Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 - Từ Thị Thu Ngọc

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 - Từ Thị Thu Ngọc

1. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === Phần I - Đặt vấn đề Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay. Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân. Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
2. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ. I - Cơ sở lý luận. Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình THCS: Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c. Giải: Cách dựng: B a b c a c A b C x - Dựng tia Ax. - Dựng đường tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax. - dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a. - Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC. Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước. Cách dựng: - Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được OAB. - Dựng O’A’B’ = OAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được Oˆ ' Oˆ . x A A’ O O’ B y B’ === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
3. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === - Dựng đường trung trực của AB. O A B D Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện. I - Cơ sở thực tế Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
4. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3). Ta có: DH  BC, DH // AK AK  BC. Xét ABK và ACK có: • BK = KC ( theo cách lấy điểm K) • AKB = AKC = 900 • AK là cạnh chung ABK = ACK (c – g – c) AB = AC ABC cân tại A. 4) Nhận xét: Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ. Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác). !) Phân tích bài toán: Bài cho: tam giác ABC có Bˆ Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC. 2) Hướng suy nghĩ: A Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I BC) 3) Chứng minh: 1 2 GT ABC; Bˆ Cˆ KL AB = AC 11 2 ===B C Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến AnII
5. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === 1 KL AM BC 2 Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA. Xét MAC và MDB ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) •M 1 = M2 ( vì đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) MAC = MDB ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) ˆ ˆ và A 1 D (2 góc tương ứng). AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Lại có: AC  AB ( gt) AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay Aˆ Cˆ 90 0 (2) Xét ABC và CDA có: • AB = CD ( Theo (1)) • Aˆ Cˆ 90 0 ( Theo (2)) • AC là cạnh chung ABC = CDA ( c – g – c) 1 1 BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM AD AM BC 2 2 4) Nhận xét: 1 Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh AM BC ta đã vẽ thêm 2 1 đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AM AD . Như vậy chỉ còn phải 2 chứng minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác. Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2) === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
6. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === 4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A1 và A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và A2 ở trong cùng một tam giác ADC. Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng. Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1) A B C D ( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng s ong song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau) 1) Phân tích bài toán: Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD. 2) Hướng suy nghĩ: để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D. 3) Chứng minh: A B GT AB // CD; AC // BD KL AB = CD; AC = BD C D Xét ABD và DCA có: • BAD = CDA ( so le trong AB // CD) • AD là cạnh chung === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
7. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === ABC vuông ; KL ABM đều Vẽ MI  AC ( I AC) Xét MAI và MAH có: • Hˆ ˆI 90 0 ( gt) • AM là cạnh chung) MAI = MAH ( cạnh huyền – góc nhọn) ˆ ˆ • A 2 A 3 (gt) MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1) Xét ABH và AMH có: ˆ ˆ 0 • H 1 H 2 90 ( gt) • AH là cạnh chung ABHI = AMH ( g – c - g) ˆ ˆ • A 1 A 2 ( gt) BH = MH ( 2 cạnh tương ứng) (2) 1 1 1 Mặt khác: H BM , Từ (1) và (2) BH MH BM CM MI CM 2 2 2 1 Xét vuông MIC có: MI CM nên Cˆ 300 từ đó suy ra: HAC = 600 . 2 3 3 BAC HAC 60 0 90 0 . 2 2 Vậy ABC vuông tại A. Vì Cˆ 300 Bˆ 600 ; 1 Lại có AM = MB BC ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong 2 tam giác vuông) ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều. 4) Nhận xét: Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI  AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học. === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
8. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === Mà BF // CE ( theo cách vẽ) BFD = AED Do đó: BDF = BFD BDF cân tại B BF = BD (2) Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE 4) Nhận xét: Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS. 5 cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán. Cách 6: Phương pháp “ tam giác đều” Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Ta hãy xét một bài toán điển hình: Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D 1 sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA = Aˆ . 2 1) Phân tích bài toán: Bài cho ABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D AB) A 1 Yêu cầu chứng minh: DCA = Aˆ . 2 2) Hướng suy nghĩ: đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, D suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều Vẽ tam giác đều BMC M === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An B C
9. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7 === Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học. Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân. 1) Phân tích bài toán: Bài cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Yêu cầu chứng minh OBC cân tại O. 2) Hướng suy nghĩ: Ta thấy Cˆ = 150 suy ra Aˆ = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán. O 3) Chứng minh: ABC; Aˆ = 900; Cˆ = 150 GT O tia BA: BO = 2AC KL OBC cân tại O. H Ta có: ABC; Aˆ = 900; Cˆ = 150 (gt) MM Bˆ = 750 A Vẽ tam giác đều BCM B ( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC) C Ta có: OBM = 150 Gọi H là trung điểm của OB thì HMB = ABC ( c – g – c) Hˆ Aˆ = 900 MOB cân tại M BMO = 1500 CMO = 3600 – ( 1500 + 600 ) = 1500 MOB = MOC ( c – g – c) OB = OC, vậy OBC cân tại O. 4) Nhận xét: === Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An