Sáng kiến kinh nghiệm Bổ sung các kĩ thuật mới khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bổ sung các kĩ thuật mới khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

1. sở giáo dục đào tạo Hà Nội trường thpt cổ loa  SánG kiến kinh nghiệm Đề tài : Bổ sung các kĩ thuật mới khi sử dụng bất đẳng thức Côsi Người thực hiện: Trần Quốc Thép Tổ toán Trường THPT Cổ Loa Năm học: 2007 - 2008 0
2. Mục lục Trang Lời mở đầu 2 I. Cơ sở lí luận và lí do chọn đề tài 3 II.Phần nội dung đề tài II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi 3 II.2 Các kĩ thuật chính 1. Phương pháp chứng minh trực tiếp 4 2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng 6 3. Phương pháp cân bằng tổng 7 4. Phương pháp cân bằng tích 8 5. Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi 9 6. Kĩ thuật nhân nghịch đảo 12 II.3 Các bài tập chọn lọc 13 II.4 Một số kết luận và đề nghị 16 Tài liệu tham khảo 17 1
3. Lời mở đầu I.1 Cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn và lí do chọn đề tài. Như đã trình bày trong đề tài trước bất đẳng thức là một môn học khó đối với đa số học sinh nhưng cũng là một mảng kiến thức dễ đâm chồi nảy lộc những bông hoa đẹp nhất của tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi. Rèn luyện về bất đẳng thức giúp học sinh tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán, phát triển tư duy cho học sinh. Qua một năm giảng dạy theo chuyên đề bất đẳng thức tôi đã rút ra nhiều kinh nghiệm, cải tiến cũng như có các sáng kiến mới để giảng dạy mảng kiến thức này. Chính vì vậy cũng mạnh dạn đưa lên để các thày cô giáo tham khảo đánh giá, cùng bàn bạc để tìm được các phương hướng mới, cách thức mới để giảng dạy hiệu quả hơn. Các điều mới trong sáng kiến lần này là: bổ sung kĩ thuật nhân nghịch đảo, lấy nhiều ví dụ hay và đẹp cho các phương pháp đề ra, đặc biệt là phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi, sự bố trí các bài tập hợp lí ngay sau các lí thuyết như thế nào, bổ sung các lời giải và hướng dẫn cho các bài tập mà trước đây chỉ có đề bài. Hi vọng với một lượng bài tập và các ví dụ vừa đủ sẽ có tác dụng tốt cho các em học sinh. Các thầy cô chỉ cần bổ sung một lượng bài tập nhỏ là có thể xây dựng các chuyên đề hay cho học sinh của mình. Với sự nhiệt tình và say mê sáng tạo các thầy cô giáo sẽ giúp cho các em học sinh tự tin, dần tự mình tìm tòi học hỏi để làm chủ được kiến thức, đó là một thành công rất lớn của các thầy cô giáo. 2
4. I.2 Tóm tắt nội dung chính của đề tài Đề tài được trình bày theo cấu trúc sau: a) hệ thống các kiến thức cơ bản quan trọng b) hệ thống các kĩ thuật được sử dụng, bao gồm các ví dụ minh họa và các bài tập đi kèm để củng cố. c) phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng. d) một số đề xuất kiến nghị và các hướng khai thác kết quả. II.Phần nội dung đề tài II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi Bất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) được nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy đưa ra, nó có dạng sau: a a a 1 2 n n Cho a1,a2, an là các số không âm thì: a a a n 1 2 n Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an Chúng ta thường sử dụng cho bộ hai số hoặc bộ ba số, cụ thể là: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 a b 2 ab Đẳng thức xảy ra khi a = b a b c 33 abc Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Khi sử dụng BĐT Côsi ta phải chú ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức là các số a, b, c là những số không âm. Một điều rất quan trọng là phải nhấn mạnh cho học sinh là dấu bằng xảy ra khi nào, điều đó rất quan trọng để sử dụng kĩ thuật cân bằng tổng và cân bằng tích sau này. Để cho các em học sinh dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và giới thiệu thế nào là trung bình cộng và trung bình nhân, vì vậy ta thấy các bất đẳng thức Côsi đều có dạng chung là trung bình cộng lớn hơn trung bình nhân. 3
5. II.2 Các kĩ thuật chính 1. Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi. Mục đích chính của lớp bài tập này là giúp học sinh làm quen và có hứng thú đầu tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi. a b Bài tập 1. Chứng minh rằng a 0,b 0 : 2 (1) b a Phân tích: Ta đã chứng minh được bài tập này bằng phương pháp biến đổi tương đương, sau đây là một cách làm khác: a b Giải: do a>0 và b>0 nên 0, 0 vì vậy áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: b a a b a b a b a b 2 2 1 2 b a b a b a b a a b Dấu bằng xảy ra khi a 2 b 2 a b b a Các bài tập mà các thầy cô giáo cho học sinh vận dụng tương tự có thể là: a b c b c 4 a,b,c 0 CMR : 1) 3 2) 2a 33 2c 3) a 4 b c a a b a Tiếp tục phát triển áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1 1 Bài tập 2: Chứng minh rằng: a,b 0 (a b)( ) 4 (2) a b Phân tích: Có nhiều cách giải bài tập trên: Cách 1: là nhân ra ở vế trái sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a/b và b/a. Cách 2: Qui đồng rồi đưa về (a+b)2 ≥ 4ab, khai căn để trở về bất đẳng thức Côsi v.v Tuy nhiên các phép biến đổi đó là dài ta có thể làm như sau: 1 1 Giải: Vì a > 0, b > 0 nên 0, 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a b a b 2 ab  1 1 1 1 1 1 1 1  (a b)( ) 2 ab.2 (a b)( ) 4 2 a b ab a b a b ab  Dấu bằng xảy ra khi a = b. Các bài tập tương tự có thể dùng để củng cố 1 1 1 1) a,b,c 0 (a b c)( ) 9 (3) a b c 4
6. 2) a,b,c 0 i) (a b)(b c)(c a) 8abc (4) ii) (a b)(ab 1) 4ab (5) iii) (a b c)(a 2 b 2 c 2 ) 9abc (6) a b c iv) ( 1)( 1)( 1) 8 (7) b c a a 3b a 3c b3c b3a c 3a c 3b v) 6abc c b a c b a vi) a 2 (1 b2 ) b2 (1 c 2 ) c 2 (1 a 2 ) 6abc Lúc này ta nên chú ý cho học sinh là: từ các bất đẳng thức trên bằng các phép biến đổi tương đương ta có thể suy ra một số bất đẳng thức phụ khá hữu ích: 1 1 4 1 4 (2a) (2b) a b a b ab (a b)2 a b 1 1 1 1 ( )2 ab (2c) ( ) (2d) 2 a b 4 a b 1 1 1 1 1 ( ) (3a) a b c 9 a b c Mà nó có thể áp dụng để giải một vài bài tập khó rất đơn giản: 1) Với a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0 1 1 1 CMR: 9 (Đại học Bách khoa) (8) a 2 2bc b 2 2ac c 2 2ba 2) ĐHKHTN - 2000: Cho x, y, z > 0 với x 2 y 2 z 2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P (9) xy 1 zy 1 xz 1 Giải: 1 1 1 ( )(xy 1 yz 1 zx 1) 9 xy 1 zy 1 xz 1 9 9 9 A xy yz zx 3 x 2 y 2 z 2 3 6 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3/2. 5
7. 2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng. Đây là một kĩ thuật phổ biến khi dùng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và hiệu quả khi dùng và tạo rất nhiều hứng thú cho học sinh. ab bc ac Bài tập 3: Chứng minh a,b,c 0 thì a b c (9) c a b Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có thể làm ngay được, vì vậy ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số. ab bc ac Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên 0, 0, 0 áp dụng bất đẳng thức c a b Côsi cho các cặp: ab bc ab bc ab bc  2 . 2b c a c a c a bc ac bc ac bc ac ab bc ac 2 . 2c  2( ) 2(a b c) đpcm a b a b a b c a b ac ba ac ba ac ba 2 . 2a b c b c b c  Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Ta thấy rằng phương pháp này áp dụng có hiệu quả rất tốt cho một lớp các bài tập sau: a b c 1 1 1 1) 2) a 2 b2 c 2 ab ca bc bc ac ab a b c 3) 3a 2b 4c ab 3 bc 5 ca 4) a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2 abc(a b c) . Ngoài ra để tránh nhàm chán các thầy cô có thể bổ sung thêm một loạt các bài tập khác ở mức độ khó hơn: 1) Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) x x x 12 15 20 x x x 2) Chứng minh rằng : 3 4 5 ( khối D-2004) 5 4 3 3) Nếu x, y z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 thì 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3 xy yz zx a2 b2 b2 c2 c2 b2 4) a,b,c 0 : a b c 2c 2a 2a 6
8. 3. Phương pháp cân bằng tổng Phương pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi “ nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau”. Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S1 + S2+ + Sn ≥ m , ta biến đổi S = A1+A2+ +An là các số không âm mà có tích A1A2 An = C không đổi, sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi. Bài tập 4: 1 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x + khi x > 1 x 1 1 Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - 1 > 0 và > 0 ta có x 1 1 1 1 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 3 . Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ x 1 x 1 x 1 x 1 nhất là 3 khi x = 2. 1 Bài tập 5. Chứng minh rằng nếu x > -1 thì 2x 1 (x 1)2 Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy chưa ra kết quả, nhưng nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh. 27 Bài tập 6. Chứng minh rằng nếu x ≥ 0 thì x 1. (x 3)3 Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì vậy phải phân tích x thành 3 số hạng là (x+3)/3 x 3 x 3 x 3 27 Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương 3 1 3 3 3 (x 3)3 x 3 x 3 x 3 27 4 . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương gồm 3 3 3 (x 3)3 x 3 27 ba số và ta có điều phải chứng minh. 3 x 3 3 Dấu bằng xảy ra khi x=0 Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tương tự sau: 2 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x với x > 0 2x 1 7
9. 2x 9 2) Chứng minh rằng nếu nếu x > - 3 thì 1 3 x 3 2 b 3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a + 3 (a b)(b 1) 2 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: 2 3 1 x y 3x 6 Hướng dẫn: từ biểu thức ta có y = 3 do vậy x 2 x 2 6 6 Q = x y x 3 x 2 5 x 2 x 2 ab a 2 b 2 5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R = với a > 0, b > 0 a 2 b 2 ab ab a2 b2 3 a2 b2 Hd: R = . sau đó dùng bất đẳng thức Côsi. Các thầy cô a2 b2 4ab 4 ab cố gắng đặt cho học sinh cho học sinh câu hỏi là tại sao lại làm như vậy? 2 6) Chứng minh rằng (x 2)2 3 (a 0) x 2 4. Phương pháp cân bằng tích. Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: “ Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau”. Mở rộng ta có: để chứng minh một biểu thức có dạng P= P1P2 Pn ≤ M ta phân tích P = B1B2 Bn là các số không âm mà tổng B1 + B2+ + Bn = C là một số không đổi. 4 Bài tập 7. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1 chứng minh rằng ab2 ≥ . 27 Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng đó chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1. b b Giải: ab2 = 4 a . . mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương là a, 2 2 b b a b b 1 b b 1 b b 4 b/2,b/2 ta có: 3 a. . 2 2 a. . 4a. . đpcm. 2 2 3 3 2 2 27 2 2 27 Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3. Các bài tập tương tự mà các thầy cô có thể vận dụng cho học sinh là: 8