SKKN Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn Toán 9 và ôn thi vào THPT

Nội dung text: SKKN Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn Toán 9 và ôn thi vào THPT

1. PHẦN 1. MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán lớp 9 3. Tác giả: Họ và tên: NGUYỄN VIỆT KHOA Nam (nữ) : Nam Ngày tháng/năm sinh: 28 - 3 - 1980 Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Chức vụ, đơn vị công tác: Phó Hiệu trưởng trường THCS Hưng Thái - Ninh Giang - Hải Dương. Điện thoại: 0902025911 4. Đồng tác giả: Không có. 5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Việt Khoa. 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu : Trường THCS Hưng Thái - Ninh Giang - Hải Dương. Điện thoại : 03203.769.23 7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Có học sinh khá giỏi môn Toán 9 để thành lập đội tuyển HSG . - Học sinh ôn thi vào THPT cần chăm chỉ học tập, tích cực làm việc theo định hướng của giáo viên bồi dưỡng. 8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Từ năm học 2010 - 2011. TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Việt Khoa - 1 -
2. TÓM TẮT SÁNG KIẾN 1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến. Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào THPT luôn có một lượng tương đối nhiều các bài tập hình học với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các đại lượng hình học. Chương trình SGK THCS chưa có trình bày về khái niệm, cấu trúc, cách giải một bài toán cực trị. Nhiều kiến thức cực trị ẩn chứa trong các đơn vị kiến thức trải dài từ lớp 7 đến lớp 9 chưa được hệ thống hóa. Học sinh luôn sợ học hình học mà các bài toán cực trị hình học là một mảng kiến thức khó nhất trong bài toán hình . Đứng trước một bài toán cực trị hình học, học sinh chưa có định hướng, công cụ giải quyết. Giáo viên ôn thi HSG toán 9, ôn thi vào THPT chưa phân dạng được các dạng toán về cực trị hình học để ôn tập cho học sinh, vẫn dừng lại ở việc ra đề rồi mò mẫm giải, không đọng lại cốt lõi phương pháp cho học sinh. Xuất phát từ những lý do trên, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài : " Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT " nhằm trước hết giải quyết khó khăn trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong được trao đổi với các đồng nghiệp khác. 2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến. Điều kiện tốt nhất để áp dụng sáng kiến này là đối tượng học sinh lớp 9 đã học xong căn bản các kiến thức Hình học hết chương III Hình học 9 , đang ôn luyện HSG để thi HSG cấp huyện tỉnh, những học sinh chuẩn bị ôn thi vào THPT. Thời gian áp dụng từ đầu tháng 3 hàng năm. 3. Nội dung sáng kiến: Sáng kiến không thể hiện tính mới trong kiến thức mà thể hiện tính mới trong việc phân loại phương pháp giải và ví dụ minh họa cho phương pháp đó nhằm hình thành cho học sinh các phương án giải quyết một bài toán thực tiễn khi đi thi. Cụ thể : - Hình thành khái niệm chung về một bài toán cực trị hình học. - Hệ thống kiến thức, phương pháp giải , chia thành 5 loại kiến thức và phương pháp giải như sau : 1) Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. 2) Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc. - 2 -
3. 3) Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. 4) Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai. 5) Sử dụng bất đẳng thức AM - GM và các bất đẳng thức đại số khác. Mỗi phương pháp đều có các bài tập minh họa cụ thể. Sáng kiến này không chỉ áp dụng cho học sinh đang ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện tỉnh, học sinh chuẩn bị ôn thi vào THPT tại trường THCS Hưng Thái mà còn áp dụng rộng rãi cho học sinh cùng đối tượng ở các trường khác. Không chỉ dùng làm tài liệu ôn luyện riêng của tác giả mà còn dùng làm tài liệu tham khảo của các đồng nghiệp khác khi giảng dạy bộ môn Toán 9. Việc dạy học cực trị hình học nên dạy theo chuyên đề và thứ tự trình bày ở phần mô tả dưới đây. Sau khi học xong chuyên đề về cực trị hình học mà sáng kiến trình bày, học sinh phần nào yên tâm hơn với câu cuối của bài hình thi HSG hoặc thi vào THPT với tỉ lệ hỏi về cực trị tương đối cao . Giáo viên sau khi dạy xong chuyên đề cũng nâng cao được kiến thức của mình về cực trị hình học để phục vụ chuyên môn. 4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến. Giá trị về phương pháp giảng dạy là hiển nhiên. Từ năm học 2010 - 2011, khi bắt đầu nghiên cứu và áp dụng sáng kiến, tôi đã thu được những thành công nhất định ( mặc dù cực trị hình học chỉ là một nội dung nhỏ trong việc bồi dưỡng nhưng nó cũng góp phần vào thành công chung ) , cụ thể : Năm học 2010 - 2011 có 01 HSG Toán 9 cấp huyện . Học sinh thi đỗ THPT công lập đạt 29/60 HS dự thi = 48,33%. Năm học 2011-2012 có 01 HS đạt giải Nhì môn Toán cấp huyện. Học sinh thi đỗ vào THPT công lập đạt 27/46 HS dự thi = 58,7%. Năm học 2012 - 2013 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 giải Nhất, 01 giải ba ) . Học sinh thi đỗ THPT công lập đạt 21/47 HS dự thi = 44,7%. Năm học 2013 - 2014 có 02 HS đạt giải Toán cấp huyện ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba ). Học sinh thi đỗ THPT đạt 37/47 HS dự thi = 78,72%. Năm học 2014 - 2015 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 Nhì, 01 ba ) 5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến. Sáng kiến chưa được đầu tư để trở thành giáo án chuẩn cho chương trình bồi dưỡng vì chưa có thời gian nghiên cứu sâu. Việc áp dụng sáng kiến vì vậy chưa được hài lòng với đa số người dạy. - 3 -
4. Sáng kiến cần bổ sung bài tập của các dạng nhiều hơn nữa. Ngoài ra, sáng kiến chỉ mới nghiên cứu một phần nhỏ có tính " hình học" trong các bất đẳng thức hình học nói chung và cực trị hình học nói riêng. Việc mở rộng sáng kiến nên theo hướng phân loại các bất đẳng thức và cực trị hình học mang tính hình học ( nhất thiết vẽ hình ) và những bất đẳng thức, cực trị hình học không cần vẽ hình . Hệ thống các bất đẳng thức hình học đã biết trên thế giới theo loại hình : tam giác, tứ giác, đa giác, đường ( hình ) tròn Tuy nhiên xét ở góc độ hẹp để định hình, cung cấp cho học sinh ôn HSG cấp huyện và học sinh thi THPT mang tính thuật toán thì sáng kiến đủ để làm tài liệu tham khảo thiết thực. Một phần kiến nghị rất quan trọng là Sở giáo dục nên tổ chức thi học sinh giỏi lớp 9 vào cuối tháng 4 hàng năm để học sinh được trang bị kiến thức đầy đủ hơn, được ôn luyện nhiều hơn theo khung phân phối chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo . - 4 -
5. PHẦN 2. MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào THPT luôn có một lượng tương đối nhiều các bài tập hình học với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các đại lượng hình học. Chương trình SGK THCS chưa có trình bày về khái niệm, cấu trúc, cách giải một bài toán cực trị. Nhiều kiến thức cực trị ẩn chứa trong các đơn vị kiến thức trải dài từ lớp 7 đến lớp 9 chưa được hệ thống hóa. Học sinh luôn sợ học hình học mà các bài toán cực trị hình học là một mảng kiến thức khó nhất trong bài toán hình . Đứng trước một bài toán cực trị hình học, học sinh chưa có định hướng, công cụ giải quyết. Giáo viên ôn thi HSG toán 9, ôn thi vào THPT chưa phân dạng được các dạng toán về cực trị hình học để ôn tập cho học sinh, vẫn dừng lại ở việc ra đề rồi mò mẫm giải, không đọng lại cốt lõi phương pháp cho học sinh. Xuất phát từ những lý do trên, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài : " Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT " nhằm trước hết giải quyết khó khăn trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong được trao đổi với các đồng nghiệp khác. 2. Cơ sở lý luận của vấn đề . 2.1. Khái niệm bài toán cực trị hình học. Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ). Bài toán tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của một đại lượng hình học gọi chung là bài toán cực trị hình học. Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) ta cần chỉ ra hai điều : - Cần : với mọi vị trí của hình H trên miền D luôn có f m ( f m ) ( với m là hằng số ) - Đủ : Tồn tại vị trí của hình H trên miền D để có f = m Giá trị nhỏ nhất ký hiệu là Min ( viết tắt của Minnimum ) Giá trị lớn nhất ký hiệu là Max ( viết tắt của Maximum ) 2.2. Các cách phát biểu một bài toán cực trị hình học. 2.2.1. Bài toán về dựng hình . - 5 -
6. Ví dụ : Xác định vị trí của dây đi qua điểm P nằm trong một đường tròn sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. 2.2.2. Bài toán về chứng minh. Ví dụ : Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P nằm trong một đường tròn (O) thì dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất. 2.2.3. Bài toán về tính toán . Ví dụ : Cho (O, R ) và P nằm trong đường tròn có OP = h. Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P. 2.3. Cách trình bày bài toán cực trị hình học. 2.3.1. Cách 1. Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( lớn hơn ) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra. 2.3.2. Cách 2. Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi điều kiện đại lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi đề bài đặt ra. 3. Thực trạng của vấn đề. Như đã trình bày , hình học là môn khó học với học sinh và cực trị hình học là phần khó nhất trong hình học, vì vậy học sinh rất sợ khi phải làm việc với bài toán dạng này. Thứ nhất, học sinh chưa được trang bị cách trình bày một bài toán cực trị hình học. Thứ hai, học sinh chưa được trang bị phương pháp giải bài toán dạng này. Kết quả khảo sát học sinh lớp 9 năm học 2013 - 2014 thấy rõ điều đó. Với đề bài tương đối dễ như sau : Cho (O) và P nằm trong (O) ( P khác O ) . Xác định vị trí của dây đi qua P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. Kết quả: Đoán được giá Trình bày Không trị nhỏ nhất Đối tượng Số lượng được tương đối biết làm nhưng không hoàn chỉnh biết trình bày HS lớp 9A 27 20 7 0 HS lớp 9B 30 13 15 2 - 6 -
7. 4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện . Vì khuôn khổ sáng kiến nên khi xét bài tập minh họa dưới dạng đề thi tổng hợp, các ý phía trên câu hỏi cực trị được công nhận là đúng hoặc giải tóm lược. 4.1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu: 4.1.1. Kiến thức liên quan. - Trong các tam giác vuông ( có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH AB. Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng B. - Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất. - Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn. 4.1.2. Các bài tập minh họa. Bài 1.1. ( Thi THPT Hải Dương 1998-1999 ) . Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O 1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O 2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O 1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với M). 1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông. 2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2). 3) BO1 cắt CO 2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn. 4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất. Giải : A 1) B· DC B· DM M· DC 900 2) Chỉ ra B· MO C· MO 450 nên O· MO 900 1 2 1 2 C · 0 O1MO2 O1DO2 (c c c) O1DO2 90 O 3) Chỉ ra tứ giác ABEC là hình vuông. M 3 điểm A, D, E cùng nhìn BC dưới một B O2 góc bằng nhau và bằng 900 nên 5 điểm O1 A, B, D, E, C cùng nằm trên đường tròn E đường kính BC. D 4) Dễ dàng chứng minh được MO1EO2 là hình chữ nhật nên O1O2 = EM . BC AB 2 Gọi O là hình chiếu của E trên BC thì EO = không đổi. 2 2 - 7 -