SKKN Tìm nhiều lời giải cho bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh Lớp 7

Nội dung text: SKKN Tìm nhiều lời giải cho bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh Lớp 7

1. Bài tập nghiên cứu khoa học: Tìm nhiều lời giải cho bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 7 Năm học 2006 - 2007
2. Mục lục Mục lục Trang Mục lục 2 A. Mở đầu B. Cơ sở lý luận I. Mục đích của việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học. II. Mục đích của việc TNLGBT hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp7 III. Phát triển trí tuệ và rèn luyện kỹ năng thực hành thông qua việc giải một bài toán C. Nội dung I. Bài toán II.áp dụng Kết quả thực hiện D. Kết luận Tài liệu tham khảo 2
3. A: Mở đầu Toán học là một môn khoa học tự nhiên giúp học sinh phát triển trí thông minh, tư duy sáng tạo góp phần đào tạo ra những con người phát triển toàn diện. Thông qua thực tế giảng dạy môn toán, tôi nhận thấy việc giảng dạy cho học sinh những kiến thức cơ bản về các quan hệ hình học xung quanh chúng ta, mà nó còn dạy cho học sinh cách suy nghĩ sáng tạo, tư duy logic. Lớp7 là lớp đầu tiên học sinh chính thức được học môn hình học do đó việc tiếp thu kiến thức, giải các bài tập hình học còn nhiều hạn chế. Để giảng dạy môn hình học đạt được kết quả cao, ngoài việc truyền đạt những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, thì người giáo viên còn phải biết hệ thống các kiến thức cơ bản đó, xây dựng các phương pháp giải toán. Một bài toán được giải dưới nhiều hình thức khác nhau sẽ tạo cho học sinh hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo, giúp học sinh hiểu sâu nhớ lâu các kiến thức cơ bản một cách có hệ thống, rèn luyện cho học sinh những kỹ năng, thói quen cần thiết tìm được hướng đi từ giả thiết đến kết luận một cách đúng đắn. Trong đề tài này tôi xin nêu một số phương pháp: “Tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học” 3
4. B - Cơ sở lý luận I. Mục đích của việc bồi dưỡng năng lực giải toán 1. Vị trí Tìm nhiều lời giải (TNLG) cho một bài toán giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Thực vậy, do tính trừu tượng của toán học, đặc biệt là hình học, có thể giúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh óc trừu tượng, suy luận logic chặt chẽ. Việc tìm kiếm lời giải cho bài toán có tác dụng to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết các vấn đề: biết quan sát, mò mẫm, dự đoán, chứng minh và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo. TNLG cho một bài toán tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng, đạo đức trong cuộc sống và lao động, xây dựng cơ sở của thế giới quan khoa học, giáo dục long yêu nước xã hội chủ nghĩa, rèn luyện nhiều đức tính quý báu như lao động có kỷ luật, kiên trì, tự lực, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lý. Nó có khả năng góp phần giáo dục học sinh năng lực cảm thụ cái đẹp: cái đẹp trong lao động sáng tạo, cái đẹp của những ứng dụng phong phú của toán học, cái đẹp của những lời giải hay. 2. Mục đích TNLG cho một bài toán làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng giải toán, có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau, vào đời sống, lao động sản xuất, vào việc học tập những môn học khác. TNLG cho một bài toán nhằm phát triển học sinh những năng lực và phâm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành tri thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong việc học tập hiện nay và mãi mãi về sau. II. Mục đích của việc TNLG cho một bài toán hình học Về kiến thức và kỹ năng Hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm (tam giác, tam giác cân, tam giác vuông cân, tính chất các đường trong tam giác, hệ quả ) và nắm được phương pháp giải quyết một loạt vấn đề, giúp học sinh nắm được ngôn ngữ, ký hiệu toán học liên quan đến các khái niệm, tính chất. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng các đoạn thẳng bằng nhau ,hai đoạn thẳng song song ,hai đường thẳn vuông góc , kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập và trình bày lời giải rõ ràng. 4
5. 2. Về phát triển trí tuệ - Phát triển ở học sinh tư duy logic, ngôn ngữ chính xác thông qua các khái niệm, định nghĩa, phân chia các khái niệm thông qua việc thành lập các phán đoán và suy luận - Phát triển ở học sinh năng lực tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong quá trình nhận thức lời giải và các khái niệm định lý tính chất ngôn ngữ của hình học. - Phát triển ở học sinh các phẩm chất trí tuệ: tư duy độc lập, tư duy linh hoạt, sáng tạo: tìm nhiều lời giải, nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh - Phát triển óc quan sát và trí nhớ 3. Về tư tưởng đạo đức Xây dựng cho học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất thực tiễn của toán học, nêu rõ quan điểm hành động và tương quan giữa các sự vật, giáo dục lòng yêu nước thông qua lời giải của một bài toán. III. Phát triển trí tuệ và rèn luyện kỹ năng thực hành thông qua việc giải một bài toán bằng nhiều cách 1. Rèn luyện các thao tác tư duy a) Phân tích và tổng hợp Phân tích giả thiết và kết luận, sự liên hệ giữa giả thiết và kết luận. Phân tích các ý, các bước chứng minh, mối liên hệ giữa định lý này và định lý khác rồi tổng hợp lại để được lời giải của bài toán đã cho. b) So sánh So sánh giữa các cách giải của một bài toán như: cùng chứng minh một ý nào? các ý khác nhau chứng minh khác nhau như thế nào? Rồi tổng hợp lại các cách giải, xem cách giải nào hay, ngắn gọn, dễ hiểu, dễ nhớ. 2. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác thể hiện quá cách trình bày các cách giải khác nhau của bài toán. 3. Rèn luyện các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập và sáng tạo: biểu hiện ở khả năng tự mình thấy được vấn đề phải giải quyết và tự mình tìm ra lời giải đáp cho bài toán, không đi tìm những lời giải sẵn, không dựa dẫm vào ý nghĩ và lập luận của người khác. 4. Rèn luyện các kỹ năng thực hành: đo đạc, vẽ hình tạo cho học sinh tính cẩn thận, chu đáo, nhanh trí 5
6. C. nội dung Để giải bài toán bằng nhiều cách đòi hỏi học nắm vững kiến thức cơ bản .Giáo viên người hướng dẫn và dẫn dắt học sinh phân tích và tổng hợp kiến thức để học sinh có thể tìm được những cách giải hay cho bài toán .Sau đây là một số bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 7 được giải bằng nhiều cách . I. Bài toán : 1.Bài toán 1 Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông . Chứng minh : + Cách 1: Dùng kiến thức của tam giác cân . b Ta có : AM = BM = MC = 1 BC (gt) 2 ABM và AMC cân m B = A1 ;  C = A2 0 A1 + A2 = 90 Vậy tam giác ABC vuông tại A A c Đường trung bình của tam giác được giớib thiệu trong chương trình lớp 8 .Tuy nhiên học sinh có thể chứng minh được các định lí sau bằng kiến thức Hình học 7 m Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba Định lí 2: A c Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy Trong đề tài này tôi không đưa ra cách chứng minh hai định lí mà nêu ra để áp giải các bài toán 6
7. + Cách 2: Dùng kiến thức đường trung bình trong tam giác Kẻ MN// AC .Khi đó : BMN =  ACM (1) b  NMA =  MAC (2) m MAC cân (vì AM =MC (gt)) n => ACM =  MAC (3) Từ (1) (2) (3) suy ra :  BMN =  NMA A c MN là tia phân giác của MAB cân MN  AB (4) Mà: MN // AB (5) Từ (4) (5) suy ra : AC  AB Vậy tam giác ABC vuông tại A + Cách 3 : Lấy B' thuộc tia đối của tia BA sao cho : AB = AB' Ta có AM là đường trung bình của BCB, b 1 AM B,C 2 m 1 = => B'C = BC AM BC(gt)  2 => CB'B cân tại C có AC là đường trung tuyến A c nên suy ra : AC  BB, AC  AB Vậy tam giác ABC vuông tại A b' 7
8. + Cách 4 : Dùng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông Kẻ tia xy // BC Ta chứng minh được tia AB ,AC là hai tia phân giác của góc xAM và yAM A1 = A2; A3 = A4 0 0  A2 + A3 = 90 => BAC = 90 x A y Vậy tam giác ABC vuông tại A B m c + Cách 5 : Dùng phương pháp chứng minh phản chứng. Giả sử góc : A B + C 900 =>  A + B + C > 1800 (Điều này vô lí ) A B Vậy góc A=900 suy ra ABC vuông tại A 8
9. + Cách 6: Dùng kiến thức Trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c ); (c.g.c) Trên tia đối của MA lấy MA=MD Xét AMB và DMC có : b d m A c MD = MA (gt)  BMA =  DMC (đối đỉnh ) AMB = DMC (c-g-c) MB =MC (gt)  => ABC = BCD => AB // CD ( Vì cặp góc so le trong bằng nhau) =>  BAC +  DCA = 1800 (1) Xét ABC và CDA có : AB =CD (vì AMB = DMC) BC = AD (gt) ABC = CDA(c.c.c) AC cạnh chung  => BAC = BCA (2) Từ (1)(2) suy ra : góc BAC =900 Vậy tam giác ABC vuông tại A Tóm lại: Qua bài toán trên học sinh nắm được hệ thống kiến thức về tam giác cân, đường trung bình trong tam giác, tia phân giác, trường hợp bằng nhau của tam giác và các phương pháp chứng minh. Đồng thời học sinh có thể áp dụng nội dung bài toán để giải các bài tập hình học khác. 9
10. 2. Bài toán 2 : Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi AM là phân giác ngoài của góc A. Chứng minh rằng :AM//BC D GT Cho ABC có AB=AC DAM = MAC KL AM// BC a m Chứng minh : + Cách 1: Dựa vào cặp góc so le trong Ta có: DAC = B + C (Vì góc DAC là góc ngoài của ABC) mà B = C (gt) b c => B = C = 1/2 DAC (1) ADM =  MAC = 1/2 DAC (tính chất tia phân giác ) (2) Từ (1)(2) => AM // BC (vì cặp góc so le trong bằng nhau) + Cách 2: Dựa vào cặp góc đồng vị Chứng minh tương tự cách 1 : suy ra : MAC = B => AM // BC ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau ) + Cách 3 : Dựa vào cặp góc trong cùng phía bù nhau Ta có: DAC = B + C (Vì góc DAC là góc ngoài của ABC) mà B = C (gt) B = C = 1/2 DAC (1)  AMC=1/2 DAC (tính chất tia phân giác ) (2) Trong ABC :  BAC + B + C = 1800 (3) Từ (1)(2)(3) suy ra :  BAC + B + AMC = 1800 hay  MAB + B = 1800 => AM //BC (Vì cặp góc trong cùng phía bù nhau ) 10
11. + Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình Trên tia đối của tia AB lấy AD=AB D AD =AC (1) ADC cân tại A có AM là tia phân giác (gt) AM là trung tuyến MC=MD (2) A M Từ (1)(2) AM là đường trung bình của BDC AM// BC + Cách 5 : Dùng tính chất của tam giác cân B C D Kẻ AH  BC(1) AH là đường phân giác của góc A HAM = 90 0 a (Góc tạo bởi 2 tia phân giác của m hai góc kề bù ) HA  AM(2) Từ (1) và (2) ta có : AM//BC b c Tóm lại: Bài toán 2 giúp học sinh hế thống được các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song. Ngoài ra tìm thêm được một phương pháp mới đó là sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác. 11