SKKN Phương trình và bất phương trình trong việc vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số

Nội dung text: SKKN Phương trình và bất phương trình trong việc vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số

1. MỤC LỤC A/ PHẦN MỞ ĐẦU: I.Lý do chọn đề tài: II. Phạm vi nghiên cứu, đối tượng và cơ sở nghiên cứu: 1/ Phạm vi nghiên cứu: 2/ Đối tượng nghiên cứu: 3/ Cơ sở nghiên cứu: III. Phương pháp nghiên cứu: 1/ Phương pháp chính: 2/ Phương pháp bổ trợ; B. NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: I. Thực trạng của vấn đề: II. Các biện pháp đề xuất: Biện pháp 1: Vận dụng tập giá trị của hàm số. Biện pháp 2: Vận dụng đồ thị của hàm số. III. Phân tích đối chiếu so sánh tác dụng các biện pháp: 1/ Phân tích đối chiếu: 2/ Tác dụng các biện pháp: 3/ Kết quả đạt được: C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT: I. Kết luận: II. Đề xuất: 000
2. ĐỀ TÀI : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG VIỆC VẬN DỤNG TẬP GIÁ TRỊ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.  A/ PHẦN MỞ ĐẦU: I/ Lý do chọn đề tài: Phương trình và bất phương trình là một trong những cụm kiến thức cơ bản xuyên suốt trong quá trình giải toán của học sinh ở bậc trung học. Đặc biệt đối với các phương trình và bất phương trình có chứa tham số, nó đòi hỏi học sinh phải xác định điều kiện của tham số thoả mãn điều kiện nào đó của ẩn số. Tôi nhận thấy rằng đối với các bài toán này đại đa số học sinh thường lúng túng trong phương pháp giải, lời giải dài dòng, không lôgích và thường dễ bị thiếu sót hoặc sai lầm trong quá trình giải. Qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi thấy rằng để giúp cho các em học sinh có một định hướng và hệ thống hoá một số phương pháp giải làm công cụ cho việc giải quyết các bài toán trên đồng thời tạo điều kiện để đồng nghiệp có một tư liệu để tham khảo trong quá trình giảng dạy đó là phương trình và bất phương trình trong việc vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số. Sở dĩ tôi muốn đề cập đến vấn đề này vì đây là một công cụ giúp cho học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán trên, và đây cũng là một vấn đề mà học sinh chưa được cung cấp một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông. Đó chính là lý do mà tôi chọn đề tài này. II. Phạm vi nghiên cứu, đối tượng và cơ sở nghiên cứu: 1/ Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu đến các phương trình và bất phương trình có chứa tham số, nó đòi hỏi học sinh phải xác định điều kiện của tham số khi phương trình và bất phương trình đã cho với điều kiện nào đó của ẩn. 2/ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12 đã giảng dạy trong các năm qua. 3/ Cơ sở nghiên cứu: Trường THPT Chuyên KonTum. III. Phương pháp nghiên cứu: 1/ Phương pháp chính: - Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa. - Thực hành thông qua quá trình giảng dạy. 2/ Phương pháp bổ trợ: - Điều tra kết qủa học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt được của học sinh khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài. B/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: I/ Thực trạng của vấn đề: - 1 -
3. Như đã đề cập ở trên, ở đây tôi xin đề cập đến một vài bài toán với cách giải mà học sinh thường làm để từ đó thấy được thực trạng và những hạn chế của học sinh khi giải quyết các bài toán phương trình và bất phương trình có chứa tham số. +Bài toán1: Định m để phương trình 4 x – m.2x +1 + 3 – 2m = 0 (1) cĩ đúng một nghiệm thuộc khoảng 0;1 . Trong bài tốn nầy học sinh thường giải như sau: Ta cĩ: (1) (2x)2– 2m.2x + 3 – 2m = 0 Đặt t = 2x . Vì 0< x <1 1 < t < 2 Khi đó (1) f(t) = t2 - 2mt + 3 – 2m = 0 (2) (1) có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng 0;1 (2) có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng 1;2 t1 1 t2 2 1< t1 2 t2 (t1; t2 là 2 nghiệm của f(t) ) 1 t1 = t2 2 Đến đây học sinh vận dụng các tính chất so sánh một số với các nghiệm của một 7 tam thức bậc hai để suy ra điều kiện của m là: 1 m 6 Việc giải như trên phần lớn học sinh không xác định đấy đủ và đúng các điều kiện để (a) ; (b) ; (c) xảy ra. Lời giải dài dòng và thường dẫn đến kết quả sai. +Bài toán 2: Định m để phương trình sau có nghiệm: x4 – mx3 + (m + 2)x2 – mx + 1 = 0 (1) Từ (1) x 0 . Chia hai vế của (1) cho x2 khi đó: m 1 (1) x2 mx (m 2) 0 x x2 2 1 1 x 2 m x m 2 0 x x 1 Đặt t = x ( t 2) x (1) t2 – mt + m = 0 (2) Vậy: phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t thoả t 2 Đến đây học sinh thường giải theo các hướng sau: + Cách 1: Xét các trường hợp phương trình (2) có nghiệm t thoả t 2 . Dùng tính chất so sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai. Cách giải này xảy ra nhiều trường hợp về nghiệm. Vì vậy cách giải này quá dài dòng. + Cách 2: Giải bài toán ngược. Tức là định m để phương trình (2) có hai nghiệm thuộc khoảng (- 2; 2) , từ đó suy ra điều kiện của m để phương (2) có nghiệm t thoả 4 m t 2 là : 3 m 4 +Bài toán 3: Định a để bất phương trình x2 - 4 x + 3 – a < 0 (1) có nghiệm. - 2 -
4. Trong bài toán này học sinh thường giải như sau: x2 - 4x + 3 - a - 1. Trong bài toán này với cách giải thông thường thì phải đòi hỏi đến kỹ năng biện luận các khả năng xảy ra để hệ có nghiệm, như thế lời giải dài dòng và thường dẫn đến kết quả sai. Qua các bài toán đã đề xuất và với các cách giải mà học sinh thường giải như đã nêu cho ta thấy được thực trạng của học sinh khi giải quyết các bài toán trên. II/ Các biện pháp đề xuất: Trước khi đề cập đến các vấn đề ta cần thấy được mối quan hệ giữa tập giá trị của hàm số, đồ thị của hàm số và bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên của hàm số ta được : Chiều biến thiên của hàm số (biễu diễn bởi các mũi tên) minh họa cho ta hình ảnh đồ thị của hàm số, đồng thời qua bảng biến thiên của hàm số cho ta xác định được tập giá trị của hàm số. Như vậy khi dùng đến tập giá trị của hàm số, đồ thị của hàm số ta có thể vận dụng đến bảng biến thiên của hàm số. 1/ Biện pháp 1: Vận dụng tập giá trị của hàm số + Vấn đề 1: Cho phương trình f(x) = m . Phương trình có nghiệm trong khoảng K khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số f(x) trong khoảng K. Ví dụ 1: Xác định m để phương trình sau có nghiệm x4 – 2x2 – 3 – m = 0 (1 ) Giải Ta có (1 ) Û m = x4 – 2x2 – 3 Xét hàm số f(x) = x4 – 2x2 – 3 Tập xác định D = R éx = 0 f/(x) = 4x(x2 – 1 ) ; f/(x) = 0 Û ê ëêx = ± 1 Bảng biến thiên: x -¥ - 1 0 1 +¥ f/(x) - 0 + 0 - 0 + +¥ -3 +¥ f(x) - 4 - 4 Từ bảng biến thiên ta được tập giá trị của hàm số f(x) là T = [- 4; + ¥ ) - 3 -
5. Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi m Î T Tức là : m ³ - 4 *Nh?n xét: Trong bài toán nầy nếu giải theo cách giải thông thường, tức là : Đặt t = x2 (t ³ 0 ). Phương trình (1) trở thành t2 – 2t – 3 – m = 0 Khi đó: Phương trình (1) Û Phương trình (2) có nghiệm t ³ 0 Việc giải bài toán nầy trở nên dài dòng. Ví dụ 2: Định a để phương trình sau có nghiệm Sin6x + cos6x = a sin 2x (1 ) Giải 3 3 (1) Û (sin2 x) + (cos2 x) = a sin 2x Û (sin2 x + cos2 x)(sin4 x - sin2 x. cos2 x + cos4 x) = a sin 2x Û 1 - 3 sin2 x. cos2 x = a sin 2x 3 Û 1 - sin2 2x = a sin 2x 4 Û 3 sin2 2x + 4a sin 2x - 4 = 0 (2) Đặt t = sin 2x (0 £ t £ 1) Khi đó (2 ) Þ 3t2 + 4at – 4 = 0 (3 ) 4 - 3t 2 Từ (3 ) ta thấy t¹ 0. Do đó (3 ) Û a = 4t Vậy phương trình (1) có nghiệm Û Phương trình (3) có nghiệm t Î (0;1] 4 - 3t 2 Xét hàm số f(t) = với t Î (0;1] 4t 1 3 f/(t) = - - < 0 " t Î (0;1] t 2 4 Bảng biến thiên: x 0 1 f/(t) – f(t) +¥ 1 4 é1 ö Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T = ê ; ¥ ÷ ëê4 ø÷ 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi a ³ . 4 *Nhận xét: Trong bài toán nầy nếu giải với cách giải thông thường đó là : Phương trình (1) có nghiệm Û Phương trình (2) có nghiệm Î (0;1] - 4 -
6. ét £ 0 0 (" t : t ³ 2) t 2 Bảng biến thiên t -¥ - 2 2 +¥ f/(t ) 3 - +¥ f(t ) 2 7 -¥ 2 æ 3ù é7 ö Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là: T = ç- ¥ ;- úÈ ê ; ¥ ÷ èç 2ûú ëê2 ø÷ 3 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi : m £ - hay m ³ 2 2 *Nhận xét: - Trong bài toán nầy nếu ta rút m ngay từ đầu thì hàm số cần xét có dạng phức tạp. - Nếu giải theo cách giải thông thường, tức là : - 5 -
7. Phương trình (1) có nghiệm Û Phương trình (2) có nghiệm t thỏa t ³ 2 Giải theo cách nầy thì có nhiều khả năng xảy ra đối với t .Khi đó việc giải trở nên dài dòng và phức tạp . Học sinh thường giải thiếu trường hợp và dẫn đến kết quả sai. + Vấn đề 2: Nếu m = min f (x) ; M = max f (x) x Î D x Î D + f(x) ³ c (" x Î D) Û m ³ c + $x Î D : f (x) ³ c Û M ³ c + f(x) £ c (" x Î D) Û M £ c ( c: hằng số) + $x Î D : f (x) £ c Û m £ c Ta chú ý thêm: +Nếu f(x) > c (" x Î D) thì : *) f(x) > m nghiệm đúng " x Î D khi m£ c *) $x Î D : f(x) > m nghiệm đúng khi m³ c +Nếu f(x) m + x - 1 (1) Giải Ta có (1 ) Û x - x - 1 > m Ta xét hàm số f(x) = x - x - 1 f(x ) có tập xác định : D = [1; ¥ ) 1 1 x - 1 - x f/(x ) = - = 1) 2 x 2 x - 1 2 x(x - 1) Bảng biến thiên: lim f (x) = lim ( x - x - 1) = 0 x ® + ¥ x ® + ¥ x 1 +¥ f/(x ) P - f(x ) 1 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0 < x - x - 1 £ 1 Vậy (1 ) có nghiệm khi: m< 1. *Nhận xét: - 6 -
8. +Trong bài toán nầy nếu điều kiện của bài toán đặt ra là định m bất phương trình nghiệm đúng " x ³ 1 , khi đó điều kiện của m là: m £ 0 . +Cần chú ý tìm đúng các giới hạn trong bảng biến thiên. Ví du 2: Định a bất phương trình sau có nghiệm. 1 + x + 8 - x + (1 + x)(8 - x) - a ³ 0 (1 ) Giải Điều kiện: - 1£ x £ 8 Đặt : t = t 1 + x + 8 - x (3 £ t £ 3 2) t 2 - 9 Þ (1 + x)(8 - x) = 2 Khi đó (1)Þ t2 + 2t – 2a – 9 ³ 0 (2 ) t 2 + 2t - 9 Û a £ (3) 2 t 2 + 2t - 9 Xét hàm số f(t ) = với t Î é3; 3 2ù 2 ëê ûú f/(t ) = t + 1 > 0 " t Î é3; 3 2ù ëê ûú Bảng biến thiên: t 3 3 2 f/(t ) + + 9 6 2 f(t ) 2 3 9 6 2 Vậy f(t ) có tập giá trị T = 3; 2 9 6 2 Bất phương trình (1 ) có nghiệm Û (2) có nghiệm thuộc đoạn 3; 2 é ù ê 9 + 6 2 ú Û $t Î ê3; ú sao cho (3 ) đúng ë 2 û 9 + 6 2 Û a £ 2 *Nhận xét: +Trong ví dụ nầy nếu ta thay đề bài bởi xác định a để bất phương trình (1 ) nghiệm đúng " x Î - 1; 8 . Khi đó bài toán trở thành xác định a để (2 ) đúng " t Î é3; 3 2ù, [ ] ëê ûú khi đó a£ 3 + Để giải đúng bài toán nầy ta cần xác định đúng điều kiện của t. + Nếu giải theo cách giải thông thường, tức là: Bất phương trình (1) có nghiệm Û Bất phương trình (2) có nghiệm t Î é3; 3 2ù ëê ûú - 7 -