SKKN Ứng dụng Định lí Vi-ét để tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9

Nội dung text: SKKN Ứng dụng Định lí Vi-ét để tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9

1. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai Mục lục Trang Phần I: Mở đầu 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích yêu cầu 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 Phần II: Nội dung đề tài 3 Chương I: Một số kiến thức cơ bản 3 Chương II: Các dạng toán cơ bản thường gặp liên quan 4 Chương III: Thực nghiệm sư phạm - Các ứng dụng cụ thể 4 I. Mục đích thực nghiệm 4 II. Nội dung thực nghiệm - Các bài toán cụ thể 4 III. Thực nghiệm sư phạm 20 Phần III: Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 1
2. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai Phần I. Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Môn Toán là một trong những môn khoa học cơ bản trong nhà trường phổ thông, bởi vì Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật cũng như ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày. Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say mê và hứng thú học Toán. Bởi vì cái khó của các em là không biết vận dụng lí thuyết vào làm bài tập như thế nào? Tư duy về Toán học còn hạn chế. Song, điều lí thú của người yêu môn Toán, học Toán là sự khám phá, tìm tòi sáng tạo. Tôi là người cũng yêu thích Toán học, đặc biệt là ở lĩnh vực Đại số. Đã nhiều năm giảng dạy môn Toán, tiếp cận với nhiều tác phẩm kiến thức Toán học của nhiều tác giả nổi tiếng, tôi cũng tập cho mình thói quen tìm tòi khám phá, sáng tạo, tích luỹ. Trong chương trình Đại số cấp THCS nói chung và Đại số 9 nói riêng thì việc giải Phương trình bậc hai một ẩn là một công việc hết sức quan trọng, đặc biệt là phương trình bậc hai một ẩn có chứa tham số. Muốn giải quyết được dạng toán trên nhát thiết buộc người giải phải áp dụng tới Định lí Vi - ét. Chính vì tầm quan trọng của Định lí Vi - ét trong việc giải dạng toán trên nên tôi đã chọn và soạn thảo đề tài " ứng dụng Định lí Vi - ét để tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9" Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 2
3. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh THCS có sự định hướng để giải các bài toán tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai, đặc biệt có lối suy nghĩ nhanh nhẹn, linh hoạt cho các trường hợp và thấy được ứng dụng rộng rãi của định lí Vi - ét. Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, việc khai thác nội dung bài toán, tìm ra phương pháp giải có tác dụng tích cực trong phát triển tư duy lô gíc, kĩ năng, sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán THCS 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với đề tài này theo tôi để đề tài có tính chất khả thi thì nhiệm vụ cơ bản nhất là khai thác triệt để tiềm năng sách giáo khoa tạo tiền đề, cơ sở vững chắc về mặt kiến thức, phải năm chắc kiến thức cơ bản của sách giáo khoa, làm được hết tất cả các bài tập trong sách giáo khoa một cách thành thạo, hiểu rõ các yêu cầu và biết phân dạng loại bài tập rồi từ đó khai thác các bài tập ở các tài liệu tham khảo. Lí thuyết: Dạng phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm (thu gọn) của phương trình bậc hai một ẩn, Hệ thức Vi - ét và ứng dụng, cách xác định dấu các nghiệm Các dạng bài toán xảy ra với từng điều kiện cụ thể. 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu đối với học sinh lớp 9 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lí luận và thực nghiệm sư phạm. Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 3
4. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai Phần II. Nội dung đề tài Chương I: Một số kiến thức cơ bản 1. Dạng phương trình bậc hai một ẩn x: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) (1) 2. Công thức nghiệm của phương trình (1): Biệt thức b 2 4ac ( ' b'2 ac , với b = 2b') - Nếu > 0 (hoặc ' > 0 ): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b b' ' b b' ' x ( x ); x ( x ) 1 2a 1 a 2 2a 2 a - Nếu = 0 (hoặc ' = 0 ): Phương trình (1) có kép (nghiệm duy nhất) b b' x x ( x x ) 1 2 2a 1 2 a - Nếu 0 P 0: Hai nghiệm 0 P > 0 Hai nghiệm cùng dấu dương S < 0: Hai nghiệm âm Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 4
5. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai Chương II: Các dạng toán cơ bản thường gặp liên quan + Tìm điều kiện của tham số (m) thoã mãn điều kiện về nghiệm của phương trình. + Tìm điều kiện của tham số (m) thoã mãn điều kiện về dấu của các nghiệm. + Tìm giá trị của tham số (m) thoã mãn hệ thức cho trước. + Tìm giá trị của tham số (m) thoã mãn biểu thức nghiệm đạt cực trị. + Tìm giá trị của tham số (m) thoã mãn hệ thức hình học Chương III: Thực nghiệm sư phạm - Các ứng dụng cụ thể I. Mục đích thực nghiệm Trong chương trình Đại số cấp THCS nói chung và Đại số 9 nói riêng thì việc giải Phương trình bậc hai một ẩn là một công việc hết sức quan trọng, đặc biệt là phương trình bậc hai một ẩn có chứa tham số. Muốn giải quyết được dạng toán trên nhát thiết buộc người giải phải áp dụng tới Định lí Vi - ét. Chính vì tầm quan trọng của Định lí Vi - ét trong việc giải dạng toán trên nên tôi đã chọn và soạn thảo đề tài " ứng dụng Định lí Vi - ét để tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9" II. Nội dung thực nghiệm Xét bài toán Cho phương trình: (m - 3)x 2 - 2mx + m +2 = 0(1); m là tham số. 1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm: Ta có: Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 5
6. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai - Nếu m = 3 thì phương trình (1) trở thành -6x + 5 = 0 có nghiệm duy 5 nhất x = 6 - Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai. Phương trình (1) có nghiệm ' 0 (-m)2 - (m - 3).(m + 2) 0 m + 6 0 m -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm với m -6 2. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất: Ta có - Nếu m = 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc nhất -6x + 5 5 = 0 có nghiệm duy nhất x = 6 - Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất '= 0 m + 6 = 0 m = -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m = 3 hoặc m = -6 3. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m 3 m 3 m 3 ' 0 m 6 0 m 6 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m 3 và m > -6 4. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép: Phương trình (1) có nghiệm kép m 3 m 3 m 3 m = -6 ' 0 m 6 0 m 6 Vậy với m = -6 thì phương trình (1) có nghiệm kép Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 6
7. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai 5. Tìm giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm: Ta có: - Nếu m = 3 thì phương trình (1) trở thành -6x + 5 = 0 có 5 nghiệm duy nhất x = 6 - Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai. phương trình (1) vô nghiệm m 3 m 3 m 3 m < -6 ' 0 m 6 0 m 6 Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi m 3 và m < -6 6. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2: Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được (m - 3). (-2)2 - 2m(-2) - 2 + 2 = 0 3 4m -12 + 4m = 0 8m = 12 m = 2 3 Vậy với m = thì phương trình (1) có một nghiệm x = -2 2 7. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dáu m 3 m 3 m 3 m 2 P x1.x2 0 0 2 m 3 m 3 2 m 3 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi -2 < m < 3 8. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu: Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 7
8. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai m 3 m 3 m 3 6 m 2 ' 0 m 6 0 m 6 m 3 P x .x 0 m 2 1 2 m 2 0 m 3 m 3 9. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm: Phương trình (1) có hai nghiệm âm m 3 m 3 m 6 (không tồn tại m) m 3 m 3 0 m 3 m 6 0 m 6 ' 0 2m m 3 0 0 m 3 S 0 m 3 m 3 m 2 P 0 m 2 m 6 (không tồn tại m) 0 m 3 m 3 0 m 3 m 2 Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm 10. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương: Phương trình (1) có hai nghiệm dương Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 8
9. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai m 3 m 6 -6 m 3 Vậy với -6 m 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương 11. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu: Phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt cùng dấu m 3 m 3 m 3 m 6 ' 0 m 6 0 P 0 m 2 m 2 0 m 3 m 3 6 m 2 m 3 12. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 9
10. ứng dụng Định lí Vi - ét để giải bài toán bậc hai m 3 m 3 m 3 m 6 0 m 6 ' 0 2m 0 0 m 3 (không tồn tại giá trị của m) S 0 m 3 m 2 P 0 m 2 0 m 3 m 3 Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm 13. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương: Phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt cùng dương m 3 m 3 m 3 m 6 0 m 6 ' 0 2m m 0 6 m 2 0 S 0 m 3 m 3 m 3 P 0 m 2 m 2 0 m 3 m 3 Vậy với - 6 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương 14. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép dương Phương trình (1) có nghiệm kép dương m 3 m 3 m 3 ' 0 m 6 0 m 6 m = -6 b 2m m 0 0 0 a m 3 m 3 Vậy với m = -6 thì phương trình (1) có nghiệm kép dương. 15. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép âm Phương trình (1) có nghiệm kép âm Người thực hiện: Trần Hữu Đức Trang 10