Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức

1. A. Phần mở đầu 1 - Lý do chọn đề tài : Toán học không những là một môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thể xã hội đó là con ngời . Chính vì vậy môn toán không thể thiếu đợc: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo” . Là một giáo viên dạy toán 7 nhiều năm cả chơng trình cha đổi mới và chơng trình đã đổi mới thay sách . Tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 (Kể cả học sinh có năng lực) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyếtđịnh nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức,tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập về tỷ lệ thức học sinh còn lúng túng rất nhiều. Từ việc tìm ra hớng giải đến việc thực hiện các bớc giải, kể cả những bài tơng đối bình thờng đến những bài toán khó . Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau khá quan trọng trong việc tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác, trong các tam giác đồng dạng (ở lớp 8,9) vv Chính vì vậy sau khi học song kiến thức về tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh toàn lớp 7B (lớp tôi trực tiếp giảng dạy) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau và thấy kết quả nh sau: Số HS biết hớng Số HS không thể Số HS đợc Số HS giải đợc nhng không giải Lớp giải đợc khảo sát đợc SL % SL % SL % 7B 38 2 5.0 8 21.0 28 74.0 Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở, băn khoan. Chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đè tài này nhằm tìm ramột số phơng pháp giải để giúp hócinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành gải bài tập về tỷ lệ thức . 2 - Giới hạn đề tài: Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau trong chơng trình toán học ở lớp 7 THCS.
2. Vì điều kiện về thời gian cũng nh trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau: 2.1: Lý thuyết: + Định nghĩa về tỷ lệ thức. + Tính chất của tỷ lệ thức. + Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. + Các kiến thức liên quan. 2.2: Các dạng toán: a, Liệt kê các tỷ lệ thức từ các phân tử (Nếu có thể) . b, Cho một tỷ lệ thức, hãy suy ra các tỷ lệ thức khác . c, Tìm các số cha biết khi cho biết tỷ lệ thức hoặc các đẳng thức . d, Các bài toán thực tế trong đời sống con ngời liên quan đến tỷ lệ thức . 3 - Phơng pháp nghiên cứu: - Đọc các tài liệu tham khảo . - Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp . 4 - Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 8 năm 2008 đến hết tháng 03 năm 2009 . B . Nội dung. 1. Lý thuyết: 1.1: Định nghĩa về tỷ lệ thức: Tỷ lệ thức là một đẳng thức của hai tỷ số a c = hoặc a : b = c : d . b d Trong đó các số: a,b,c,d đợc gọi là các số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ; b và c gọi là trung tỷ . 1.2: Tính chất của tỷ lệ thức. + Tính chất 1: Trong một tỷ lệ thức, tích 2 trung tỷ thì bằng 2 ngoại tỷ. a c Nếu = Th ì a.d = b.c b d + Tính chất 2: Nếu tích của 2 thừa số khác 0 bằng 1 tích của 2 thừa số khác 0 thì ta có thể lập được 4 tỷ lệ thức: Nếu có: a. d = b. c ( a, c, d ≠ 0 ) thì có:
3. a c b d a b c d = ; = ; = và = b d a c c d a b 1.3: Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. a c a c a - c a, b d b d b d b - d a c m a + c - m a - c + m b, = = = = (Các mẫu số khác 0) b d n b + d - n B - d + n 1.4: Các kiến thức có liên quan. a, Tính chất cơ bản của phân số: Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta đợc một phân số mới a a.m bằng phân số đã cho . b 0 ; m 0 b b.m Nếu ta chia cả tử số và mẫu số cho cùng một số khác 0 thì đợc một phân số mới a a : n bằng phân số đã cho: b 0 ; n 0 b b : n b, Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180o . Aˆ+ Bˆ+ Cˆ=180o c, Quãng đờng đi đợc của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết quãng đường đó: S = v.t 2 - Các dạng toán, cách giải và bài tập áp dụng. 2.1, Dạng 1: Cho tập hợp các phần tử. Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử đã cho: a c a, Cách giải: Sử dụng tính chất của tỷ lệ thức: Nếu = th ì a.d = b.c b d b, Ví dụ: Cho tập hợp số A = {4,8,16,32,64}. Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A . Giải a c Một tỷ lệ thức = có các số hạng khác nhau nếu: b d a b ; a c ; d ab ; b c ; b d ; c d và ad bc . Xét các nhóm 4 phần tử của A, xếp theo thứ tự: Hớng dẫn học sinh xét tích 2 số này bằng tích 2 số kia ta có: + Với nhóm: {4,8,16,32} thì 4 . 32 = 8 . 16 và ta có 4 tỷ lệ thức sau:
4. 4 16 8 32 4 8 16 32 = ; = ; = ; = . 8 32 4 16 16 32 4 8 + Với nhóm: {4 ;8;32 ; 64} thì ta có : 4 . 64 = 8 . 32 và có các tỷ lệ thức sau: 4 32 8 64 4 16 32 64 = ; = ; = ; = 8 64 4 32 32 64 4 8 + Với nhóm: {8;16 ;32 ; 64} thì 8 . 64 = 16 . 32 và ta có 4 tỷ lệ thức sau: 8 32 16 64 8 16 32 64 = ; = ; = ; = . 16 64 8 32 32 64 8 16 Nh vậy ta có 12 tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau thuộc tập hợp A . Giáo viên có thể hớng dẫn thêm: Nếu trong bài này ta không đòi hỏi các số hạng khác nhau thì ngoài 12 tỷ lệ thức trên ta còn các tỷ lệ thức khác nữa: Ví dụ: 4 8 8 16 4 16 16 64 8 16 16 32 16 32 32 64 = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = 8 16 4 8 16 64 4 16 16 32 8 16 32 64 16 32 c, Bài tập vận dụng: * Bài 1: Cho tập hợp A = {2;8;32;128;512}. Hãy liệt kê mọi tỷ lệ thức có các số hạng là các phần tử của tập hợp A . Với bài tập này số lợng học sinh hiểu và nắm bắt đợc cách giải từ việc vận dụng ví dụ mà giáo viên đa ra có tăng từ 10 em -> 15 em trong thời gian 15 phút đã làm xong và đúng kết quả (có sự trợ giúp của máy tính bỏ túi). Số học sinh còn lại cũng lập đợc một số tỷ lệ thức . Giải Từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức: 2 8 8 8 +) 2 x 32 = 8 x 8 từ hệ thức này có các tỷ lệ thức: = và = 8 32 2 32 8 32 32 128 +) 8 x 128 = 32 x 32 . Suy ra các tỷ lệ thức sau: = và = 32 128 8 32 32 128 128 512 +) 32 x 512 = 128 x 128 ta có các tỷ lệ thức sau: = và = 128 512 32 128 2 32 32 512 +) 2 x 512 = 32 x 32 ta có các tỷ lệ thức sau: = và = 32 512 2 32 +) 2 x 128 = 8 x 32 và ta có các tỷ lệ thức sau:
5. 8 128 2 32 32 128 2 8 = ; = ; = và = 2 32 8 128 2 8 32 128 +) 8 x 512 = 32 x 128 ta có các tỷ lệ thức sau: 8 128 512 128 32 512 32 8 = ; = ; = và = 32 512 32 8 8 128 512 128 +) 2 x 512 = 8 x 128 ta có các tỷ lệ thức sau: 2 128 8 512 2 8 128 512 = ; = ; = và = 8 512 2 128 128 512 2 8 Nh vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập đợc 20 tỷ lệ thức khác nhau . * Bài 2: Tìm x biết: x - 60 - 2 - x a, = b, = - 15 x x 8 Với bài tập này học sinh muốn tìm giá trị của x phải sử dụng tính chất 1 của tỷ lệ thức . x - 60 x . x (-15).(-60) x2 900 x 30 -15 x 16 4 Tơng tự b, Học sinh tìm đợc x 2 x 25 5 d, Bài tập tự giải: * Có thể lập đợc tỷ lệ thức các số sau đây không ? Nếu lập đợc hãy viết tỷ lệ thức đó: 2,2 ; 4,6 ; 3,3 và 6,7 * Lập tất cả các tỷ lệ thức có thể đợc từ các đẳng thức sau: a, 7.(-28) = (- 49).4 b, 0,36 x 4,25 = 0,9 x 1,7 2.2, Dạng II: Cho tỷ lệ thức. Hãy suy ra tỷ lệ thức khác . a c a, Ví dụ: Cho tỷ lệ thức: = ; b d Hãy chứng minh ta có tỷ lệ thức sau: a c = ( giả sử a ≠ b ; c ≠ d ; a, b, c, d ≠ 0 ) a - b c - d b, Các cách giải: a c * Cách 1: Để chứng minh = ta xét từng tích . a - b c - d a.(c-d) và c.(a-b)
6. Ta có: a(c-d) = ac-ad (1) c(a-b) = ac-ab (2) a c Ta lại có: ad bc 3 b d Từ (1), (2), (3) => a(c-d) = c(a-b) a c Do đó: = a - b c - d * Cách 2: Dùng phơng pháp đặt a c = = K Th ì a = bK ; c = dK b d a c Ta tính giá trị của các tỷ số: = theo K ta có : a - b c - d a bK bK K (1) a - b bK - b b(K -1) K -1 c dK dK K (2) c - d dK - d d(K -1) K -1 a c Tu (1) va (2) a - b c - d * Cách 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức: a c a b = ta được = b d c d áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta được : a b a - b = = c d c - d a a - b a c Hoán vị các trung tỷ của = ta được = c c - d a - b c - d * Cách 4: Từ a c b d b d a - b c - d a c 1- 1- b d a c a c a c a - b c - d a c Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh tỷ lệ thức tỷ lệ thức = thờng b d ta dùng 2 phơng pháp chính. Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng ad = bc a c Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số và có cùng một giá trị. b d
7. Nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức khác thì ta đặt giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính gía trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức nh hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4) c, Bài tập vận dụng: a c + Bài 1: Cho tỷ lệ thức sau: = b d Hãy chứng minh rằng các tye lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa) . 2a + 3b 2c + 3d a, = 2a - 3b 2c - 3d ad a 2 - b 2 b, = cd c2 - d2 a + b 2 a 2 + b 2 c, = c + d c2 + d2 Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đa ra. Học sinh có thể giải theo một cách. Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hớng dẫn học sinh cùng thực hiên . Giải a c Đặt = = K th ì a = bK và c = dK b d 2a + 3 2bK + 3b b(2K + 3) 2K + 3 a, = = = (1) 2a - 3b 2bK - 3b b(2K - 3) 2K - 3 2c + 3d 2dK + 3d d(2K + 3) 2K + 3 = = = (2) 2c - 3d 2dK - 3d d(2K - 3) 2K - 3 2a + 3b 2c + 3d Từ (1) và (2) => = 2a - 3b 2c - 3d Câu : b,c đ ể học sinh tự giả i . d, Bài tập tự giải: * Bài 1: Cho a,b,c,d ≠ 0 Từ tỷ lệ thức
8. a c a b c d hãy suy ra tỷ lệ thức b d a c a a c b b d ab a 2 b2 sd c2 d 2 * Bài 2: Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức : a 2 + b 2 ab a c = => = c2 + d2 cd b d * Bài 3: Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức a + b c + a = => hệ thức a 2 = bc a - b c - a 2.3, Dạng III: Tìm các số cha biết khi biết các tỷ lệ thức a, Cách giải: * áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. a c a + c a - c = = = = b d b + d b - d * Vận dụng tính chất cơ bản của phân số. a c am ck a : n = = = = b d bm dk b : n * Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k. Tìm mối liên hệ của ẩn số qua k. b, Ví dụ: + Ví dụ 1: x y -: Tìm 2 số x;y . biết: = và x + y = 21 5 2 -: Biết: 7x = 3y và x – y = 16 Giải x y -: Từ = áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có : 5 2 x y x + y 21 = = = = 3 Do đó : x = 5 .3 =15 ; y = 2 .3 = 6 5 2 5 + 2 7 7 3 3 - 7 - 4 - 1 - : Từ 7x = 3y => = = = = y x x - y 16 4 3. 4 7 . 4 => x = = - 12 ; y = = -28 - 1 - 1