Sáng kiến kinh nghiệm Các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán

1. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 A. Đặt vấn đề. I. Lời mở đầu: Trong lịch sử phát triển của các khoa học thì Toán học là một trong những khoa học ra đời sớm nhất . Từ những yêu cầu của thực tế mà nảy sinh ra kiến thức toán . Toán học có ảnh hưởng sâu rộng đến nhiều môn khoa học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên như : Vật lý , hóa học, sinh học, tin học , thiên văn học Ngày nay để theo kịp với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thì việc nâng cao kiến thức toán học cho mọi người nói chung và học sinh nói riêng là vô cùng cần thiết . Trong chương trình phổ thông các dạng bài tập toán rất phong phú và đa dạng. ở sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai một ẩn : Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là định lý Vi-ét và các ứng dụng trong việc giải một số bài toán. Qua một số năm giảng dạy môn Toán 9 bản thân tôi nhận thấy việc áp dụng công thức nghiệm vào giải và biện luận các phương trình bậc hai được các em HS thực hiện khá tốt , tuy nhiên việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán thì các em làm chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Đứng trước vấn đề đó, tôi quyết định đi sâu vào nghiên cứu đề tài: “các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Vi-ét, góp phần nâng cao kết quả học tập , bồi dưỡng năng lực học toán , kích thích hứng thú học tập bộ môn của học sinh và đạt kết quả cao trong các kỳ thi II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1) Thực trạng của vấn đề Với mỗi em học sinh lớp 9 thì ước mơ và cũng là mục tiêu đặt ra cho mình là thi đậu vào lớp 10 công lập, nhưng cũng có không ít học sinh đã không thực hiện được mục tiêu đó vì thiếu điểm . Trong những năm gần đây, các đề thi vào lớp 10 PTTH thường có những câu liên quan đến phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức Vi- ét , mỗi Giáo viên : Đỗ Tuấn Long 1 Trường THCS Định Bình
2. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 câu đều chiếm 1 đến 2 điểm trong đề thi. Vậy tại sao ta không ôn cho học sinh dạng toán nâng cao về ứng dụng của hệ thức Vi-ét? Bản thân tôi luôn suy nghĩ : Trong điều kiện kinh tế gia đình của nhiều em học sinh còn nhiều khó khăn, nên sự quan tâm và tạo điều kiện cho con em mình học tập còn nhiều hạn chế . Vì vậy phần nhiều HS còn thiếu tài liệu ôn tập và các sách nâng cao để học và ôn thi. Qua các năm dạy học sinh lớp 9 và hướng dẫn HS ôn thi vào lớp 10 PTTH, bản thân tôi và các đồng nghiệp luôn có những trăn trở là nên chọn tài liệu nào cho phù hợp với trình độ học sinh và mục tiêu của kỳ thi.Từ thực tế nêu trên tôi mạnh dạn đưa ra đề tài : “các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán” Đề tài chỉ là một phần trong các các phần cơ bản để ôn tập cho học sinh trong quá trình học và ôn thi vào lớp 10 PTTH. Mong rằng nó sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp có thêm một phần để tham khảo , giúp cho cac em học sinh có cách nhìn bao quát hơn về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Vận dụng nó một cách có hiệu quả trong việc giải các bài tập có liên quan. 2) Kết quả, hiệu quả của thực trạng Đứng trước thực tế đó ban giám hiệu nhà trường đã có nhiều phương pháp cải tiến trong khâu quản lý , chỉ đạo về chuyên môn. Tích cực đổi mới phương pháp dạy và học. Bên cạnh đó cần tăng cường sự kết hợp giữa nhà trường và gia đình để nắm bắt thông tin hai chiều trong việc quản lý việc học của HS . Việc ôn tập cho học sinh các ứng dụng của hệ thức Vi-et là rất cần thiết đối với các em. Bởi các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-et rất đa dạng và phong phú, nếu không được hướng dẫn thì học sinh sẽ không khỏi lúng túng khi gặp một dạng toán lạ hoặc một bài toán khó. Vì vậy, sự định hướng trước cho học sinh khi gặp các bài toán liên quan đến hệ thức Vi-et là một việc làm thiết thực. Từ thực tế nêu trên, để dạy học sinh lớp 9 phần hệ thức Vi-et và hướng dẫn học sinh ôn thi vào lớp 10 có kết quả cao hơn, tôi đã nghiên cứu đề tài: “các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán”. Trong phạm vi của đề tài này, tôi chỉ đưa ra một số ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS. Đó là : 1) ứng dụng của định lý Vi-ét để tìm điều kiện của tham số thỏa mãn các điều kiện của bài toán 2) ứng dụng của định lý để giải bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn. 3) ứng dụng của định lý Vi-ét để giải toán chứng minh. 4) ứng dụng định lý Vi-ét để giải phương trình và hệ phương trình. 5) ứng dụng định lý Vi-ét để giải một số bài toán cực trị. Giáo viên : Đỗ Tuấn Long 2 Trường THCS Định Bình
3. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 B. giảI quyết vấn đề I) Các giảI pháp thực hiện: Trước hết trong quá trình dạy học giáo viên cần làm sao để học sinh nắm vững Định lý Vi-ét và một số trường hợp đặc biệt. Bởi vì đó là cơ sở, là tiền đề, cũng là chìa khóa để giải quyết các bài tập. *Định lý Vi-ét: 2 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì: b x x 1 2 a c x .x 1 2 a * Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương c trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = a * Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương c trình có một nghiệm là x1 = - 1 , còn nghiệm kia là x2 = - a * Nếu hai số u và v thỏa mãn điều kiện : u + v = S , u.v = P , thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0. điều kiện để có hai số u và v là : S2 - 4P 0. Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh hoạ và một số bài tập vận dụng về các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán. I. ứng dụng 1 : Tìm điều kiện của tham số thỏa mãn các điều kiện của bài toán 1- Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình Giáo viên : Đỗ Tuấn Long 3 Trường THCS Định Bình
4. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 2 2 2 mx - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x1 x2 1 Bài giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2(phân biệt hoặc nghiệm kép) là : m 0 ; ' ≥ 0 ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4 ' 0 - m + 4 0 m 4. Với 0 m 4, theo định lý Vi-ét, ta có: 2(m 2) m 3 x1 + x2 = ; x1.x2 = m m 2 2 2 2 4(m 2) 2(m 3) Do đó: 1 = x x = (x1 + x2) - 2x1x2 = - 1 2 m2 m m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m m2 - 10m + 16 = 0 m1 = 2 hoặc m2 = 8 Giá trị m1 = 8 không thoả mãn điều kiện: 0 m 4 Giá trị m2 = 2 thoả mãn điều kiện: 0 m 4 2 2 Vậy với m = 2 thì x1 x2 = 1 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để 1 1 x1 x2 phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x1 x2 5 Bài giải: Δ, (m 2)2 (m2 2m 3) 0(1) x .x 0 (2) Ta phải có: 1 2 1 1 x1 x2 (3) x1 x2 5 (1) ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m < 7 6 (2) m2 + 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3 x1 x2 x1 x2 (3) (x1 x2 )(5 x1.x2 ) 0 x1.x2 5 Giáo viên : Đỗ Tuấn Long 4 Trường THCS Định Bình
5. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 * Trường hợp: x1 + x2 = 0 x1 = - x2 m = 2 không thoả mãn điều kiện (1) * Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 x1.x2 = 5 Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0 m 2 (loại) m 4 (thoả mãn ĐK) Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 1 x x 1 2 x1 x 2 5 Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào giá trị của m? Bài giải: 2 (m 1) (1) x x 1 2 m m 4 (2) x1 .x 2 a) Ta phải có: m (3) x1 4 x 2 3 m 0  (4) 2  ' (m 1) m (m 4 ) 0  m 2 5m 8 Từ (1) và (3) tính được: x ; x 2 3m 1 3m (m 2)(5m 8) m 4 Thay vào (2) được 2m2 - 17m + 8=0 9m2 m 2 1 Giải phương trình 2m - 17m + 8 = 0 được m1 = 8; m2 = thoả mãn điều kiện (4). 2 1 Vậyvới m =8 hoặc m = thì các nghiệm của phươngtrình thoả mãn x1 + 4x2 = 3. 2 b) Theo hệ thức Viét: 2 x1 + x2 = 2 + m 4 x1 . x2 = 1 - (*) m 2 Thay = x1 + x2 - 2 vào (*) được x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2) m Giáo viên : Đỗ Tuấn Long 5 Trường THCS Định Bình
6. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2) Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + 2x + m = 0 (1) x2 + mx + 2 = 0 (2) Bài giải: Gọi x0 là một nghiệm chung của 2 phương trình đã cho, khi đó ta có: 2 x0 2x0 m 0 2 x0 mx0 2 0 Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m - 2)x0 = m - 2 - Nếu m = 2 cả hai phương trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm - Nếu m 2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3 2 Với m = - 3: PT(1) là: x + 2x - 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3 2 và PT(2) là: x - 3x + 2 = 0; có nghiệp x1 = 1 và x2 = 2 Vậy với với m = - 3 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung x = 1. 2- Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2. Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 3: a) Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? Giáo viên : Đỗ Tuấn Long 6 Trường THCS Định Bình
7. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. II. ứng dụng 2: lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số: 1. Các ví dụ: 3 1 1 Ví dụ 1: Cho x1 = ; x2 = 2 1 3 Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : x1, x2 3 1 1 1 3 3 1 Ta có: x1 = ; x2 = = 2 1 3 1 3 1 3 2 3 1 1 1 Nên x1.x2 = . = 2 1 3 2 3 1 1 x1 + x2 = + = 3 2 1 3 2 1 Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x - 3 x+ = 0 2 Hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0 Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1) Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1) Bài giải: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có: 4 4 y1 + y2 = x1 x2 4 4 y1 y2 = x1 .x2 Giáo viên : Đỗ Tuấn Long 7 Trường THCS Định Bình