Sáng kiến kinh nghiệm Giới thiệu các bài toán liên quan tới trung bình cộng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giới thiệu các bài toán liên quan tới trung bình cộng

1. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2011– 2012 I. Đặt vấn đề: Để giúp học sinh Tiểu học( đặc biệt là học sinh khá giỏi giải toán dạng liên quan đến số trung bình cộng. Vì vậy đề tài tôi muốn giới thiệu các bài toán liên quan tới trung bình cộng, nhằm giúp các em trong đội tuyển học sinh khá giỏi môn toán có những kiến thức nâng cao mở rộng ngoài những kiến thức cơ bản trong chương trình. Khi giới thiệu toán tìm số trung bình cộng hoặc liên quan đến trung bình cộng chỉ có một số học sinh hiểu và làm được. Điều quan trong nhất của dạng toán là xác định các yếu tố liên quan để tìm ra số trung bình cộng hoặc từ số trung bình cộng tìm ra các số, nhưng các em lại lúng túng trong việc xác định các mối liên quan đó, do vậy rất ít em giải được các bài toàn khó khi chưa tìm ra cách giải. II. một số cách xác định số trung bình cộng hoặc các số: 1. Nếu một trong hai số lớn hơn trung bình cộng của chúng a đơn vị thì số đó lớn hơn số còn lại a 2 đơn vị. Ví dụ: Cho hai số 39 và 21 thì: trung bình cộng của hai số là: ( 39 + 21) : 2 = 30 39 lớn hơn trung bình cộng của hai số là: 39 – 30 = 9 39 lớn hơn 21 là: 39 – 21 = 18 Mà 18 = 9 2 2. Trung bình cộng của một số lẻ các số cách đều nhau chính là số chính giữa dãy số. Ví dụ: cho ba số lẻ liên tiếp 3, 5, 7,thì trung bình cộng của ba số đó là: (3 + 5 + 7 ) : 3 = 5 Mà 5 chính là số ở giữa dãy số đã cho. 3.Trung bình cộng của một số chẵn các số cách đều nhau thì bằng 1 tổng 2 của một cặp số cách đều hai dãy số. Ví dụ 1: cho 4 số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8, thì trung bình cộng của 4 số đã cho là: (2 + 4 + 6 + 8) : 4 = 5 Mà 5 = ( 2 + 8 ) : 2 = ( 4 + 6 ) : 2 Ví dụ 2: Cho 6 số cách đều 5,11, 17, 23, 29, 35, thì trung bình cộng của 6 số đã cho là: ( 5 + 11 + 17 + 23 + 29 + 35 ) : 6 = 20 Mà 20 = ( 5 + 35 ): 2 = (11 + 29) : 2 = ( 17 + 23) : 2 Ví dụ: Bài Toán áp dụng: Tìm 3 số khác nhau số có trung bình cộng là 5? Giải Có hai trương hợp xẩy ra là: a. 3 số cách đều nhau. b. 3 số đó không cách đều nhau. 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2011– 2012 Xét trường hợp a: Nế 3 số đó cách đều nhau thì số thứ hai chính bằng trung bình cộng của ba số đó, ta có 5 trường hợp sau: 0,5,10 3, 5, 7, 1, 5, 9, 4, 5 , 6 2, 5, 8 Trường hợp b. nếu ba số đó không cách đều nhau thì tổng của ba số đó là: 5 3 = 15 ta có các trường hợp sau 0, 1, 14 1, 2, 12 0, 2, 13 1, 3, 11 0, 3, 12 1, 4, 10 0, 4, 11 4, 4, 7 2, 3, 10, 3, 4, 8, 2, 4, 9 4. Trong các số đã cho, nếu một số bằng số trung bình cộng của các số còn lại thì số đó chính bằng trung bình của tất cả các số đã cho đó. III. Quy trình giải Toán: Bước một: - Đọc kĩ đề Toán tìm hiểu bài Toán cho biết gì và yêu cầu tính gì? Bước hai: - Thiết lập mối quan hệ giữa dự kiện đã cho và yêu cầu cần thực hiện trong bài toán. Bước ba: Tìm lời giải và giải bài toán. Bước bốn: Thử lại và đáp số. IV.Các bài toán tìm số trung bình cộng và tìm các số khi biết các số liên quan đến trung bình cộng. Bài toán 1: Tìm hai số biết trung bình cộng của chúng là 875 và số lớn hơn trong hai số là số lớn nhất có ba chữ số. a. Phân tích đề toán: Trong bài toán này ngay từ ban đầu, giáo viên cần định hướng cho học sinh là phải tính tổng hai số và xác định số lớn nhất có ba chữ số. b.Giải: Tổng của hai số là: 875 2 = 1750 số lớn nhất có ba chữ số là 999 nên số bé là: 1750 – 999 = 751 Đáp số: 751 và 999 Bài toán 2: Tìm 7 số chẵn liên tiếp, biết trung bình cộng của chúng là 1886 ? a. Phân tích đề toán: Ta biết rằng hai số chẵn liên tiếp cáh nhau 2 đơn vị. Vậy số thứ tư ( là số ở chính giữa dãy số ) của 7 số chẵn liên tiếp bằng trung bình cộng của 7 số đó nên là số 1886. Từ đó tìm ra các số khác. 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2011– 2012 b.Giải Số thứ tư của 7 số chẵn liên tiếp chính bằng trung bình cộng của 7 số là 1886 Vì 7 số chẵn liên tiếp nên chúng cách đều nhau 2 đơn vị vậy 7 số đó là 1880; 1882; 1884; 1886; 1888; 1890; 1892; Bài toán 3 Tìm 3 số lẻ khác nhau biết trung bình cộng của chúng là 7? a. phân tích bài toán: bài toán này có hai trường hợp xẩy ra: * Ba số lẻ đó cách đều nhau. * Ba số lẻ đó không cách đều nhau; b. Giải: Nếu ba số lẻ đó cách đều nhau thì số thứ 2 chính bằng 7 ta có ba trường hợp sau; 1; 7; 13 3; 7; 11 5; 7; 9 Nếu ba số lẻ không cách đều nhau thì tổng của ba số đó là: 7 3 = 21 Ta có ba trường hợp sau: 1; 3; 17 3; 5; 13 1; 5; 15 Bài 4: Bốn bạn Hoàn, Dũng, Toàn, Hiếu cùng góp một số tiền như nhau để mua vợt cầu lông . Sau khi mua vợt hết 140 000 đồng thì số tiền còn lại ít hơn 5 000 đồng so với trung bình cộng số tiền mà 4 bạn đã góp. Hỏi mỗi bạn góp bao nhiêu tiền? a.Phân tích bài toán: Bài toán này đối với học sinh rất khó xác định được trung bình cộng của cả bốn bạn. GV cần giúp học sinh hiểu nếu các bạn mua bớt 5 000 đồng thì số tiền còn lại bằng mức trung bình cộng của 4 bạn đã góp. Khi đó các bạn đã mua hết số tiền của 3 người góp , số tiền còn lại chính là số tiền của một người. Vậy ta có thể giải bài Toán như sau: b.Giải: Nếu các bạn bua bớt 5000 đồng thì số tiền còn lại bằng trung bình cộng của cả 4 bạn như vậy các bạn đã mua hết số tiền của 3 bạn nên mức trung bình cộng của 4 bạn góp là: (140 000 – 5 000 ): 3 = 45 000 (đồng) Đáp số : mỗi bạn góp 45 000 đồng Thử lại: 45 4= 180 000 (đồng) 180 000 – 140 000 = 40 000 ( đồng). kém mức trung bình 45 000 – 40 000 = 5 000 (đồng) như vậy bài toán đã giải đúng. Bài 5: 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2011– 2012 Bốn bạn: Cần, Kiệm, Liêm, Chính góp tiền mua chung nhau cầu lông và vợt cầu lông. Cần góp 8 000 đồng, Kiệm góp 9 000 đồng, Liêm góp kém mức trung bình của hai bạn trước là 400 đồng. Chính góp kém mức trung bình của cả 4 người là 1 100 đồng. Hỏi: a) Mức góp trung bình của cả bốn người là bao nhiêu? b) Liêm và Chính mỗi bạn góp bao nhiêu tiền? a.Phân tích bài toán: Bài toán này sẽ tính ngay được số tiền Liêm góp, mẫu chốt là ở chỗ giúp học sinh hiểu Chính góp kém mức trung bình của cả 4 người là 1 100 đồng nên ba bạn phải bù cho Chính 1 100 đồng. từ đó học sinh tính được số tiền mà trung bình mỗi bạn góp, và số tiền của Chính góp. b.Giải: Số tiền Liêm góp là: ( 8 000 + 9 000) : 2 - 400 = 8 100 ( đồng) Chính góp kém mức trung bình của cả 4 người là 1 100 đồng nên ba bạn phải bù cho Chính 1 100 đồng. Vậy trung bình mỗi bạn góp là: (8 000 + 9 000 + 8 100 – 1 100) : 3 = 8 000 ( đồng) Số tiền Chính góp là: 8 000 – 1 100 = 6 900 (đồng) Đáp số: a) 8 000 đồng b) Liêm: 8 100 đồng; Chính: 6 900 đồng Bài 6: Tìm số có ba chữ số biết trung bình cộng các chữ số của số đó là 6 và chữ số hàng trăm gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. a.Phân tích bài toán: Đối với bài này học sinh tính ngay được tổng 3 chữ số vì đã biết trung bình cộng là 6. Mẫu chốt là ở chỗ các chữ số nhỏ hơn 10 từ đó ta có thể giải bài toán bằng phương pháp thử chọn. b.Giải Tổng các chữ số của số đó là : 6 3 = 18 Vì các chữ số nhỏ hơn 10 nên nếu chữ số hàng đơn vị là 1 thì chữ số hàng trăm là 3 và chữ số hàng chục rẽ là: 18 - ( 1 + 3) = 14 > 9 nên sai. Chữ số hàng đơn vị là 2 thì chữ số hàng trăm là 6 chữ số hàng chục là: 18 – ( 2 + 6) = 10 > 9 nên sai. chữ số hàng đơn vị là 3 thì chữ số hàng trăm là 9, chữ số hàng chục là: 18 – ( 3 + 9) = 6 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2011– 2012 Vậy số phải tìm là: 963 Đáp số: 963 Bài 7: Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc ở hai địa điểm cách nhau 216 km đi ngược chiều nhau và sau 3 giờ hai người gặp nhau . Hỏi trung bình mỗi giờ một người đi được bao nhiêu kilômet? a. Phân tích đề Toán: Mẫu chốt ở bài toán là Hướng dẫn học sinh hiểu khi hại người gặp nhau tức hai người đã đi hết 216 km. Tổng thời gian mà hai người đi chính là thời gian một người đi hết quảng đường 216 km từ đó học sinh tính được trung bình mỗi giờ. b. Giải Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau thì hai người đã đi được quãng đường dài 216km. Tổng thời gian hai người đi hết quãng đường dài 216 km: 3 + 3 = 6 ( giờ ) Trung bình mỗi giờ một người đi được : 216 : 6 = 36 ( km ) Đáp số: 36 km Bài 8: Một đường gấp khúc gồm 3 đoạn. Đoạn thứ nhất dài 15cm và bằng trung bình cộng số đo hai đoạn còn lại. Nếu khép kín đường gấp khúc đó thành một hình tam giác thì chu vi hình tam giác đó là bao nhiêu? a.Phân tích đề Toán: Ở bài toán này giáo viên giúp học sinh hiểu câu “Đoạn thứ nhất dài 15cm và bằng trung bình cộng số đo hai đoạn còn lại” để từ đó học sinh tính được tổng hai đoạn còn lại là 15 2 = 30 khi đó chúng ta đã biết ba đoạn ( tức 3 cạnh của hình tam giác) là 15 + 30. Ta có lời giải như sau: b. Giải Độ dài của hai đoạn còn lại là: 15 2 = 30 ( cm) Nếu khép kín đường gấp khúc đó thành một hình tam giác thì chu vi hình tam giác: 15 + 30 = 45 ( cm) Đáp số: 45 cm Bài 9: Tìm ba số có trung bình cộng bằng 60 biết rằng nếu viết thêm 1 chữ số 0 vào bên phải số thứ nhất thì được số thứ hai và số thứ ba gấp bốn lấn số thứ nhất. a.Phân tích đề Toán: Ở bài này các em tính ngay được tổng của ba số là : 60 3 = 180. Nhưng cái khó là học sinh chưa biết khi thêm một chữ số 0 vào bên phải số thứ nhất thì số đó gấp 10 lần số thứ nhất từ đó học sinh đưa bài toán về dạng tổng tỉ. b. Giải: Tổng ba số cần tìm là: 60 3 = 180 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2011– 2012 Số thứ nhất thêm một chữ số 0 vào bên phải ta được số thứ hai vậy số thứ hai gấp 10 lần số thứ nhất: Ta có sơ đồ sau: ? Số thứ nhất: ? 180 Số thứ hai là: ? Số thứ ba là: ? 180 so với số thứ nhất thì gấp : 1 + 10 + 4 = 15 ( lần) Số thứ nhất là: 180 : 15 = 12 Số thứ hai là: 12 10 = 120 Số thứ ba là: 12 4 = 48 Đáp số: 12; 120; 48 Bài 10: An có 14 cái kẹo, Bình có 12 cái kẹo. Cường có số kẹo bằng trung bình cộng số kẹo của An và Bình. Dũng có số kẹo kém trung bình cộng số kẹo của cả 4 bạn là 6 cái. Hỏi Dũng có bao nhiêu cái kẹo? a. Phân tích đề toán: : - Tìm số kẹo của Cường. - Dũng có số kẹo kém mức trung bình của cả 4 bạn là 6 cái tức ba bạn phải bù cho Dũng 6 cái mới đủ mức trung bình của 4 bạn. Tổng số kẹo của 3 bạn ta tìm được. Mức trung bình của cả 4 bạn tìm được, từ đó tính số kẹo của Dũng. b. Giải: Số kẹo của Cường là: (14 + 12) : 2 = 13 (cái kẹo) Tổng số kẹo của 3 bạn là: 14 + 12 + 13 = 39 ( cái kẹo) Mức trung bình của cả 4 bạn là: (39 – 6 ) : 3 = 11 (cái kẹo) Số kẹo của Dũng là: 11- 6 = 5 ( cái kẹo) Đáp số: Dũng có 5 cái kẹo Bài 11: Trung bình cộng của ba số là 12,5 Tìm ba số đó, biết số thứ hai là 3,1 và số thứ hai hơn số thứ ba là 3,1. a. Phân tích đề Toán: - Tổng ba số là 12,5 3 Biết số thứ hai là 3,1 và số thứ hai hơn số thứ ba là 3,1 từ đó ta tìm được số thứ ba và số thứ nhất. b. Giải: Tổng của ba số là: 12,5 3 = 37,5 6