Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại một số dạng toán liên quan tới phương trình bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại một số dạng toán liên quan tới phương trình bậc hai

1. Sáng kiến phân loại một số dạng toán liên quan tới phương trình bậc hai phần I : Đặt vấn đề A - Lý do chọn đề tài Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường đối với tất cả các khối lớp là nhiệm vụ cơ bản của mỗi giáo viên, đặc biệt là vấn đề chất lượng đối với học sinh lớp 9. Là một giáo viên tham gia giảng dạy bộ môn toán 9, trong những năm qua tôi luôn trăn trở là làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn. Tôi cho rằng người thầy phải nâng cao chất lượng từng giờ lên lớp, chú trọng đổi mới phương pháp dạy học, tích cực kiểm tra và theo dõi sát sao việc học tập của học sinh. Từ đó người thầy uốn nắn giải đáp vướng mắc cho các em và điều chỉnh phương pháp dạy học sao cho phù hợp nhất. Đồng thời người thày phải thường xuyên ôn tập hệ thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phương pháp và kỹ năng giải toán cho học sinh. Trong các môn học ở trường phổ thông cùng với môn Văn – Tiếng Việt, môn toán có vị trí rất quan trọng. Toán học, với tư cách là môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới thực, toán học có hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động. Nó cũng là công cụ cần thiết cho các môn khoa học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh, đồng thời giúp chúng ta hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn đời sống. Toán học có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông minh, tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người. Toán còn góp phần giáo dục ý chí và đức tính tốt như : Cần cù, nhẫn nại, ý thức vượt khó khăn . Phương trình bậc hai và ứng dung của nó là một mảng rất quan trọng trong chương trình toán THCS. Phương trình bậc hai có ứng dụng rất rộng trong khi giải toán đối với học sinh lớp 9. Không những thế phương trình bậc hai còn được ứng dụng nhiều cho học sinh tiếp tục học lên lớp trên. Chính vì thế tôi chọn vấn đề “Phân loại dạng toán có liên quan tới phương trình bậc hai ”nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 9. B - Phạm vi ứng dụng Đề tài được áp dụng trong chương trình toán lớp 9, ôn thi vào 10, ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi. Các bài tập phương trình bậc hai rất đa dạng phong phú, nó đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản và có kỹ năng tổng hợp nhất định. Cho nên ngay từ đầu giáo viên ôn tập ngay cho học sinh các bài tập tổng hợp thì nhiều em khó có khả năng tiếp thu bài học, dẫn đến kết quả bài học thấp. 1
2. Vấn đề đặt ra là người thầy phải giảng dạy các bài tập có liên quan đến phương trình bậc hai như thế nào để từng đối tượng học sinh có khả năng tiếp thu được, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh khá giỏi và có kiến thức về phương trình bậc hai đủ để thi vào THPT. Sau đây tôi xin đưa ra một số nội dung mà tôi đã thực hiện, áp dụng và đạt hiệu quả nhất định trong giảng dạy. Phần II : biện pháp thực hiện A - Kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai Để học sinh làm được các bài tập về phương trình bậc hai, trước tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sau . I - Định nghĩa 1 - Phương trình bậc hai một ẩn số Là phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) x : ẩn ; a, b, c, là các số đã cho a. Dạng khuyết 2 1. ax = 0 (b = c = 0) x 1 = x2 = 0 c 2. ax2 + c = 0 (b = 0) x2 = a c + Nếu > 0 ( a , c trái dấu ) , phương trình có 2 nghiệm đối nhau a c c x1 = - ; x2 = - - a a c + Nếu 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt b b x1 = ; x2 = = 2a 2a Chú ý Nếu a và c trái dấu phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 2 - Đặc biệt khi b = 2b ‘ 2
3. ’ 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt b' ' b' ' x1 = ; x2 = a a 3 - Chú ý quan trọng Nếu phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì : 2 ax + bx + c = a (x-x1) ( x-x2 ) Nếu phương trình ax2 + bx + c =0 không có nghiệm thực thì tam thức 2 ƒ (x) = ax + bx + c luôn luôn đồng dấu với hệ số a hay 2 0 ( hoặc ’ > 0 ) 3
4. 3.4 Phương trình có nghiệm 0 ( hoặc ’ 0 ) c 3.5 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu P = 0 3.7 Phương trình có 2 nghiệm đối nhau S = 0 P 0 S > 0 3.9 Phương trình có 2 nghiệm âm 0 P > 0 S 0 3.11 Phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 = g(x2) (áp dụng Viét để giải) B - các dạng bài tập cơ bản I - Phương trình bậc hai chứa tham số Yêu cầu - Học sinh thuộc công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hệ thức Viét - Giải thành thạo các phương trình bậc hai dạng này Ví dụ 1 : Giải các phương trình a. x2 – 7x + 10 = 0 b. x2 – 3x + 2 = 0 a. x2 – 5x – 6 = 0 Hướng dẫn kết quả a. = 9 x 1 =5 ; x2 = 2 b. a + b + c = 0 x1 =1 ; x2 = 2 c c. a - b + c = 0 x1 = – 1 ; x2 = – = 6 a Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau a. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0 b. x2 – x(1 + 2 ) + 2 = 0 c. x2 – x - 6 = 0 Hướng dẫn kết quả a. ’ = ( 3 )2 – (- 3) .3 = 12 ' 12 2 3 3 x1 = 3 ; x2 = - 3 b. a + b + c = 0 x1 =1 ; x2 = 2 4
5. c. x2 – x - 6 = 0 (1) 2 Nếu x 0 (1) x – x - 6 = 0 x1 =3 ; x2 = -2 (loại) 2 Nếu x 0 (1) x + x - 6 = 0 x3 =2 (loại) ; x4 = -3 2 Kết luận phương trình x – x - 6 = 0 có 2 nghiệm x1 =3 ; x4 = -3 Ví dụ 3 : Giải các phương trình bậc hai sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a. x2 – 11x – 30 = 0 b. 5x2 – 17x + 12 = 0 c. x2 – (1 + 2 ).x + 2 = 0 Hướng dẫn kết quả a. P = 30 S = 11 x1 =5 ; x2 = 6 b. 5x2 – 17x + 12 = 0 12 Ta có 5 + (-7) + 12 = 0 x1 =1; x2 = 5 c. x2 – (1 + 2 ).x + 2 = 0 Ta có 1 + – (1 + 2 ). + 2 = 0 x1 =1 ; x2 = 2 Ví dụ 4 : Giải các phương trình sau ( bằng cách quy về bậc hai ) a. 2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1) b. 2x4 + 8x2 +15 = 0 (2) c. x4 – 13x2 +36 = 0 (3) Hướng dẫn - Đặt x 2 = X ( X 0 ) - Đưa về phương trình bậc hai ẩn X - Giải phương trình bậc hai tìm X - Từ đó suy ra x a. 2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1) Đặt x 2 = X ( X 0 ) (1) 2X2 – 7X - 4 = 0 1 X1 = 4 ; X2 = - (loại) 2 Với x 2 = 4 x = 2 Vậy Phương trình (1) có 2 nghiệm x1 =2 ; x2 = -2 b. Phương trình có dạng X2 + 8X +15 = 0 (2’) ’ Phương trình (2 ) có 2 nghiệm âm X1 = -5 ; X2 = - 3 Do đó phương trình (2) vô nghiệm 2 c. Phương trình X – 13X +36 = 0 có 2 nghiệm dương X1 = 4 ; X2 = 9 Do đó phương trình (3) có 4 nghiệm : x1 =2; x2 = -2 ; x3 =3; x4 = -3 5
6. Ví dụ 5 : Cho phương trình 5x2 + 3 x - 5 = 0 (1) Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau 1 1 a. x2 x2 2 2 b. x1 +x2 1 1 c. 2 2 x2 x2 3 3 d. x1 +x2 Hướng dẫn : Phương trình (1) chắc chắn có 2 nghiệm (a . c <0 ) Theo Vi ét ta có x1 + x2 = - 3 x1 . x2 = - 5 1 1 x x 15 a. . = 1 2 = x2 x2 x1.x2 5 2 2 2 b. x1 +x2 = (x1 + x2 ) - 2x1.x2 = 3+2 5 2 2 1 1 x1 x2 3 2. 5 c. 2 2 = 2 2 = x2 x2 x1 .x2 5 3 3 2 2 d. x1 +x2 = (x1 + x2 ).( x1 +x2 - x1 . x2 ) = -3.( 3 + 5 ) II - Biện luận các phương trình bậc hai chứa tham số Ví dụ 1 : Cho phương trình (1-m)x2 – 2mx + m - 2 = 0 (1) a. Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai b. Giải (1) khi m = 0,5 Hướng dẫn : a. 1- m 0 m 1 b. Giải (1) khi m = 0,5 Với m = 0,5 thì (1) x2 – 2x – 3 = 0 x1 =-1 ; x2 = 3 Ví dụ 2 : Giải và biện luạn phương trình sau (ẩn x) x2 – 2(m+1)x +2m+10 = 0 (2) Hướng dẫn : Xét ’ = m2- 9 + Nếu m2- 9 < 0 m2< 9 -3 < m < 3 Thì phương trình (2) vô nghiệm + m2- 9 = 0 m2 = 9 m = 3 Thì phương trình (2) có nghiệm kép x1 = x2 = m +1 6
7. + m2- 9 > 0 m2>9 m 3 Thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt 2 x1 = m +1 + m 9 2 x2 = m +1 - m 9 III - Dạng toán có liên quan tới nghiệm 1 - Điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai Ví dụ : Cho phương trình bậc hai (ẩn x) (m+1) x2 – 2(m-1)x +m-3 = 0 (1) a. Tìm m để phương (1) trình có 2 nghiệm phân biệt c. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm : Cùng dấu, trái dấu , hai nghiệm dương, hai nghiệm âm , hai nghiệm đối nhau . Hướng dẫn : a. Để (1) là phương trình bậc hai thì m+1 0 m 1 ‘ = 4 >0 . Vậy với m 1 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt b. + Để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu thì c m 3 0 0 m > 3 ; m 0 P > 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 0 m 1 m > 3 m 0 ) cx2 +bx +a = 0 (2) (c > 0 ) Giả sử x1 ; x2 ;x3 ; x4 lần lượt là các nghiệm của phương trình (1) và (2) Chứng minh rằng x1. x2 +x3 . x4 0 Hướng dẫn c áp dụng định lý Vi-et x1.x2 = 0 a a x3.x4 = 0 c 7
8. a c a c x1. x2 +x3 . x4 = 2 . 2 c a c a Ví dụ 2 : Tìm p R sao cho phương trình x2 +px +12 = 0 có 2 nghiệm thực mà hiệu của chúng bằng1 . Hãy tìm các nghiệm đó Hướng dẫn: Xét phương trình x2 +px +12 = 0 = p2 – 48 Điều kiện có 2 nghiệm thực phan biệt là : > 0 = p2 – 48 >0 p2 > 0 p 4. 3 Theo định lý Vi ét và giả thiết ta có x1 + x2 = -p x1. x2 = 12 x1 - x2 = 1 1 p 1 p Từ (1) và (3) x1 = ; x2 = 2 2 1 p 1 p Thay vào (2) ta có . = 12 2 2 p = 7 ( thoả mãn ) Với p = 7 x1 = -4 ; x2 = -3 p = -7 x1 = -3 ; x2 = -4 Ví dụ 3 : Với a R nào thì phương trình x2 – (3a+2).x +a2 = 0 có 2 nghiệm thực mà tỉ số của chúng bằng 9. Hướng dẫn x2 – (3a+2).x +a2 = 0 Có = (3a+2)2 – 4a2 = 5a2 + 12a + 4 Tam thức 5a2 + 12a + 4 có ’ = 16 2 Nên có 2 nghiệm là a1= - ; a2 = -2 5 Vậy = 5a2 + 12a + 4 = (a + 2). (a + 2) Điều kiện có 2 nghiệm thực là : > 0 hay (a + 2). (a + 2) > 0 2 a > - hoặc a < -2 () 5 Theo Vi ét và giả thiết ta có x1 + x2 = 3a + 2 (1) 2 x1. x2 = a (2) x2 = 9x1 (3) 3a 2 9(3a 2) Từ (1) và (3) x1 = ; x2 = 10 10 8