Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp

1. sở giáo dục và đào tạo hà nội Trường ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2010
2. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều mở đầu Giải bất phương trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh được cho là khá giỏi; trong đó có bất phương trình chứa căn thức bậc hai được coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: “ Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp ” để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất phương trình chứa căn thức bậc hai nói riêng và bất phương trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến môn toán. Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong chương trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban Khoa học xã hội và nhân văn. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng để chuyển sang phần phương trình cũng được; xong khi chuyển sang phương trình có những phần sẽ được mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó người nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng được. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau. H 1
3. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đưa ra sau đây mà không nêu nội dung: 1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó. 2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. 3. ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp ” Dạng 1 f(x) 0 f(x) g(x) f(x) > g(x) f(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x) Bài toán. Giải các bất phương trình sau: 1) x2 3x 2 2x 2 5x 2 (1) 2) 2x 2 10x 8 x 2 5x 36 (2) 3) x3 8 2x 2 5x 14 (3) Giải: x 2 2 x 2 x 8 (1) x 3x 2 0 x 1 1) x 1 0 x 1 x2 3x 2 2x2 5x 2 x 0 2 x 2 x 8x 0 x 8 H 2
4. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là S ( ; 8  0 ; 1  2 ; ) . 2 x 9 (2) x 5x 36 0 2) x 4 2x2 10x 8 x2 5x 36 2 x 15x 44 0 x 9 x 4 x 11 x 4 x 9 x 11 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là S ; 11  9 ; . (3) x3 8 0 x3 8 3) 3 2 3 2 x 8 2x 5x 14 x 2x 5x 6 0 x 2 x 2 2 2 (x 1)(x x 6) 0 x x 6 0 x 2 2 x 3 2 x 3 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là S = 2 ; 3 . Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau: 1) x2 3x 4 2x2 x 5 2) 2x2 9x 13 x2 3x 2 3) 2x2 9x 4 x2 3x 4 4) 2x2 12x 16 x2 3x 28 5) x3 2x2 1 x2 x 2 6) x3 x2 x2 x 2 . H 3
5. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Dạng 2 f (x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 2 f (x) g (x) f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 2 f(x) g (x) Bài toán. Giải các bất phương trình sau: 1) x 2 8x 7 + 3x 1 (1) 2) 2 9 8x x 2 + 1 < 9x (2) 1 3) 1 < 2 (3) x Giải: x2 8x 7 0 (1) 2 1) x 8x 7 1 3x 1 3x 0 2 2 x 8x 7 1 3x 1 1 x x 3 1 3 x x 2 8x 7 9x 2 6x 1 3 3 x x 7 8x 2 2x 6 0 4 x 1 x 1 x 1 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là S = ; 1. 9 8x x2 0 (2) 2 2) 2 9 8x x < 9x 1 9x 1 0 2 2 4(9 8x x ) (9x 1) H 4
6. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 1 x 9 1 1 x 9 x 9 9 2 2 2 85x 50x 35 0 4x 32x 36 81x 18x 1 1 x 9 9 x 1 1 x 9 7 x 17 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là S = (1 ; 9]. x 0 x 0 (3) 1 x 1 3) 1 0 0 x x 1 3x 1 1 4 0 x x x 0 x 1 1 x x 0 3 1 x 1 x 3 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là 1 S = ;  1 ; . 3 Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau: 1) x 2 2x 8 + 2 x 2) 2x 2 5x 2 + x 2 3) 3x 2 8x 3 + 1 2x 4) 3 (x 6)(x 2) 7 + 3 < 5x 5) 3 (x 6)(x 2) 7 + 2x < 6 6) 2x 4 5x 2 3 + 1 < x2. H 5
7. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Dạng 3 g(x) 0 f(x) 0 f(x) > g(x) g(x) 0 2 f(x) g (x) g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 2 f(x) g (x) Bài toán. Giải các bất phương trình sau: 1) 3x 2 10x 3 x 1 (1) 2) (x 1)(3 x) 3 4 3x (2) 3) 2x 2 8x 1 x 2 1 (3) Giải: x 1 0 x 1 2 1 (1) 3x 10x 3 0 x 3 1) 3 x 1 0 x 1 2 2 3x 10x 3 x 1 2 2 3x 10x 3 x 2x 1 x 1 x 1 2 2 4x 8x 4 0 4(x 1) 0 x 1 x 1 x 1 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là S = 1 . 3x 4 0 2 (2) 4x x 0 2) 4x x2 3x 4 3x 4 0 2 2 4x x (3x 4) H 6
8. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 4 x 4 3 0 x 3 0 x 4 4 4 x x 3 3 2 10x 28x 16 0 2 2 4x x 9x 24x 16 4 0 x 3 4 0 x 4 3 x 3 4 x 2 4 3 x 2 5 0 x 2 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là S = 0 ; 2 . (3) 3) 2x2 8x 1 (x2 1)2 2x2 8x 1 x4 2x2 1 x4 8x 0 x(x3 8) 0 x(x 2)(x2 2x 4) 0 x(x 2) 0 2 x 0 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là S = 2 ; 0 . Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau: 1) (x 3)(5 x) 15 4 2x 2) x 2 5x 4 2 3x 3) x 2 4x 5 x 11 4) x4 x2 1 x 1 5) x 4 x 2 1 1 2x 6) 2x 4 5x 2 2 2x 2 1. H 7
9. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Dạng 4 f (x) g(x) p(x) q(x) hoặc: f (x) g(x) p(x) q(x) (Trong đó: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)). Phương pháp: f (x) 0 g(x) 0 Điều kiện: p(x) 0 q(x) 0 Bình phương hai vế của bất phương trình, sau đó đưa về dạng 1. Bài toán. Giải các bất phương trình sau: 1) x 2 5 2x 2x 7 3x (1) 2) x 3 2x 5 3 3x 5 2x (2) 3) 3 2x 4 3x 2x 2 x 3 (3) Giải: 7 1) Điều kiện: 0 x 3 (1) 2 2 x 2 5 2x 2x 7 3x x 2 5 2x 2 x 2. 5 2x 2x 7 3x 2 2x. 7 3x 2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x) 2x 2 x 10 6x 2 14x 2x 2 x 10 6x 2 14x 4x 2 13x 10 0 5 x 2; thoả mãn điều kiện. 4 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là 5 S = ; 2 . 4 5 2) Điều kiện: x 1 2 H 8
10. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều (2) x 3 5 2x 3 3x 2x 5 2 2 x 3 5 2x 3 3x 2x 5 x 3 5 2x 2 3 x. 5 2x 3 3x 2x 5 2 3 3x. 2x 5 2 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5) 2x 2 x 15 6x 2 9x 15 2x2 x 15 6x2 9x 15 4x2 8x 0 x 0 x 2 Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (2) là 5 S = ; 2 0 ;1. 2 4 3) Điều kiện: –1 x 3 (3) 3 2x x 3 4 3x 2x 2 2 2 3 2x x 3 4 3x 2x 2 3 2x x 3 2 3 2x. x 3 4 3x 2x 2 2 4 3x. 2x 2 2 (3 2x)(x 3) 2 (4 3x)(2x 2) 2x2 3x 9 6x2 2x 8 2x2 3x 9 6x2 2x 8 4x2 5x 1 0 1 x 1; thoả mãn điều kiện 4 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là 1 S = ;1 . 4 Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau: 1) x 1 3x 1 2x 1 2x 1 H 9
11. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 2) x 1 3x 1 2x 1 2x 1 3) 2x 1 2x 2 x 1 3x 2 4) x 1 3x 2 2x 1 2x 2 5) 5x 1 5x 7 2x 3 2x 5 6) 2x 3 x 2 4x 3 3x 4. Dạng 5 Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nhưng g(x) ở đây là tam thức bậc hai, khi bình phương hai vế sẽ dẫn đến bất phương trình bậc bốn rất khó giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, dưới đây là một số bài toán minh hoạ. Bài toán 1. Giải các bất phương trình sau: 1) (x 1)(x 2) x2 x 8 (1) 2) 6x 2 18x 12 10 3x x 2 (2) 3) 2 x2 2x 10 5 x(x 2) (3) Giải: 1) Đặt: t = (x 1)(x 2) ; t 0 t2 x2 x 2 x2 x t2 2 (1) 2 2 t 2 t t 2 8 0 t t 6 0 t 3 (loại) 2 2 x 3 Vậy: (x 1)(x 2) 2 x x 2 4 x x 6 0 x 2 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là S = ; 2  3 ; . H 10
12. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 2) Đặt: t = 6x2 18x 12 ; t 0 12 t2 t2 6x2 18x 12 3x x2 6 (2) 12 t2 t 10 6t 60 12 t2 t2 6t 72 0 12 t 6 6 Vậy: 6x2 18x 12 6 x2 3x 2 6 2 x 2 x 2 x 3x 2 0 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 4 x 3x 2 6 2 x 3x 4 0 1 x 4 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là S = 1 ;1  2 ; 4 . 3) Đặt: t = x2 2x 10 ; t 3 t2 x2 2x 10 x(x 2) t2 10 (3) 2t 5 t2 10 t2 2t 15 0 3 t 5 Vậy: x2 2x 10 5 x2 2x 10 25 x2 2x 15 0 5 x 3 Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là S = ( 5 ; 3). Bài toán 2. Cho bất phương trình: x 2 2x (x 3)(1 x) 5 m (*) a) Giải bất phương trình (*) với m = 2. b) Tìm m để bất phương trình (*) có nghiệm. c) Tìm m để bất phương trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2. Giải: (x 3)(1 x) 5 x2 2x 8 (x 4)(2 x) 9 (x 1)2 Đặt : t (x 3)(1 x) 5; 0 t 3 t2 x2 2x 8 x2 2x 8 t2 H 11
13. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều (*) 8 t2 t m t2 t 8 m ( ) ( ) a) m = 2, t2 t 8 2 t2 t 6 0 2 t 3 Vậy: x2 2x 8 3 9 (x 1)2 3; nghiệm đúng x [–4 ; 2]. Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (*) là S = [–4 ; 2]. b) Bất phương trình (*) có nghiệm bất phương trình ( ) có nghiệm t thoả mãn: 0 t 3 Gọi f(t) = t2 t 8; 0 t 3 Bảng biến thiên: 1 t 0 3 + 2 33 f(t) 4 8 2 33 2 f(t) ; t 0 ; 3 4 33 33 Do đó ( ) có nghiệm t 0 ; 3 m m 4 4 33 Kết luận: m , bất phương trình (*) có nghiệm. 4 c) Bất phương trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2 bất phương trình ( ) nghiệm đúng t [0 ; 3]. Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2. Kết luận: m 2, bất phương trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2 . Bài toán 3. Cho bất phương trình: 2 (x 1)(x 7) 25 6x x2 m (1) a) Giải bất phương trình (1) với m = 3. b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm. H 12