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của I trên AB, AC. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng. Định hướng: Gọi I’ là giao của phân giác của góc A với đường tròn (O), vậy I’M có là trung trực của BC không? Vậy I và I’ trùng nhau bốn điểm A, B, I, C cùng thuộc đường tròn tâm O. Các tứ giác: MBHI, MKCI có là tứ giác nội tiếp hay không? Chứng minh các góc KMC, góc BMH bằng nhau H, M, K thẳng hàng. NĂM HỌC: 2009- 2010 5