Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1. lí do chọn đề tài Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí . Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và được sử dụng nhiều trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức . Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường khong có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác . Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . 1
2. Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều và khả năng nghiên cứu chưa tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn góp ý thêm . phần i : Các kiến thức cần lưu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b , 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : a, Tính chất 1: a > b b b và b > c => a > c c, Tính chất 3: a > b a + c > b + c Hệ quả : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c a - c > b - d e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c ac b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, Tính chất 7 : a > b > 0 => an > bn a > b an > bn với n lẻ . h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : a b Với 2 số dương a , b ta có : ab 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) 2
3. a b Dấu đẳng thức xảy ra x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a b a b Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 phần ii : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 . - Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Bài 1 : Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 0 với mọi x (y - 1)2 0 với mọi y (z - 1)2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1. Bài 2 : Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Giải : Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) 3
4. a a a a = ( b )2 + ( c )2 + ( d )2 + ( e )2 2 2 2 2 a Do ( b )2 0 với mọi a, b 2 a Do( c )2 0 với mọi a, c 2 a Do ( d )2 0 với mọi a, d 2 a Do ( e )2 0 với mọi a, e 2 => H 0 với mọi a, b, c, d, e a Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = 2 Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 a 2 b 2 a b 2 2 Giải : 2 a 2 b 2 a b Xét hiệu : H = 2 2 2(a 2 b 2 ) (a 2 2ab b 2 ) = 4 1 1 = (2a 2 2b 2 a 2 b 2 2ab) (a b) 2 0 . Với mọi a, b . 4 4 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . 2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương . - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng . - Một số bất đẳng thức thường dùng : ➢ (A B)2 = A2 2AB + B2 ➢ (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC ➢ (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3 ➢ Ví dụ : Bài 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 4
5. 1 1 4 a 1 b 1 3 Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)  9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)  9 4ab + 8  1 4ab  (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Giải: Từ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = (a b) c2 4(a b)c => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc Tương tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 a 3 b3 a b ; trong đó a > 0 ; b > 0 2 2 Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 3 a 3 b3 a b 2 2 2 a b a b a b  .(a 2 ab b 2 ) . 2 2 2 2 a b  a2 - ab + b2 2  4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2  3a2 - 6ab + 3b2 3(a2 - 2ab + b2) 0 3 a 3 b3 a b Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 2 2 Bài 4: 1 Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 2 Giải : 1 1 Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0 2 2 5
6. 1 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 2 1 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1 2 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) 4a2 - 4a + 1 0 ( 2a - 1 )2 0 1 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 3 a 3 b3 a b Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 Trong đó : a > 0 , b > 0 . Giải : Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0 3 a 3 b3 a b Ta có : 2 2 2 a b a b a b . a 2 ab b 2 2 2 2 2 a b a 2 ab b 2 2 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2 ) 0 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng 3 a 3 b3 a b => 2 2 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b a b b a Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : a b a b b a 6
7.  ( a a b b) ab( a b) 0  ( a)3 ( b)3  ab( a b) 0  ( a b)(a ab b) ab( a b) 0  ( a b)(a 2 ab b) 0  ( a b)( a b) 0 a b Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : a b b a 3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy a b Với a, b > 0 , 2 b a Các ví dụ : Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng: a b c 2 b c c a a b Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a 2a a + (b + c) 2 a(b c)  b c a b c Tương tự ta thu được : b 2b c 2c , c a a b c a b a b c Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ). a b c Từ đó suy ra : 2 b c c a a b Bài 2: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = x 1 y 2 y 1 x 2 Chứng minh rằng : 3x + 4y 5 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 7
8. (x2 + y2)2 = ( x 1 y 2 y 1 x 2 )2 ( x 1 ; y 1) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5 2 2 3 x y 1 x Đẳng thức xảy ra  x 0, y 0  5 4 x y y 5 3 4 3 5 Điều kiện : x 2 2 Bài 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a, a b b c c a 6 b, a 1 b 1 c 1 3,5 Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có : 2 2 2 a b.1 b c.1 c a.1 1 1 1 a b b c c a 2 => a b b c c a 3.(2a 2b ac) 6 => a b b c c a 6 . 1 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 3 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a 1) 1 a a 1 1 2 2 b c Tương tự : b 1 1 ; c 1 1 2 2 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : a b c a 1 b 1 c 1 3 3,5 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : a 1 b 1 c 1 3,5 Bài 4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . 1 1 1 Chứng minh rằng : 9 a b c Giải : 8
9. a b Ta có : 0 , a , b > 0 b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : ( ) .1 = ( ) .(a + b + c) a b c a b c a b c a a b b c c =1 1 1 b c a c a b a b b c c a = 3 ( ) ( ) ( ) 3 + 2 + 2 + 2 = 9 b a c b a c 1 1 1 => 9 a b c 1 Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 3 Bài 5 1 1 4 a, Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : x y x y b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 2 ( ) p a p b p c a b c Giải a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x y 2 xy 1 1 2 x y xy 1 1 => (x + y)( ) 4 x y 1 1 4 => x y x y b c a b, Ta có : p - a = 0 2 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 1 1 4 4 áp dụng kết quả câu a , ta được ; p a p b ( p a) ( p b) c 1 1 4 Tương tự : p b p c a 1 1 4 p a p c b 1 1 1 1 1 1 => 2( ) 4( ) p a p c p c a b c => đIều phải chứng minh . 9