Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 7 đến lớp 9 giải bài toán xác định một đa thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 7 đến lớp 9 giải bài toán xác định một đa thức

1. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TÊN SÁNG KIẾN: “GIÚP HỌC SINH LỚP 7 ĐẾN LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MỘT ĐA THỨC”
2. c3 (x3 – x4) = 0 c3 =0 vì x3 – x4 0 Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0. Từ đó và (6) được c1 = 0. Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm. II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3, ) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa thức: Bài toán 1: Xác định đa thức bậc 3 biết f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22 Giải Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax3 + bx3 + cx +d Theo bài ra ta có: f(0) = 1 d = 1 f(1) = 0 a + b + c = -1 (1) f(2) = 5 4a + 2b + c = 2 (2) f(3) = 22 9a + 3b + c = 7 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: a b c 1 4a 2b c 2 9a 3b c 7 Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2 Vậy đa thức cần tìm là: f(x)=x2-2x+1 * Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số. * Bài tập áp dụng: 1. tìm đa thức bậc 4 biết: f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47 2. tìm đa thức bậc 2 biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = 6 Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác Bài toán 2: Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư bằng 14. Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)
3. Giải hệ phương trình (4);(5);(6). Ta được đa thức cần tìm: 3 9 x2 + 2x + 2 2 *Bài tập: Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư 8. Chia cho (x + 3)(x – 3) thì được thương 3x và còn dư. Bài toán 4: Tìm đa thức dư của phép chia: x7 + x5 +x3 x cho x2 –1 Giải: Cách1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia. Ta thấy xn – 1 chia hết cho x – 1 với mọi số tự nhiên n nên x2n – 1 chia hết cho x2 – 1; x6 – 1, chia hết cho x2 – 1. Ta có: x7 + x5 + x3 + 1 = x7 – x + x5 – x + x3 – x + 3x + 1 = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 Dư của phép chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 – 1 là 3x + 1 Cách 2: Xét giá trị riêng Gọi thương của phép chia là Q(x) dư là ax + b Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b với mọi x Đẳng thức đúng với x nên với x = 1 ta được: 4 = a + b (1) với x = - 1 ta được –2 = - a + b (2) Từ (1), (2) a = 3; b = 1 Vậy dư của phép chia là: 3x + 1 Bài tập: Tìm đa thức dư của phép chia: x99 + x55x11 + x +7 cho x2 + 1 Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số Bài toán 5: Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn: f(8) = 2003 Giải: Xét đa thức n n-1 f(x) = anx + an –1x + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8. n n-1 Do f(8) = 2003 nên an.8 + an-1.8 + +a1.8 + a0 = 2003 Ở đây a0, a1, , an-1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệ ghi số cơ số 8. Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3 lại lấy thương chia cho 8, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3 Bài toán tổng quát:
4. Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x) Trong đề bài bậc của h(x) nhỏ hơn 3 nghĩa là: g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Bước 2: Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0. 0 1 a b c Tức là: 0 20 4a 2b c 0 30 9a 3b c Giải hệ phương trình được : a = 0; b = -10; c = 0 Theo phương pháp hệ số bất định: Suy ra: h(x) = - 10x Hay: g(x) = f(x) – 10x Bài toán 10: Cho đa thức f(x) là bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn f(1990) = 2000 và f(2000) = 2001. Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số. Giải: + Tìm đa thức phụ. Đặt g(x) = f(x) +ax + b. Tìm a,b để g(1999) + g(2000) = 0 tương 0 2000 1999.a b đương với a, b là nghiệm của hệ: 0 2001 2000.a b Giải hệ ta được : a = b = - 1 Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1 + Tính giá trị của f(x): Giả sử k Z là hệ số của x3 của đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chưa hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên: g(x) +k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) Tính được f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số. Bài toán 11: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6) Giải: Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx +c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) = 0 a, b, c là nghiệm của hệ phương trình
5. 0 6 a b c a,b,c là nghiệm của hệ 0 6 4a 2b c 0 6 9a 3b c Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – 6 Với g(1) = g(2) = g(3) + 0 + Xác định f(x): Do bậc f(x) = 3 nên bậc g(x) = 3 và g(x) chia hết cho(x–1);(x–2);(x–3) g(x) n(x 1)(x 2)(x 3) ở đó n là hệ số của x3 trong đa thức f(x) f (x) n(x 1)(x 2)(x 3) 6 Mặt khác f(-1)= -18 => n = 1 => f(x) = x3 – 6x2 + 11x Bài tập: 1. Tìm đa thừc(x) bậc 2 biết f(0) = 19, f(1) = 5; f(2) =1995 2. Tìm đa thừc(x) bậc 3 bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95