Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng - Đại số Lớp 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng - Đại số Lớp 7

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I-Lý do chọn đề tài II-Phạm vi nghiên cứu 1-Phạm vi của đề tài 2-Đối tượng nghiên cứu 3-Mục đích PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI A-Nội dung I-Cơ sở lý luận khoa học của đề tài 1- Định nghĩa, tích chất của tỉ lệ thức 2- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 3- Chú ý II-Đối tượng phục vụ của đề tài III-Nội dung và phương pháp nghiên cứu Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau Dạng 3: Toán chia tỉ lệ Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau B-ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY: I- Quá trình áp dụng của bản thân II-Hiệu quả khi áp dụng đề tài: III- Những bài học kinh nghiệm rút ra, hướng nghiên cứu tiếp theo. IV-Những kiến nghị, đề xuất PHẦN III: KẾT LUẬN 1
2. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình đại số lớp 7. Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn hình học, để học được định lí Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. Mặt khác khi học tỉ lệ thức và của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới. Với những lí do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bàng nhau trong Đại số lớp 7. II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1. Phạm vi của đề tài: Chương II, môn đại số lớp 7 2. Đối tượng: Học sinh lớp 7 THCS. 3. Mục đích: a) Kiến thức. - Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau như : Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỉ số bằng nhau, toán chia tỉ lệ, tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau. b) Kĩ năng: Học sinh có kĩ năng tìm số hạng chưa biết, chứng minh tỉ lệ thức, giải toán chia tỉ lệ. c) Thái độ : Học sinh có khả năng tư duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán. 2
3. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI A.Nội dung I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài 1. Định nghĩa, tích chất của tỉ lệ thức a) Định nghĩa: a c Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b d Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ. b) Tính chất Tính chất 1( tính chất cơ bản) a c Nếu thì ad = bc b d tính chất 2( tính chất hoán vị) Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức a c a b d c d b ; ; ; b d c d b a c a 2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: a c a c a c a c + từ tỉ lệ thức ta suy ra b d b d b d b d b d a c e +mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau b d f a c e a c e a c e ta suy ra b d f b d f b d f ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 3.Chú ý: a b c + Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết 2 3 5 a:b:c = 2:3:5. a c + Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy b d ra 2 2 a c a c a c k1a k2c . ;k. k. k 0 ; (k1,k2 0) b d b d b d k1b k2d 3 3 3 2 a c e a c e a c e a c e từ suy ra   ;  b d f b d f b d f b d f II.Đối tượng phục vụ của đề tài Học sinh lớp 7A. 7B trường THCS Nguyễn Viết Xuân năm học 2011-2012 III.Nội dung và phương pháp nghiên cứu Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau: Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết 1.Tìm một số hạng chưa biết a) Phương pháp: áp dụng cơ bản tỉ lệ thức a c b.c a.d a.d Nếu a.d b.c a ;b ;c b d d c b 3
4. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết. b) Bài tập: Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 x. 9,36 0.52.16,38 0,52.16,38 x 0,91 9,36 Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau : 1 2 3 2 a) x : 1 : 3 3 4 5 1 2 b) 0,2 :1 : 6x 7 5 3 có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x. Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a) x 60 15 x Giải : từ x 60 15 x x.x 15 . 60 x2 900 x2 302 Suy ra x = 30 hoặc x = -30 Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức x 1 60 x 1 9 ; 15 x 1 7 x 1 Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức x 3 5 5 x 7 Giải: Cách 1: từ x 3 5 x 3 .7 5 x .5 5 x 7 7x 21 25 5x 12x 46 5 x 3 6 x 3 5 x 3 5 x Cách 2: từ 5 x 7 5 7 áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 4
5. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 x 3 5 x x 3 5 x 2 1 5 7 5 7 12 6 x 3 1 6 x 3 5 5 6 5 5 x 3 x 3 6 6 Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức x 2 x 4 x 1 x 7 x 2 x 7 x 4 x 1 x2 7x 2x 14 x2 x 4x 4 5x 14 3x 4 5x 3x 4 14 2x 10 x 5 Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x 2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết: a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau: Tìm các số x, y, z thoả mãn x y z (1) và x +y + z =d (2) a b c ( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trước) Cách giải: x y z k - Cách 1: đặt a b c thay vào (2) x k.a; y k.b; z k.c Ta có k.a + k.b + k.c = d d k a b c d k a b c a.d bd cd Từ đó tìm được x ; y ; z a b c a b c a b c - Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x y z x y z d a b c a b c a b c a.d b.d c.d x ; y ; z a b c a b c a b c b).Hướng khai thác từ bài trên như sau. +Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau: k x k y k z e * 1 2 3 2 2 2 * k1x k2 y k3 z f *x.y.z = g +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau: x y y z - ; a1 a2 a3 a4 - a2 x a1 y;a4 y a3 z 5
6. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 - b1x b2 y b3 z b x b z b y b x b z b y - 1 3 2 1 3 2 a b c x b y b z b - 1 2 2 3 3 a1 a2 a3 +Thay đổi cả hai điều kiện c)Bài tập x y z Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết và x +y + z = 27 2 3 4 Giải: Cách 1. x y z Đặt k x 2k, y 3k, z 4k 2 3 4 Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k 3k 4k 27 9k 27 k 3 Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12. - Cách 2. áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có. x y z x y z 27 3 2 3 4 2 3 4 9 x 2.3 6; y 3.3 9; z 4.3 12 Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau: x y z Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết và 2x + 3y – 5z = -21 2 3 4 Giải: x y z - Cách 1: Đặt =k 2 3 4 x y z 2x 3y 5z - Cách 2: Từ suy ra 2 3 4 4 9 20 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2x 3y 5z 2x 3y 5z 21 3 4 9 20 4 9 20 7 x 6; y 9; z 12 x y z Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết và 2x2 3y2 5z2 405 2 3 4 Giải: x y z - Cách 1: Đặt =k 2 3 4 x y z - Cách 2: từ 2 3 4 suy ra x2 y2 z2 4 9 16 2x2 3y2 5z2 8 27 90 áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2x2 3y2 5z2 2x2 3y2 5z2 405 9 8 27 90 8 27 90 45 6
7. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 Suy ra x2 9 x2 36 x 6 4 y2 9 y2 81 y 9 9 z2 9 z2 144 z 12 16 Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12. x y z Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết và x.y.z = 648 2 3 4 Giải: x y z - Cách 1: Đặt = k 2 3 4 x y z - Cách 2: Từ 2 3 4 3 x x y z xyz 648   27 2 2 3 4 24 24 x3 27 x3 216 x 6 8 Từ đó tìm được y = 9; z = 12. x y z Bài tập 5. Tìm x,y, z biết ; x và x +y +z = 27 6 9 2 x y x y Giải: từ 6 9 2 3 z x z Từ x 2 2 4 x y z Suy ra 2 3 4 Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1. Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27 x y Giải: Từ 3x 2y 2 3 x z Từ 4x 2z 2 4 x y z Suy ra sau đó giải như bài tập 1 2 3 4 Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21 6x 4y 3z x y z Giải: từ 6x = 4y = 3z 12 12 12 2 3 4 Sau đó giải tiếp như bài tập 2 6x 3z 4y 6x 3z 4y Bài tập 8: Tìm x, y, z biết và 2x +3y -5z = -21 5 7 9 Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 7
8. PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7 6x 3z 4y 3z 3z 6x 6x 3z 4y 3z 3z 6x 0 5 7 9 5 7 9 6x 3z;4y 3z;3z 6x Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 6 Bài tập 9: Tìm x,y,z biết x 4 y 6 z 8 và x +y +z =27 2 3 4 Giải: x 4 y 6 z 8 - Cách 1: Đặt =k 2 3 4 - Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x 4 y 6 z 8 2 3 4 x 4 y 6 z 8 x y z 18 27 18 1 2 3 4 9 9 x 4 1 x 6 2 y 6 1 y 9 3 z 8 1 z 12 4 Vậy x = 6; y= 9; z = 12 Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau 1)Các phương pháp : a c Để Chứng minh tỷ lệ thức : Ta có các phương pháp sau : b d Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc . a c Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho b d trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải. Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh. 2) Bài tập: Bài tập 1 a c ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy ra tỷ lệ thức: b d a b c d . a c Giải: 8