Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên

1. Phòng giáo dục và đào tạo huyện thanh oai Đề tài sáng kiến nghiệm Tên đề tài: hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên Tác giả : Vũ Bá Nam Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác : Trường THCS Thanh Thuỳ Năm học 2008 - 2009
2. Sơ yếu lý lịch Họ và tên: Vũ Bá Nam Sinh ngày : 22/ 10/1971 Nơi sinh : Thanh Thuỳ- Thanh Oai - Hà Tây Thường trú: Thanh Thuỳ -ThanhOai - Hà Nội. Đơn vị công tác : Trường THCS Thanh Thuỳ Năm vào ngành: 8/2/1993. Ngày vào đảng : 31 /12/1997 . ngày chính thức 31/12/1998 chức vụ : Phó hiệu trưởng Thành tích đã đạt được: Nhiều năm là chiến sĩ thi đua cấp cơ sở
3. Phần I Lý do chọn đề tài 1. Lý do: Thưa các thầy cô giáo phương trình nghiệm là một đề tài lí thú của số học và đại số đã nôi cuốn rất nhiều thầy cô và học sinh từ các bài đơn giản cho đến các bài phức tạp “ bậc nhất hai ẩn, bậc hai 2 ẩn, ba ẩn ” và nố rất phong phú và đa dạng. Ngoài các bài phương trình bậc nhất 2 ẩn, các bài toán tìm nghiệm nguyên thường không có qui tắc giải tổng quát. Mà mỗi bài toán với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp . Do vậy nó có tác duy mêm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì vậy mà trong các kỳ thi học sinh giỏi môn toán phương trình nghiệm nguyê thường có mặt ổ tất cả các cấp học . Do vậy tôi muốn trình bày với các thày cô và các học sinh một số phương pháp giải giải phương trình nghiệm nguyên, huy vọng được trao đổi nhiều với các thầy cô và gúp các em học sinh rèn được tính tư duy sáng tạo vàv mềm dẻo để giải được các bai toàn về phương trinh nghiệm nguyên cũng như tư duy vào cuộc sống sau này. 2. Khảo sát thực tế: Thưa các thầy trong quá trình giảng dạy các em học sinh lớp 9, mỗi khi cho các em làm bài kiểm tra hoặc bài tập về nhà tôi thương thường cho các em một bài toán về phương trình nghiệm nguyên thì thu được kết quả như sau: 0=> <9 9,10 Số các em làm được bài giải phương trình nghiệm nguyên Bài 1 0 2 10 24 6 0 Bài 2 0 1 13 21 5 2 Bài 3 0 0 14 18 7 3 Bài 4 0 0 16 15 9 2
4. Qua 4 bài sắc xuất thi cho thấy số các giải được các bài toán về phương trìnhnghiệm nguyên là rất ít và các em chưa định hướng được, thế mà năm này các em học sinh lớp 9 được tham gia thi học sinh giỏi toán cấp huyện và thành phố . Do vậy tôi quyêt đinh cho đè tài này. 3.Tên đề tài : Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên Thời gian thực hiện đề tài : Sáu buổi chiều sau khi các em học hết chương II đại số lớp 9. Phần II Nội dung đề tài A. Khái niệm phương trình nghiệm nguyên Xét ví dụ: Bạn Nam có một số tờ đồng tiền mệnh giá 20.000 VNĐ, bạn Bách có một số tờ đồng tiền mệnh giá 10000VNĐ . Tổng số tiền của hai bạn là 70000 VNĐ. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền? Giải Giả sử bạn Nam có x tờ 20.000đồng bạn Bách có y tờ 10.000đồng Thế thì ta có : 20.000x + 10.000y = 70.000 ( I) Ta thấy ngay x= 2 và y = 3 là một nghiệm của phương trình (I) Như vậy phương trình (I) được gọi là phương trình nghiệm nguyên. Một phương trình với các hệ số nguyên và có từ 2 nghiệm trở lên và yêu cầu của đầu bài là tìm các giá tri nguyên của ẩn để thoả mãn phương trình đã cho thì ta hiểu đó là phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ phương trỡnh nghiệm nguyên bậc nhất 2 ẩn có dạng tổng : ax by c - Điều kiện cần và đủ để phương trỡnh cú nghiệm : ƯCLN(a; b) là ước của c Chứng minh :
5. Điều kiện cần : Nếu d = ƯCLN(a; b) và (x; y) là nghiệm của phương trỡnh thỡ ax by c, d \ a d \ ax, d \ b d \ by d \ ax by d \ c + Điều kiện đủ : Nếu c là bội d = ƯCLN(a; b) khi đú tồn tại cỏc số (x; y) sao cho ax by d (theo định lý về ƯCLN) và tồn tại c’ sao cho c c'd . Nhõn hai vế của đẳng thức ax by d với c’ ta cú a c'x b c' y c'd a c'x b c' y c . Điều này chứng tỏ cặp x' c'x, y' c' y là nghiệm của phương trỡnh ax by c B. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 1.Phương pháp dùng tính chất chia hết. a.Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn VD1. Giải phương trình với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 (1) Giải Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn phương trình ( 1) ta thấy 159 và 3x đều chi hêt cho 3 nê 17y 3, do đó y3 ( vì 3 và 17 nguyên tố cùng nhau) Đặt y = 3t ( t z ) Thay vào phương trình (1) ta được: 3x + 17.3t = 159 x +17t = 53 x 53 17t Do đó : với t z y 3t Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào (1) phương trình nghiệm đúng. Vậy phưtrình (1) có vô số nghiệm nguyê được cho bởi công thức x 53 17t với t là các số nguyên tuỳ ý. y 3t b. Đưa về phương trình tích ( Đưa về phương trình ước số ) VD2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: xy - y = 2 (2) Giải
6. Cách1: Biến đổi phương trình (2) thành x(y-1) - y = 2 x(y-1) - (y-1) = 3 (y-1)(x-1) = 3 Vì 3 = 1.3 = -1.(-3) = 3.1 (-3.)(-1) Nên x-1 và y-1 phải là ước của 3 ( do x,y yêu cầu nguyên) Vậy nghiệm nguyên của (2) là : (4;2), (2;4), (0;-2), ( -2 ; 0) Lưu ý: đối với loại bài này các em học sinh hay mắc nỗi thiếu nghiệm. Cách2: ( tách giá trị nguyên) ta biểu thị x theo y x(y-1) = y + 2 ta thấy y 1 (vì nếu y = 1 thì 0.x = 3 vô nmghiệm) y 2 3 Do đó x= = 1 + y 1 y 1 3 Do x là số nguyên nên phải là số nguyên. y 1 Từ đó suy ra y-1 phải là ước của 3 . y -1 = 3, y -1 =1; y -1 = -1 ; y -1 = -3 sau đó thay lần lượt vào y 2 x = ta tìm được x y 1 vậy nghiệm của phương trình là: : (4;2), (2;4), (0;-2), ( -2 ; 0) Bài tập tự luyện: Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau 1. 2x + 13y = 156 2. 3xy +x - y = 1 3. 2x2 + 3xy - 2y2 = 7 4. x2 -xy = 6x - 5y - 8. 2. Phương pháp xét số dư của từng vế VD3: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên x2 - y2 = 1998 (3)
7. Giải Ta thấy x2 , y2 khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 nên x2 - y2 chia cho 4 chỉ có các số dư là 0,1,3 . thế mà 1998 chi cho 4 chỉ có dư 2. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. ( Điều kiện để phương nghiệm nguyên có nghiệm là 2vế phải có cùng 1 số dư) VD4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 9x + 2 = y2 + y (4) Giải Biên đổi phương trình trên thành : 9x + 2 = y(y+1) Ta thấy vế trái của phương trình là số chia cho 3 dư 2. Nên y(y+1) chia cho 3 dư 2 . Chỉ có thể y = 3k +1 ; y+1 = 3k +2 ( k nguyên) Khi đó: 9x +2 = (3k +1)( 3k +2) 9x = 9k(k +1) x = k(k+1) Thử lại: x = k(k+1) , y = 3k +1 thoả mãn phương trình đã cho . x k(k 1) Vậy nghiệm của phương trình : với k nguyên tuỳ ý. y 3k 1 Bài tập tự luyện: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau: 1. 19x2+28y2 = 2001 2. x2 = 2y2 - 8y +3. 3. Phương pháp dùng bất đẳng thức a. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn VD5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x+ y +z = xyz Giải
8. 1 1 1 Ta có x + y + z = xyz 1 (*) ( do xyz ) xy xz yz Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử 1 1 1 1 1 1 3 1 x y z nên (*) 1 = xy yz xz x2 x2 x2 x2 x2 3 do x N* x = 1 khi đó ta có 1 + y + z = yz (z-1) (y-1) = 2 z 1, y 1 N y 1 1 y 2 do z 1 y 1 z 1 2 z 3 vậy nghiệm của phương trình là ( x,y,z) = ( 1, 2 , 3) b. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn. VD6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 1 1 1 x y 3 Giải Do vai trò bình đẳng của x và y , giả sử x y. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn ( là y) 1 1 Hiển nhiên ta có nên y > 3 (1) y 3 1 1 Mặt khác do x y 1 nên .Do đó x y 1 1 1 1 1 2 3 x y y y y 2 1 hay y 6 y 3 Như vậy khoảng giá trị của y là 4 y 6 1 1 1 với y = 4 ta được : suy ra x = 12(TM) x 3 4 1 1 1 với y = 5 ta được : suy ra x = 7,5 loại vì không nguyên x 3 5 1 1 1 với y = 6 ta được : suy ra x = 6 (TM) x 3 6
9. Vậy các nghiệm của phương trình : (4 ; 12), (12; 4), (6 ; 6) Lưu ý: - Để giới hạn y 6 ta có thể lập luận như sau: 1 1 1 1 1 1 1 y x ( ) : 2 : 2 y x y x y 3 6 Vậy y 6 - Hoặc ta cũng có thể giải bằng cách đưa về phương trình ước số 1 1 1 x y 1 xy 3x 3y 0 x y 3 xy 3 (x- 3)( y-3) = 9 Từ đó ta suy nghiệm của phương trình: (4 ; 12), (12; 4), (6 ; 6) c. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên VD7: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 5x Giải Viết phương trình dưới dạng x x 2 3 1 (*) 5 5 Với x = 0 thì vế trái của * bằng 2 loại Với x = 1 thi vế trái của * bằng 1 đúng x x 2 2 3 3 Với x 2 thì , nên 5 5 5 5 x x 2 3 2 3 1 loại 5 5 5 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1. d. Sử dụng điều kiện 0 để phương trình bậc hai có nghiệm Ta viết phương f(x,y) = 0 dưới dạng phươg trình bậc hai đối với một ẩn, chẳng hạn đối với ẩn x, khi đó y là tham số . Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0 . Để phương trình có nghiệm nguyên thì phải là số chính phương.
10. VD8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = x2 + y2 Giải Ta biến đổi phương trình tương đương với phương trình bậc hai ẩn x x2- ( y + 1) x + (y2 - y ) = 0 (8) = (y+1)2- 4(y2 - y) = - 3y2 +6y +1 Để phương trình trên có nghiệm thì 0 3y2 - 6y -1 0 3( y- 1)2 4 Do đó ( y-1)2 1 suy ra y-1 -1 0 1 y 0 1 2 2 Với y = 0 thay vào (8) ta được x - x = 0 suy ra x1 = 0 ; x2 = 1 2 Với y = 1 thay vào (8) ta được x - 2x = 0 suy ra x3 = 0 ; x4 = 2 2 Với y = 2 thay vào (8) ta được x - 3x + 2 = 0 suy ra x5 = 1 ; x6 = 2 Thử lại với các giá tri trên phương trình đúng Vậy nghiệm của phương trình là: (0 ; 0), (1; 0) , ( 0 ; 1 ), (2 ; 1 ),(1; 2) (2; 2) Lưu ý : - Có thể giải bất phương trình bậc hai 3y2 - 6y -1 0 bằng cách tìm nghiệm của tam thức bậc hai và định lý về dấu của tam thức bậc hai: ay2 +by +c trái dấu với a với các giá trị của y năm trong khoảng nghiệm. 3 12 Nghiệm của 3y2 - 6y -1 là y = do đó: 3 3 12 3 12 y 3 3 3 4 3 4 y 3 3
11. 1 7 y y (0; 1 ; 2) 3 3 từ đó suy ra nghiệm của phương trìnhlà: (0 ; 0), (1; 0) , ( 0 ; 1 ), (2 ; 1 ),(1; 2) (2; 2) - Hoặc ta cũng có thể giải PT (8) bằng cách khác như sau Biến đổi phương trình (8) thành phươngn trình: (x-1)2 + (y- 1)2 + ( x- y) 2 = 0 Vì tổng của ba số chính phương bằng 2 thì tồn tai 1 số bằng 0 Ta xét từng trường hợp x- 1= 0, y-1 =0 , x-y =0 Cuối cùng ta có nghiệm (0 ; 0), (1; 0) , ( 0 ; 1 ), (2 ; 1 ),(1; 2) (2; 2) Bài tập tự luyện 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1 1 1 x y 4 2. Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau: a. x2 + xy +y2 = 2x + y b. x2 + xy +y2 = x + y c. x2 -3xy +3y2 = 3y 3. Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x +3x = 35 4. Phương pháp dùng tính chất của số chính phương a. Sử dụng tính chất chi hết của số chính phương Các tinh chất thường dùng - Số chính phương không tận cùng bằng 2,3,7,8. - Số chính phương chi hết cho số nguyên tốt p thì chi hết cho p2. - Số chính phương chia cho 3 có số dư 0, 1. - Số chính phương chia cho 4 có số dư 0 , 1 . - Số chính phương chia cho 8 có số dư 0 , 1 , 4