Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh trong môn Toán Lớp 9

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh trong môn Toán Lớp 9

1. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “Phân loại và rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh trong môn Toán lớp 9” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán THCS. 3. Tác giả Họ và tên: (Nữ) Ngày tháng 0 năm Trình độ chuyên môn: Đại học SP Toán Chức vụ, đơn vị công tác: GiáoViên Trường THCS . Điện thoại: 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS– – . Địa chỉ: . Điện thoại: 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Tên đơn vị: 6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: GV: Phải đầu tư thời gian nghiên cứu, phương pháp dạy học và phân dạng bài tập để nâng cao hiệu quả dạy học khi thực hiện. HS: Phải tích cực, chủ động, chuẩn bị sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo. Đảm bảo đủ yêu cầu về cơ sở vật chất tối thiểu. 7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu. Năm học 2018 – 2019 HỌ TÊN TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 1
2. - Dạng 2: Toán chuyển động - Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng công việc - Dạng 4: Toán có nội dung hình học. - Dạng 5: Toán năng suất ( tăng, giảm) - Dạng 6: Các dạng toán khác. Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích: Bắt đầu từ một bài toán cơ bản, đơn giản rồi sau đó khai thác bài toán để mở rộng, nâng cao để được những bài toán mới khó hơn, đa dạng hơn. Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập phong phú, được sắp xếp từ dễ đến khó, nhằm mục đích làm tài liệu để học sinh có thể luyện tập và ôn tập thi vào trường THPT - Giúp các em tự mình khám phá ra kiến thức, cách giải bài toán một cách chủ động theo từng dạng bài không bị gò ép bắt buộc - để từ đó các em hiểu hơn, nắm chắc hơn, nhớ lâu hơn, hơn thế nữa nó còn gây hứng thú học tập cho các em. Giúp cho bản thân tôi và các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán có một bộ tài liệu đã được phân dạng để giảng daỵ cho học sinh. 4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến: Chúng ta biết rằng: Khi dạy ôn luyện cho học sinh nếu giáo viên đưa cho học sinh một bài toán bất kì hay một bài toán khó mà để HS giải được thì chắc chắn các em rất bỡ ngỡ - khó tìm ra lời giải. Nếu giáo viên có hướng dẫn hay chữa bài thì mức độ lĩnh hội tiếp thu của các em cũng rất hạn chế. Do đó khi dạy ôn luyện bộ môn Toán học chúng ta nên phân dạng bài và dạy bắt đầu từ một bài toán cơ bản, đơn giản rồi sau đó khai thác bài toán để mở rộng, nâng cao - Điều này sẽ phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, để từ đó các em hiểu hơn, nắm chắc hơn, nhớ lâu hơn, hơn thế nữa nó còn gây hứng thú học tập, phát huy được năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề cho các em học sinh. Trước đây, khi dạy học về dạng toán " Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”, tôi chưa phân dạng bài tập, mà mới chỉ cho các em làm lần lượt 3
3. Môn Toán là môn học khó, khó đối với học sinh trong việc lĩnh hội và vận dụng các kiến thức, khó đối với giáo viên trong việc tổ chức dạy học như thế nào để học sinh học tốt, đặc biệt là dạng toán có lời văn. Kiến thức mà học sinh thu nhận được chủ yếu thông qua các câu từ có trong đề bài, học sinh phải biết cách suy luận để từ đó hình thành nên các phương trình thì lúc đó mới giải được bài tập. Vì thế để giúp học sinh lĩnh hội và vận dụng được các kiến thức thì giáo viên cần phải tổ chức tốt các hoạt động dạy học khi dạy phân tích đề bài trong dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở môn Toán 9. Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình này có nội dung và phạm vi rất rộng, nó bao gồm tất cả các bài toán từ thực tế đến suy luận, logic Từ những bài toán chuyển động trên đường, dưới nước, những bài toán tìm số đến những bài toán thực tế hơn như hai người làm chung, làm riêng một công việc, hay bài toán với việc tăng năng suất lao động hay với bài toán xếp ghế theo hàng theo dãy vv. Để từ đó hình thành cho học sinh kiến thức thực tế mà học sinh có thể áp dụng, vận dụng trực tiếp vào cuộc sống khi các em dời ghế nhà trường. Nhận thức rõ đặc trưng bộ môn và thực tế tình hình học tập của các em trong kì thi vào THPT tôi đã đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm: “Phân loại và rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh môn Toán lớp 9”. Rất mong sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn chỉnh. 2. Cơ sở lý luận của vấn đề Như chúng ta đã biết khoa học ngày càng phát triển, đòi hỏi mỗi giáo viên phải nỗ lực hết mình đem hết khả năng và trau dồi kiến thức, chuyên môn của mình để đáp ứng với yêu cầu nhiệm vụ phát triển của xã hội nói chung và của ngành giáo dục nói riêng. Đối với học sinh cũng vậy nhu cầu học ngày càng một sâu rộng hơn. Do đó đòi hỏi kiến thức chương trình, phương pháp dạy học phải thay đổi để phù hợp.Do đó qua quá trình giải toán kiến thức của người học được củng cố đào sâu, mở rộng, sâu chuỗi các mối quan hệ ở đề bài với nhau để từ đó có được lời giải. Giải toán là hình thức tốt để rèn luyện các kĩ năng, cũng như để 5
4. Bước 1: Nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp ( nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0. Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho. 2x y 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: x y 6 3x 9 x 3 x 3 x y 6 x y 6 y 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (3;-3) 3x 2y 7 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 2x 3y 3 (2) 6x 4y 14 5y 5 6x 9y 9 2x 3y 3 y 1 x 3 2x 3y 3 y 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (3;-1) 2.5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Ta xét ví dụ sau: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ: 1 1 1 x y 1 1 a) Đặt u = , v = (x; y 0) thì ta có hệ phương trình mới 3 4 x y 5 x y 2 1 9 7 v x u v 1 3u 3v 3 7v 2 7 x 7 9 (T/m) . 3u 4v 5 3u 4v 5 u v 1 9 1 2 7 u y 7 y 7 2 7 7 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là (x; y) = ( ; ) 9 2 2.6. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) Ta có: = b2 - 4ac 7
5. tạo sự hứng thú trong học tập cho học sinh, chưa rèn cho học sinh kĩ năng làm bài. Trước khi thực hiện việc này, tôi đã thực hiện việc khảo sát môn Toán của 2 lớp 9 với nội dung kiểm tra như sau: Đề kiểm tra (Thời gian làm bài 20 phút). Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng 2 chữ số nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó? Câu Đáp án Điểm Câu 1 Gọi chữ số hàng chục là x ((0 < x 9, x N) 1đ Chữ số hàng đơn vị là y (0<y 9,y N) Vì tổng 2 chữ số là 9 ta có PT: cã x + y = 9 (1) 1đ Số ban đầu là: xy 10x y 1đ Số viết ngược lại là yx 10y x Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được số 2 chữ 1đ số nhưng theo thứ tự ngược lại, có PT: 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2) 1đ Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: x y 9 x y 9 2x 2 2đ 9x 9y 63 x y 7 x y 9 2đ x 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) y 8 Vậy số phải tìm là 18. 1đ * Thu được kết quả như sau. Giỏi Khá TB Yếu Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 9A 30 5 16.7 6 20 15 50 4 13.3 9B 30 5 16.7 7 23.3 14 46.7 4 13.3 4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện 4.1. Kiến thức cơ bản: Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: 9
6. thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai. 4.2. Một số dạng bài tập thường gặp. * Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau: - Dạng 1: Toán về tìm số. - Dạng 2: Toán chuyển động - Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng công việc - Dạng 4: Toán có nội dung hình học. - Dạng 5: Toán năng suất ( tăng, giảm) - Dạng 6: Các dạng toán khác. * Trong khi thực hiện lời giải bài toán, học sinh cần thiết phải làm các bước thực hiện chi tiết sau: - Bước 1: Đọc kỹ đề bài (cần thuộc đề bài), tiến hành phân tích bài toán. - Bước 2: Đặt ra câu hỏi, nên chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn. ( Thường thì ta nên chọn ẩn theo đề bài, tức là sử dụng câu hỏi để chọn ẩn của bài toán. Đây là cách chọn ẩn trực tiếp, ngoài ra với một số bài toán thì ta cần chọn ẩn gián tiếp mới làm được bài). + Ví dụ về cách chọn ẩn trực tiếp: Bài toán: Hai người đi xe máy khởi hành cùng 1 lúc từ A đến B dài 120 km. Biết rằng mỗi giờ người thứ hai đi chậm hơn người thứ nhất là 6 km nên đến B chậm hơn người thứ nhất là 40 phút. Tính vận tốc của mỗi người? Ta gọi vận tốc của người thứ nhất là x km/h Gọi vận tốc của người thứ 2 là y km/h + Ví dụ về cách chọn ẩn gián tiếp: Bài toán: Một ca nô xuôi dòng 30 km rồi ngược dòng 36 km. Vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng là 3 km/h. Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng. Biết thời gian ca nô lúc ngược dòng lâu hơn thời gian lúc xuôi dòng là 1 giờ. Ta gọi vận tốc của ca nô lúc nước yên lặng ( vận tốc thực) là x (km/h) 11
7. Hướng dẫn giải: - Bài toán cho biết và yêu cầu làm gì? - Chọn ẩn như thế nào? Điều kiện của ẩn ra sao? - Với dữ kiện: ch÷ sè hµng chôc b»ng hai lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ céng thªm 2 ta được phương trình nào? + Dữ kiện: Tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số? Ta cần biết số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số là số nào? Tổng của 2 chữ số được viết như thế nào? Từ đó lập phương trình thứ hai. - Giải hệ hai phương trình trên ta có được kết quả của bài toán. - Lưu ý: chữ số hàng chục viết trước, chữ số hàng đơn vị viết sau. Giải chi tiết: Gäi sè ph¶i t×m lµ ab ( a;b N ; 1≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ) Vì chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm 2 nên ta có PT: a = 2.b + 2 (1) Vì tổng của 2 chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số, ta có PT: a + b = 11 (2) a 2.b 2 Từ (1) và (2) ta có hÖ ph­¬ng tr×nh : a b 11 Gi¶i hÖ nµy ta t×m ®­îc : a = 8 ; b = 3 (t/m). VËy sè ph¶i t×m lµ : 83 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85. Giải: Gọi số bé là x ( x N ). Số lớn là y Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + y2 = 85(1) Vì 2 số tự nhiên liên tiếp nhau ta có PT: y= x+ 1( 2) Ta thay (2) và (1) được: x2 x2 2x 1 85 2x2 2x 84 0 x2 x 42 0 b2 4ac 12 4.1.( 42) 169 0 169 13 Phương trình có hai nghiệm là: 1 13 1 13 x 6(tho¶ m·n ®iÒu kiÖn); x 7(lo¹i) 1 2 2 2 13
8. - Dữ kiện bài toán vận tốc của xe du lịch hơn vận tốc của xe tải là 20 km/h, ta có được một phương trình. - Vì ôtô du lịch xuất phát 17 phút, ôtô tải mới đi và sau 28 phút thì hai xe gặp nhau. Nên thời gian của hai xe đã đi đến vị trí gặp nhau là bao nhiêu? - Như vậy trong bảng còn quãng đường s là chưa biết? Hãy biểu diễn đại lượng chưa biết này thông qua ẩn. - Cả quãng đường AB là 88 km. Vậy Phương trình lập được như thế nào? Giải: Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h); Vận tốc xe tải là y (km/h) (Điều kiện: x >y > 0). - Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 km/h nên ta có phương trình: x - y = 20 (1) 3 - Quãng đường xe du lịch đi được trong 45 phút là: .x (km) 4 7 - Quãng đường xe tải đi được trong 28 phút là: .y (km) 15 Theo bài ra quãng đường AB dài 88km nên ta có phương trình: 3 7 .x .y = 88 (2) 4 15 Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình: x - y = 20 x - y = 20 x = 80 3 7 . . . (thoả mãn) .x .y = 88 45x 28y = 5280 y = 60 4 15 Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 60 (km/h) Ví dụ 2: Hai người đi xe máy khởi hành cùng 1 lúc từ A đến B dài 120 km. Biết rằng mỗi giờ người thứ hai đi chậm hơn người thứ nhất là 6 km nên đến B chậm hơn người thứ nhất là 40 phút. Tính vận tốc của mỗi người? Hướng dẫn giải Gọi vận tốc của người thứ nhất là x (km/h), đk: x > 0. Gọi vận tốc của người thứ hai là y(km/h), đk: y > 0. Vì mỗi giờ người thứ hai đi chậm hơn người thứ nhất là 6 km, nên ta có PT: x – y = - 6 ( 1) 15
9. 1 1 1 a = = 27 x + y 27 x + y = 27 x = 24 ( thoả mãn ) 1 1 1 x - y = 21 y = 3 b = = 21 x - y 21 Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h), vận tốc của dòng nước là: 3 (km/h) *) Trong dạng toán này: Vấn đề đặt ra là các em nhận dạng rất tốt nhưng cách giải dạng này thì còn khó khăn đối với HS học khá, trung bình. Vì vậy tôi đã yêu cầu các em tích cực luyện tập các bài toán dạng này để thành thạo hơn trong các bước giải, lập nên các phương trình theo dữ kiện của đề bài. Trên đây tôi đã đưa ra 2 ví dụ về chuyển động cùng chiều và chuyển động ngược chiều nhau để cho thấy rõ sự khác nhau giữa 2 loại chuyển động này. Từ đó nhấn mạnh nội dung của bài toán rất quan trọng đến việc lập ra các phương trình. - Vì vậy trong khi giải tôi đã lưu ý các em, bài toán cho chúng ta biết gì, thì các em cần quy đổi hết về yếu tố của đề bài từ đó lập lên các PT theo dữ kiện của bài toán: nắm chắc mối quan hệ giữa các đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian và công thức S=v.t. - Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A thì thời gian cả đi và về bằng thời gian thực tế chuyển động. - Nếu hai thành phần tham gia chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai thành phần chuyển động gặp nhau thì có thể lập phương trình: S 1 + S 2 = S ( tức là quãng đường xe 1 đi và xe 2 đi được cộng lại bằng cả quãng đường chuyển động của 2 xe). - Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau. - Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn so với dự định thì cách lập phương trình như sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm bằng thời gian thực đi trên đường. Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dự định thì cách lập phương trình làm ngược lại phần trên. 4.2.3. Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng công việc Những kiến thức cần nhớ: 17
10. Gọi thời gian để một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày). Trong một ngày người thứ nhất làm được 1 công việc x Trong một ngày người thứ hai làm được 1 công việc y Trong 1 ngày cả hai người làm được 1 công việc. Ta có PT: 1 + 1 = 1 (1) 2 x y 2 Người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi người thứ hai làm trong 1 ngày thì xong 4 1 công việc ta có PT: 1 (2) x y 1 1 1 1 1 1 x y 2 x y 2 x 6 Từ (1) và (2) ta có hệ pt (tho¶ m·n ®k) 4 1 3 1 y 3 1 x y x 2 Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày. Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày. Chú ý: Ngoài ra dạng toán này để lập được hệ PT nhanh hơn, dễ hiểu và chính xác hơn ta còn có thể lập bảng để tìm ra các PT: Bài 1: Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được 2 bể. Hỏi 5 mỗi vòi chảy bao lâu thì sẽ đầy bể? Vßi 1 Vßi 2 Cả 2 Vßi Thêi gian HTCV x y 6 Năng suất 1h 1 1 1 x y 6 Năng suất 2h 2 x Năng suất 3h 3 2 y 5 1 1 1 x y 6 x 10 * Ta có hệ Phương trình: 2 3 2 y 15 x y 5 19