SKKN Những vấn đề cần thiết giúp dạy học hiệu quả toán chứng minh trong chương trình Toán 9

Nội dung text: SKKN Những vấn đề cần thiết giúp dạy học hiệu quả toán chứng minh trong chương trình Toán 9

1. Trường THCS Đức Tín - Sáng kiến kinh nghiệm NH 09-10 - GV: Nguyễn Như Diệp I. MỞ ĐẦU: 1. Cơ sở và lí do chọn đề tài: Trong quá trình dạy học bộ môn Toán ở bậc THCS, đặc biệt là chương trình Toán lớp 9 hiện hành; việc thực hiện đúng quy trình một bài toán chứng minh là một việc làm hết sức quan trọng và cần thiết, góp phần giúp cho học sinh luôn có được cảm giác, trực giác toán học tốt. Đặc biệt là rèn luyện tư duy logic, lý luận chặt chẽ, khả năng sáng tạo và trí thông minh khi giải bài toán chứng minh, nhất là chứng minh một bài toán hình học. Tuy nhiên, khi tiến hành giải một bài toán chứng minh, chúng ta thường dễ mắc phải một số sai lầm, ngộ nhận trong các bước suy luận logic, nhầm lẫn giữa suy luận và suy diễn, giữa kiểm tra mệnh đề và chứng minh mệnh đề; đơn thuần chỉ sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp, chưa đào sâu các phương pháp chứng minh độc đáo khác, thậm chí nhiều khi còn áp đặt và cứng nhắc khi giải toán chứng minh, . Từ những cơ sở lí luận và nhận thức nêu trên, bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy nhiều kinh nghiệm trong quá trình dạy học để viết nên một Sáng kiến kinh nghiệm có đề tài: “ Những vấn đề cần thiết giúp dạy học hiệu quả toán chứng minh trong chương trình Toán 9 ”. Với mục đích đưa ra được những vấn đề cần thiết và then chốt nhất; nhằm xây dựng những giải pháp thiết thực và hữu hiệu để việc giảng dạy dạng toán chứng minh ở lớp 9 đi đúng hướng, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn trong từng học kì và năm học. 2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: a/ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 9 Trường THCS Đức Tín. b/ Phạm vi nghiên cứu: - Các tiết dạy theo thời khóa biểu chính khóa và Tự chọn. - Các bài toán chứng minh trong nội vi chương trình lớp 9 và Toán THCS. - Tham khảo các tài liệu như: Sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu chỉ đạo về chuẩn kiến thức của Bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, - Thực hiện các tiết chuyên đề trong tổ chuyên môn để đúc rút kinh nghiệm. - Tập trung nghiên cứu về khái niệm, yêu cầu, phân tích và các phương pháp chứng - 1 -
2. Trường THCS Đức Tín - Sáng kiến kinh nghiệm NH 09-10 - GV: Nguyễn Như Diệp minh. Đi sâu nghiên cứu về phương pháp phân tích đi lên, chứng minh bằng phương pháp phản chứng. 3. Kế hoạch nghiên cứu: a/ Nghiên cứu tài liệu: Để thực hiện đề tài này, xuyên suốt trong những năm học qua, tôi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, nghiên cứu các bài toán chứng minh có trong chương trình Toán THCS nói chung và chương trình Toán 9 nói riêng; chắt góp những nội dung, những kinh nghiệm quan trọng về việc giải toán chứng minh, lập kế hoạch trình bày Sáng kiến kinh nghiệm một cách hợp lí và có trình tự. b/ Nghiên cứu thực tế: - Trải qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 9, bản thân đã đúc rút được nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp, từ thực tế trên lớp về việc dạy học các bài toán chứng minh, ghi chép lại những điều cần thiết để làm sao tiết dạy sau thực hiện tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước. - Với những tiết dạy có dạng toán chứng minh, tôi thường xuyên thăm dò, tìm hiểu mức độ nắm bắt và vận dụng giải toán của học sinh, điều chỉnh cách dạy cho đúng hướng và hợp lí hơn. - Thực hiện chuyên đề về dạy bài toán chứng minh trong tổ chuyên môn, nhằm thể nghiệm đề tài qua thực tiễn và tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp của giáo viên bộ môn trong tổ. II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Để thể hiện tốt và có hiệu quả việc giảng dạy bài toán chứng minh, chúng ta cần trang bị cho mình những vấn đề cần thiết sau: 1. Khái niệm chứng minh: Một phép chứng minh là một dãy hữu hạn các mệnh đề A ,A , ,A . Trong đó 1 2 n mỗi một Ak (k n) hoặc là một tiên đề, hoặc là một giả thiết, hoặc là một định lí đã biết, hoặc là một mệnh đề được suy ra từ một hoặc một số các mệnh đề khác bằng suy luận hợp logic. Mệnh đề An được gọi là mệnh đề cần chứng minh. - 2 -
3. Trường THCS Đức Tín - Sáng kiến kinh nghiệm NH 09-10 - GV: Nguyễn Như Diệp Có rất nhiều soạn giả đã khái niệm chứng minh như sau: “Chứng minh là quá trình suy nghĩ để xác định rằng: phán đoán nào đó là đúng, bằng cách dựa vào những phán đoán khác đã được thừa nhận là đúng” – Hoàng Chúng (Mấy vấn đề logic trong giảng dạy Toán học. NXB Giáo dục, 1962); hoặc “Chứng minh là thao tác logic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với phán đoán ấy” – Vương Tất Đạt (Logic học. Sách bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 1997 – 2000). Ta cần lưu ý rằng: Trong Toán học, vấn đề kiểm tra, thực nghiệm và vấn đề chứng minh tuy rằng có một sự liên hệ nào đó nhưng lại là hai vấn đề khác nhau hoàn toàn. Bởi vậy, khi chứng minh định lí hay chứng minh một bài toán thì phải dùng suy luận, không dùng thực nghiệm (thực nghiệm chỉ giúp phát hiện cách chứng minh). 2. Các yêu cầu của một chứng minh: Bất kì một chứng minh nào cũng gồm có 3 phần:  Luận đề: Mệnh đề cần chứng minh.  Luận cứ: Các mệnh đề đúng đã biết như tiên đề, định nghĩa, định lí, .  Luận chứng: Các quy tắc kết luận logic. Mỗi một chứng minh phải đạt 3 yêu cầu sau:  Yêu cầu 1: Luận cứ phải chân thực. Những tiền đề dùng trong chứng minh phải đúng đắn.  Yêu cầu 2: Luận chứng phải chặt chẽ. Các phép suy luận dùng trong chứng minh phải là các phép suy luận hợp logic.  Yêu cầu 3: Không được đánh tráo luận đề. Không được thay thế mệnh đề cần chứng minh bằng những mệnh đề không tương đương với nó. Sau đây là một số ví dụ về những sai lầm do vi phạm những yêu cầu cần thiết khi thực hiện một chứng minh: Ví dụ 1: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 1) Bài tập 16/trang 12 – SGK lớp 9, tập 1: Chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” sau đây: Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có: m2 V2 V2 m2 - 3 -
4. Trường THCS Đức Tín - Sáng kiến kinh nghiệm NH 09-10 - GV: Nguyễn Như Diệp Cộng cả hai vế với 2mV, ta có: m2 2mV V2 V2 2mV m2 2 2 hay : m V V m Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được: 2 2 m V V m . Do đó: m V V m Từ đó ta có: 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!) Sai lầm trong chứng minh trên đây là do ngộ nhận, đưa vào ứng dụng một mệnh đề sai, đó là: A2 A , dẫn đến sai lầm cho rằng: 2 2 m V V m nên có được m V V m (!) Ví dụ 2: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 2) Chứng minh định lí 4/trang 67 – SGK lớp 9, tập 1: “Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông”. Một cách chứng minh sai: 1 1 1 A Ta có: (1) h 2 b2 c2 1 b2 c2 c b h h 2 b2c2 2 2 2 2 2 b c h b c B H C a 2 h 2 b2c2 a ah bc (2) Do (2) đúng nên (1) đúng. Vậy định lí đã được chứng minh. Sai lầm trong chứng minh này là sai lầm về luận chứng, suy luận không hợp logic, vi A B,A phạm quy tắc Modusponens: (A kéo theo B, A đúng thì B đúng), ở đây lại B A B,B dùng quy tắc sai: (A kéo theo B, B đúng thì A đúng), đó là một sai lầm rất A phổ biến đối với học sinh chúng ta hiện nay; bởi vậy giáo viên phải thường xuyên - 4 -
5. Trường THCS Đức Tín - Sáng kiến kinh nghiệm NH 09-10 - GV: Nguyễn Như Diệp uốn nắn, sửa sai cho học sinh trong từng tiết dạy. (để cách chứng minh trên trở thành đúng, ta có thể thay dấu " " bằng dấu " " hoặc chứng minh như SGK lớp 9, tập 1/trang 67). Ví dụ 3: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 3) x 2 3x 6 1 Giải phương trình: (1) x 2 9 x 3 Giải: x 2 3x 6 x 3 (1) x 2 9 x 2 9 x 2 3x 6 x 3 x 2 4x 3 0 (2) Phương trình (2) có 2 nghiệm là: x1 1; x 2 3 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là: x1 1; x 2 3 Sai lầm trong bài làm này là người giải đã đưa vào các bước biến đổi không tương đương, do không đặt điều kiện của phương trình. Tức là người giải đã tùy tiện chứng minh phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương với nhau, dẫn đến phương trình đã cho dư nghiệm. Để khắc phục sai sót này, giáo viên tập cho học sinh có thói quen thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình, nhờ đó học sinh sẽ phát hiện ra mình đã quên đặt điều kiện của bài. 3. Phân tích một chứng minh: Để thực hiện tốt một chứng minh thì việc đi phân tích chứng minh đó đóng một vai trò khá quan trọng. Ta có thể hiểu rằng: phân tích một chứng minh là chỉ ra được GT A trong phép chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng những  mệnh đề nào, những phép suy luận nào? Thường ta phân tích một A chứng minh bằng hai phương pháp: 1   Phương pháp1: A2 Khai thác triệt để giả thiết bài toán, liệt kê cụ thể các vấn đề cần  thiết cho chứng minh. Có thể nắm bắt cách phân tích này bằng sơ đồ bên:  ( có A ắt có A , có A ắt có A , , có A ắt có A , có A ắt có B tức là 1 1 2 n-1 n n An có được điều cần phải chứng minh )  KL B - 5 -
6. Trường THCS Đức Tín - Sáng kiến kinh nghiệm NH 09-10 - GV: Nguyễn Như Diệp  Phương pháp 2: Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán (cách phân tích này rất hay KL B và quan trọng, giúp cho học sinh hiểu được mối quan hệ logic giữa điều  cần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận, B1 óc sáng tạo và chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh.  Tuy nhiên không phải chứng minh nào cũng dùng phương pháp này được). B2  Sơ đồ bên là sơ đồ của môt phân tích đi lên:  ( Muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B1, Bn muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B , 1 2  muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B , n-1 n GT A muốn chứng minh được Bn thì cần có GT A ) Dựa vào hai cách phân tích trên đây, giáo viên cho học sinh trình bày lại hoàn chỉnh bài toán chứng minh, bằng cách bổ túc những cơ sở, luận cứ và các thuật ngữ thường dùng như: “Ta có”, “Ta lại có”, “Vì”, “Bởi vì”, “Do đó”, “Nên”, “Cho nên”, “Mà”, “Mặt khác”, “Hay”, “Suy ra”, “Tức là”, “Vậy”, . Cùng một chứng minh, nhưng có thể có nhiều cách phân tích khác nhau. Cho nên cứ sau mỗi phân tích giáo viên nhắc học sinh phải tự đặt ra câu hỏi là: có còn cách phân tích nào khác nữa không? Nhờ vậy chúng ta sẽ tìm ra được nhiều cách chứng minh khác nhau, trên cơ sở đó giáo viên chọn lựa ra cách chứng minh phù hợp nhất với thực lực của lớp để giải cho học sinh. Ví dụ 1: Khi giải bài tập 22/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2: “Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (M khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA2 = MB.MC”. a) Phân tích theo phương pháp 1: (Khai thác giả thiết bài toán) Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đề, chú ý kết luận của bài: MA 2 = MB.MC; rồi có thể lập luận rằng: đây là dạng chứng minh hệ thức tích, nên ta thường dùng phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng (đặc biệt là trường hợp góc góc), hoặc là dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải. Từ đó giáo viên cho học sinh vẽ hình, định hướng cách giải theo lập luận trên. - 6 -