Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường sử dụng dành cho học sinh lớp 7, 8, 9 và một số bài toán áp dụng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường sử dụng dành cho học sinh lớp 7, 8, 9 và một số bài toán áp dụng

1. - 1 - Mẫu 02/MTSK-QLCN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập-Tự do-Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.Tên sáng kiến: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường sử dụng dành cho học sinh lớp 7,8,9 và một số bài toán áp dụng 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sử dụng một số phương phápchứng minh ba điểm thẳng hàng để giải một số dạng bài tập dành cho học sinh các lớp 7,8,9. 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừa tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hổ trợ cho các môn học khác.Với môn hình học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh . Đặc biệt là rèn luyện của học sinh khá, giỏi. Nâng cao được năng lực tự duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập toán nhất là bộ môn hình học càng có ý nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo đối với bộ môn hình học càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và phán đoán logic. Qua các năm công tác giảng dạy ở trường tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách giải nhất. Đặc biệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trường việc có được học sinh giỏi của môn Toán là một điều rất hiếm và khó, tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan. Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một số bài Toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo. Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi đã cố gắng dạy cho HS cách định hướng phương pháp giải bài tập trước mỗi dạng bài. Bài toán chứng minh thẳng hàng là một dạng toán khá quen thuộc, nhất là trong các đề thi học sinh giỏi. Nhưng khi gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ ra rất lúng túng. Để loại bỏ sự lúng
2. - 3 - 1 1 Do ñoù D· AM D· AN B· AD C· AD 2 2 1 (D· AM D· AN) B· AC 900 (VABC vuoâng taïiA) 2 D· AM D· AN 2. 900 Neân M· AN D· AM D· AN 1800 Vaäy ba ñieåm M, A, N thaúng haøng Ví dụ 2( lớp 8) : Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng AB, E là điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng AC. Chứng minh rằng D, A, E thẳng hàng. Hướng dẫn giải Ta có M và D đối xứng với nhau qua đường thẳng AB => AB là đường trung trực của đoạn thẳng DM => ABC cân tại A. Nên AB là đường phân giác của góc DAM Do đó : D· AM 2·.BAM Chứng minh tương tự cũng có E· AM 2.C· AM Mà B· AM C· AM B· AC 900 Do đó D· AE D· AM E· AM 2B· AM 2C· AM 2(B· AM C· AM) 2.900 1800 Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng. Ví dụ 3 (lớp 9): Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC, gọi H là trực tâm ABC. Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.
3. - 5 - OD = OB (vì O là trung điểm BD) Vậy AOD = COB (c.g.c) Suy ra: D· AO O· CB . Do đó: AD // BC. Nên D· AB C· BM (ở vị trí đồng vị) DAB và CBM có : AD = BC ( do AOD = COB), D· AB C· BM , AB = BM ( B là trung điểm AM) Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra ·ABD B· MC . Do đó BD // CM. (1) Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2) Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng. Ví dụ 4(lớp 8) Cho ABC nhọn, các đường cao AH, BD và CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là hình chiếu của H trên AB, BD, CE và AC. Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng. Hướng dẫn Giải BM BH BN + Từ (gt) MH //CE; NH // AC (định lý Talét) BE BC BD MN // ED (1) (định ký Talét đảo) + Chứng minh tương tự ta có: PQ // ED (2) + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HAC và HAB ta có: A AH2 = AQ . AC = AM . AB D AQ AB AB AD mà AM AC AC AE E Q (vì DAB ∽ EAC (g.g)) P AQ AD AQ AM hay MQ / /ED AM AE AD AE M N (định lý Talét đảo) B C Kết hợp với (1), (2) ta có H M, N, Q thẳng hàng và M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít). Do đó M, N, P, Q thẳng hàng. III. PHƯƠNG PHÁP 3 a) Phương pháp sử dụng tiên đề về đường thẳng vuông góc Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc
4. A - 7 - AM chung = = MB = MC (M là trung điểm BC) P Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). / / B M C Suy ra: ·AMB ·AMC (hai góc tương ứng) Q · · 0 Mà AMB AMC 180 (hai góc kề bù) Hình 9 nên ·AMB ·AMC 900 Do đó: AM  BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c). Suy ra: P· MB P· MC (hai góc tương ứng), mà P· MB P· MC 1800 nên P· MB P· MC = 900 Do đó: PM  BC. Lập luận tương tự QM  BC Từ điểm M trên BC có AM  BC,PM  BC, QM  BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) IV. PHƯƠNG PHÁP 4 a) Phương pháp sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau Nếu 2 tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng. b) Một số ví dụ: Ví dụ 7 (lớp 9) Cho (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm D bất kỳ (khác A, B). Lấy điểm C bất kỳ trong đoạn AB, kẻ CH  AD H AD . Phân giác của B· ADcắt (O) tại E, cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt (O) tại N. Chứng minh N, C, E thẳng hàng. D E HD Giải (gt) HC // DB (cùng vuông góc với AD) H F Cµ Bµ (2 góc đồng vị) 1 1 2 1 1 1 Mà B¶ N¶ (2 góc nội tiếp chắn »AD ) A B 1 1 O C ¶ µ N1 C1 2 1 N
5. - 9 - ❖ Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó: A H là trực tâm ABC AD là đường cao ABC => A, H, D ba điểm thẳng hàng H B C D ❖ Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại: A O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC E F EF là đường trung trực của cạnh AB O => E, F,O thẳng hàng B C ❖ Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K ’ Là trung điểm BD thì K’  K thì A, K, C thẳng hàng. b) Một số ví dụ: Ví dụ 8: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng. BÀI GIẢI V ABC cân tại A suy ra AB = AC A thuộc đường trung trực của BC (1) A V DBC cân tại D suy ra DB = DC D D thuộc đường trung trực của BC (2) B C VEBC cân tại E suy ra EB = EC E E thuộc đường trung trực của BC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng. Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. BÀI GIẢI
6. - 11 - M· EK ' N· CK ' (so le trong của ME //AC) Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K  K’ Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng. Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý nhưng không biết là sai. VI. PHƯƠNG PHÁP 6 a) Phương pháp thêm điểm: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ 3 điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng. b) Một số ví dụ Ví dụ 11 (lớp 8) Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽ hình chữ nhật EHCF. Chứng minh M, H, F thẳng hàng. Giải A B Gọi I là giao điểm của HF và CE M H; I; F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật) Cần chứng minh: M, I, F thẳng hàng. H E 1 1 MA ME AE(gt) và OA OC AC O 2 2 (t/c hình chữ nhật) I OM là đường trung bình của ACE · · F OM // CE ODC ICF (2 góc đồng vị) D C Mà O· DC O· CD & I·CF I·FC (vì OCD cân tại O, ICF cân tại I, t/c hình chữ nhật) O· CD I·FC IF / / AC mà IM //AC (do IM là đường trung bình ACE) M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng.
7. A - 13 - của đường tròn (O) đường kính BC (M, N là các tiếp điểm) E M,A,N,F,O thuộc đường tròn đường kính AO M D · · N ANM AFN (*) H ADH ~ AFC, AND ~ ANC B O F C AH.AF = AD.AC = AN2 AH AN ANH ~ AFN (c-g-c) AN AF ·ANH ¶AFN Kết hợp với (*) ta có: ·ANM ·ANH ·AFN H MN + Nếu ABC vuông tại B hoặc C thì HM hoặc HN ta có điều phải chứng minh. * Việc chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng nói trên cũng đã được đề cập đến trong nội dung câu 4.b đề thi HSG cấp tỉnh năm 2012 – 2013 của tỉnh Vĩnh Phúc. Bài 2: Từ một điểm D nằm ngoài đường tròn (O) đường kính BC, kẻ hai tiếp tuyến DE và DF với (O) (E, F là tiếp điểm). Trên đường thẳng EF lấy điểmA A ở phía ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AN với (O) ( N là tiếp điểm) . Chứng minh D, N, H thẳng hàng (H là trực tâm ABC) E Giải D Kẻ tiếp tuyến AM ( M (O)) M N Gọi giao điểm của AO và MN là I I 2 B AN = AE.AF O C Mà AN2 = AI.AO ( Hệ thức trong tam giác vuông) AE AI F AE.AF = AI.AO AO AF AIE ~ AFO ( cgc) Tứ giác EIOF nội tiếp D,E,I,O,F thuộc đường tròn đường kính OD. ·A IE D,M,N,I, M· IO 9 0thẳng0 hàng. Mặt khác M,H,N thẳng hàng (Kết quả bài tập 1) D,N,H thẳng hàng. Bài 3: (đường thẳng Sim sơn) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm tuỳ ý thuộc đường tròn (O). Gọi A 1, B1 C1 thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng.
8. - 15 - Đường thẳng Sim son của tam giác ABC ứng với điểm M là đường thẳng qua A1, B1, C1 Lấy điểm B2, C2 đối xứng với M qua AC, AB. Ta có ·AMB ·ACB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) · · Mà AMB AC2 B ( Tính chất đối xứng trục) Và ·ACB B· HD (Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) · · B H DTứ AgiácC2 B AC 2BH nội tiếp · · C2 HB C2 AB ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC2) · · · · · 0 Tương tự ta có: B2 HC B2 AC B2 HC2 BAC BHC 180 C2; H; B2 thẳng hàng B1C1 là đường trung bình của tam giác MB2C2 B1C1 đi qua trung điểm của MH. Trên đây là những định hướng nhằm giúp cho học sinh làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Đồng thời qua đó giới thiệu một số cách chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 6,7,8 và một số bài toán tham khảo dành cho học sinh giỏi. Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh những lập luận sai hoặc lập luận quanh co dẫn đến những sai lầm đáng tiếc. 3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp: Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau thời gian giảng dạy và học hỏi nghiên cứu, bản thân thấy dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một trong những kiến thức quan trọng đối với tất cả học sinh nói chung, nhất là đối với học sinh giỏi nói riêng . Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững các vấn đề vể lý thuyết cơ bản hình học từ lớp 6 dần dần dẫn dắt phát triển hình thành các kỹ năng chứng minh các bài toán hình học lên các lớp trên 3.4. Hiệu quả lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp: Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về cách lập luận và trình bày của học sinh nhất là từ học sinh lớp 6 ,7 vì đây là học sinh đầu cấp.Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ được.Từ đó học sinh có thể tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến vấn đè chứng minh ba điểm