Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học Lớp 7 - Nguyễn Thị Thu Hằng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học Lớp 7 - Nguyễn Thị Thu Hằng

1. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 ĐẶT VẤN ĐỀ Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo , độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm. Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay. Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân. Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cức cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với HS bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm, việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Để trả lời được câu hỏi này, trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học. Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường THCS tôi nhận thấy nhiều học sinh còn lúng túng khi làm bài tập chứng minh hình học , nhất là những bài tập cần phải vẽ thêm đường phụ. Khi gặp bài tập dạng này, hầu hết học sinh hoặc là không nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ, hoặc là vẽ đường phụ một cách mò mẫm, thậm chí còn có học sinh vẽ thêm đường phụ sai cơ bản. Về phía giáo viên khi hướng dẫn bài tập dạng này thường chỉ nêu ra cách vẽ đường phụ, sau đó gợi ý các em chứng minh, chứ giáo viên chưa phân tích cặn kẽ để học sinh hiểu được tại sao lại phải kẻ thêm đường phụ như vậy? Vẽ thêm đường phụ có lợi ích gì cho việc chứng minh hình? Do đó học sinh phần lớn không khỏi lúng túng, thậm chí bế tắc khi gặp những bài tập mới lạ. Vấn đề định hướng cho học sinh khi vẽ đường phụ trong chứng minh hình học giúp các em dần hình thành phương pháp suy luận, phát triển tư duy logic, óc tìm tòi sáng tạo thông qua việc giải các bài tập hình học là điều tôi thấy cần phải làm. Vì vậy tôi chọn đề tài : “ Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học ở lớp 7” NỘI DUNG ĐỀ TÀI A. Cơ sở lí luận của đề tài Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán sẽ trở nên thuận lợi, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp. Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ mà là một sự sáng tạo trong khi giải toán. Nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại vẽ như vậy. Những câu hỏi đại loại như: tại sao lại nghĩ ra cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn cách vẽ nào khác không? Hay tại sao chỉ vẽ như vậy GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 1
2. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 1. Kiểm tra kết quả, xem lại cách lập luận. 2. Nghiên cứu, tìm tòi, tìm các cách giải khác của bài toán, thay đổi dữ liệu bài toán để có được bài toán mới, bài toán đã cho có liên quan đến bài toán đã giải trước đây không?. Trong đề tài này ngoài việc hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm đường phụ, tôi còn minh họa bằng cách khai thác, phát triển kết quả các bài toán quen thuộc. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong giải toán hình học. II. Nội dung cụ thể 1. Phương pháp 1: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước. a) Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng MN // BC và MN = BC : 2 • Phân tích bài toán: Cho ABC, MA = MB, NA = NC. Chứng minh MN // BC và MN = BC : 2. • Hướng suy nghĩ: Để chứng minh BC = 2MN, ta tạo ra một đoạn thẳng bằng 2MN, rồi chứng đoạn thẳng đó bằng BC.Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao choND = MN. • Chứng minh GT ABC, MA = MB, NA = NC A KL MN // BC và MN = BC : 2 N Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN. M D Xét NMA và NDC có NM = ND; ANM = DNC ( đối đỉnh); AN = NC (gt) B C Do đó NMA = NDC (c.g.c) AM = DC và MAN = NCD Mà MAN; NCDlà hai góc so le trong AB // CD BMC = MCD Xét BMC và DCM có MB = DC (= AM); BMC = MCD; MC là cạnh chung Do đó BMC = DCM (c.g.c) BCM = CMD BC = DM Mà BCM; CMD là hai góc so le trong MN // BC BC = DM, MN = DM : 2 MN = BC : 2. • Nhận xét: Từ kết quả bài toán này ta chứng minh được: * Nếu tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh AC thì MN song song với BC và MN = BC : 2 * Nếu tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh AB, N trên cạnh AC và MN song song với BC thì N là trung điểm của cạnh AC b) Bài toán 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. ( Bài 25 tr 67 – sgk toán 7 tập 2) GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 3
3. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải bài toán này. * Lời giải: A ABC; AB < AC 1 2 GT MB = MC 1 So sánh BAM và MAC ? B M 2 C KL Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA. Xét MAB và MDC có: D • MA = MD ( theo cách vẽ điểm D) • M1 = M2 ( đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) MAB = MDC ( c . g . c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) và A1 = D (2 góc tương ứng) (2). Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) CD < AC. (3) Xét ACD có: CD < AC ( theo (3)) A2 < D Mà A1 = D (theo (2) A2 < A1 hay BAM < MAC * Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạng đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A2; A1 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 = D ta chỉ cần phải so sánh D và A2trong cùng một tam giác ADC. 2 Phương pháp 2 : Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc. a) Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh = * Phân tích bài toán: Tam giác ABC, AB = AC. Chứng minh = * Hướng suy nghĩ: Ta thấy rằng phải tạo ra hai tam giác bằng nhau mà có hai góc tương ứng là ; Chọn điểm phụ là trung điểm M của đoạn thẳng BC.Chứng minh được ABM = ACM, từ đó cho ta lời giải bài toán. * Lời giải GT ABC, AB = AC KL = A Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, nối A và M. Xét MAB và MAC có: AB = AC (gt); BM = MC; AM là cạnh chung C Do đó AMB = AMC ( c.c.c) B M = hay = GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 5
4. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 c) Bài toán 3: Cho tam giác ABC có = , BD và CE là hai đường phân giác của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh ID = IE * Phân tích bài toán: Tam giác ABC có = 600, BD và CE là hai đường phân giác của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh ID = IE * Hướng suy nghĩ: Ta dễ thấy = 1200, đường phân giác IM của tam giác IBC, giúp chứng minh được ID = IE vì dễ chứng minh được ID = IM và IE = IM. * chứng minh: A ABC; = 600 GT BD và CE là hai đường phân giác I giao điểm BD và CE 60° KL ID = IE E D I vẽ IM là đường phân giác của tam giác BIC C 1 B M ta có = 2 ( BI là phân giác của tam giác ABC) 1 = 2 ( CI là phân giác của tam giác ABC) 0 0 1 Nên = 180 ― + = 180 ― 2( + ) 0 1 0 0 =180 ― 2 ( 180 ― ) = 120 Do đó : = = = = 600 Xét tam giác BEI và tam giác BMI ta có = ( BD là phân giác của tam giác ABC) BI cạnh chung ; = = 600 Do đó ∆ = ∆ (g.c.g) suy ra IE = IM Chứng minh tương tự ta có ID = IM suy ra ID = IE * Nhận xét: Ta còn có BE = BM, CD = MC. Do đó ta có bài toán phụ : Cho tam giác ABC có = 600, BD và CE là hai đường phân giác của tam giác ABC. Chứng minh BE + CD = BC. Đường phân giác IM của tam giác IBC ( I là giao điểm của BD và CE) là hình phụ cần vẽ thêm 3. Phương pháp 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng Mục đích: Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hiện hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều. 3.1: Kẻ thêm đoạn thẳng bằng cách nối hai điểm đã có trong hình vẽ a) . Bài toán 1: Cho hình vẽ, biết AB = DC, AD = BC. Chứng minh: AB // DC, AD // BC. GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 7
5. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 Ta có: AB // CD = ( so le trong) AC // BD = ( so le trong) Xét ABD và DCA có: = ; AD là cạnh chung; = ABD = DCA ( g . c . g) AB = CD; AC = BD ( các cặp cạnh tương ứng) *Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD. Muốn chứng minh AB = CD, AC = BD ta chỉ cần chứng minh ABD = DCA. Do hai tam giác này có cạnh chung là AD nên chỉ cần chứng minh hai gó kề cạnh đó bằng nhau. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song. 3.2 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác Chúng ta thường dùng một trong các cách như sau : - Lấy trung điểm của một đoạn thẳng ; - Dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã có trên hình vẽ. Bài toán 1: . Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax. Đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Chứng minh rằng CD = AC + BD. • Phân tích :Để chứng minh CD = AC + BD (H. 2a) ta cần tìm ra một đoạn thẳng trung gian để so sánh. - Một là, trên CD lấy một điểm I sao cho CI = CA. Như vậy ta cần phải chứng minh DI = DB. Nhưng để chứng minh được điều này lại không hề đơn giản. - Hai là : Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Ta thấy cách 2 chứng minh dễ dàng hơn. Giải: Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Xét ∆OAC và ∆OBE có : y x = ( 푡) D C AC = BE ( cách dựng) 0 A B = ( = 90 ) O Suy ra : ∆OAC = ∆OBE ( cgc) E Suy ra = ( 2 góc tương ứng) và OC = OE Mà + = 1800 suy ra + = 1800 Suy ra : C, O, E thẳng hàng Nên : + = 1800 mà = 900 suy ra = 900 Xét ∆OCD và ∆OED có : OC = OE ( cmt) OD cạnh chung = = 900 GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 9
6. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 Áp dụng định lí Pitago cho ∆AHC, ta có : AC2 = HA2 + HC2 = 162 + 42 = 272 Suy ra AC = 272 ≈ 16,49 (cm) Vậy AC ≈ 16,49 (cm). b) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông *Bài toán 1: Trên hình vẽ cho biết AD  DC, DC  BC, AB = 13cm, AC = 15cm, DC = 12cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC. Phân tích bài toán A D Bài toán cho AD  DC, DC  BC, AB = 13cm, AC = 15cm, DC = 12cm. Yêu cầu tính BC. 13 Hướng suy nghĩ Tam giác ABC có AB = 13cm, 15 12 AC = 15cm. Do đó nếu biết được độ dài đoạn thẳng AH ( AH  BC, H BC) sẽ tính được độ dài đoạn thẳng BC. Điều này B H C có được vì AH = DC. Yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm H. Lời giải Vẽ AH  BC, H BC. Khi đó AH  BC và DC  BC (gt) AH // DC = ( so le trong). Tương tự ta cũng có = Xét AHC và CDA có = ; A D AC là cạnh chung; 13 = 15 12 Do đó AHC = CDA (g.c.g) AH = DC = 12cm AHB vuông tại H. Nên theo định lí Pitago ta có: B C BH2 AB2 AH2 132 122 25 BH 5 (cm) HAC vuông tại H. Nên theo định lí Pitago ta có: HC2 AC2 AH2 152 122 81 CH 9 (cm) Do đó: BC = BH + CH = 5 + 9 = 14 cm. *Nhận xét: Việc kẻ thêm AH  BC, H BC sẽ giúp cho ta có được hai tam giác vuông là AHB vuông tại H, HAC vuông tại H khi đó ta chỉ cần áp dụng định lí Pitago là có thể tính được BH và CH, từ đó tính được BC. * Bài toán 2: Cho tam giác ABC . Tia phân giác của góc ABC cắt tia phân giác của góc ACB ở I. Vẽ ID ⊥ 풕ạ풊 푫, IE ⊥ 푪 풕ạ풊 푬. Chứng minh rằng BD + CE = BC • Phân tích : Để chứng minh tổng hai đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng thứ ba có các cách giải sau: Cách 1: Chia đoạn thẳng thứ 3 thành 2 phần một cách hợp lý, rồi chứng minh một phần bằng đoạn thẳng thứ nhất, và phần còn lại bằng đoạn thẳng thứ hai. GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 11
7. Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 ⊥ AC, AE = AC. Kẻ đường thẳng d đi qua A, vuông góc với DE tại H và cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC • Phân tích : Ta nhận thấy hình vẽ có các góc bằng nhau: = ( cùng phụ ) = ( cùng phụ ) Và AD = AB; AE = AC Điều ta nghĩ đến ở đây là làm sao tạo ra các tam giác vuông bằng với các tam giác vuông AHD và AHE? Kết hợp với kết quả ở trên, ta thấy từ B và C kẻ đường vuông góc đến đường thẳng AI là hợp lí nhất. • Lời Giải : Gọi F và G lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C tới d. Ta có: △ 푣 ô푛 푡ạ푖 nên + = 900 ( 1) 0 0 0 0 E 퐹 + = 180 ― = 180 ―90 = 90 ( 2) H D Từ (1) và (2) suy ra 퐹 = Xét △ vuông tại H và △ 퐹 vuông tại F ta có A = 퐹 ( cmt) F B C = ( 푡) I Do đó △ = △ 퐹 ( c.h – g.n) G Suy ra HA = FB ( 3) Chứng minh tương tự, ta có △ HAE = △ GCA (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra HA = CG (4) Từ (3) và (4) suy ra FB = CG Xét △ 퐹 và △ ta có 퐹 = = 900 퐹 = ( 푡) 퐹 = ( 퐹 = 900 ― 퐹; = 900 ― , 퐹 = ) Do đó △ 퐹 = △ ( gcg) Suy ra IB = IC nên I là trung điểm BC 4.2 Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Mục đích : Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hiện hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau và đặc biệt là hai tam giác bằng nhau Ta thường dùng cách này khi đã có các đường thẳng song song trong hình vẽ *Bài toán 1: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng BD = CE. • Phân tích bài toán ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng BD = CE. • Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta cần tạo ra một đoạn thẳng thứ ba rồi chứng minh chúng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba. GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 13