SKKN Một phương pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đường phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học

Nội dung text: SKKN Một phương pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đường phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học

1. Phòng giáo dục - đào tạo trường THCS  Đề tài một phương pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đường phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học Người thực hiện : Trường THCS  Năm học I. đặt vấn đề
2. Trong quá trình kiếm tìm lời giải cho các bài toán hình học, đôi khi việc vẽ thêm các đường phụ sẽ giúp cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Thậm chí có những bài toán nếu không vẽ thêm đường phụ sẽ không giải được. Vấn đề đặt ra là đường phụ được vẽ như thế nào? Có phương pháp chung nào để vẽ được đường phụ hay không?Đó là điều khiến chúng ta cần phải đầu tư suy nghĩ . Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung để vẽ đường phụ khi giải các bài toán hình học. Tuỳ vào từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ có những cách vẽ đường phụ hợp lý để có được những lời giải hay và độc đáo.Tuy nhiên việc vẽ thêm đường phụ không thể tuỳ tiện, không phải do sự may mắn trong quá trình tìm kiếm lời giải mà nó phải bắt nguồn từ sự suy luận hợp lý trên cơ sở phân tích các giả thiết và kết luận của bài toán .Sau đây tôi xin trình bày một ví dụ sử dụng phương pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đường phụ. II. Nội dung Ví dụ 1: Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn ngoại tiếp đều ABC, lấy một điểm P tuỳ ý, các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại Q, chứng minh rằng: 1 1 1 PQ PB PC * Cách 1: Phân tích bài toán 1 1 1 Ta có: PQ . PC + PQ. PB = PB.PC (*) PQ PB PC - Từ (*) giúp ta nghĩ đến chọn điểm phụ K CP để tách PB.PC = PB. (PK+KC). - Bây giờ ta tìm tính chất của điểm K bằng cách cho PB.PK = PQ.PB (hoặc PQ.PB = PB.KC). Từ PB.PK = PB.PQ => PK = PQ - Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ như sau: Trên đoạn PC ta lấy K sao cho PQ = PK. A Giải: PQC có P = 600 ; PQC > 600 => PC > PQ Trên đoạn PC lấy điểm K sao cho PK = PQ Q B C => PQK đều (vì QPK = 600; PQ = PK) => PQ = PK = QK P => PQ. PB = PK.PB (1) 0 Mặt khác: KQC S PBC (vì QKC = BPC = 120 ; KCQ = PCB) Trang 2
3. KQ PB => PB.CK KQ.PC KC PC => PB.CK = PQ.PC (2) Từ (1) và (2) => PQ.PC + PQ.PB = PB.CK + PK.PB = PB (CK+ KP) = PB.CP 1 1 1 => PQ (PC + PB) = PB.PC => (đpcm) PQ PC PB * Nhận xét: - ở bước phân tích ta đã có PK.PB = PB.PQ, phần còn lại ta chỉ cần chứng minh: PQ.PC = PB. KC là được. - ở cách giải thứ nhất ta đã chọn điểm phụ K thuộc đoạn PC, tương tự như vậy ta có thể chọn điểm K thuộc PB. * Cách 2: 1 1 1 1 1 1 Ta có: PQ PB PC PC PQ PB PB . PC - PQ. PC = PQ.PB ( ) - Từ (* *) giúp ta nghĩ đến chọn điểm phụ M trên tia đối của tia QP để tách PB.PQ = PB (PM - MQ). - Bây giờ ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho PB.PM = PB.PC PM = PC. -Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ M như sau: Trên tia đối của tia QP lấy điểm M sao cho PM = PC . A Giải: Trên tia đối của tia QP lấy điểm M M sao cho PM = PC 0 Q 2 O => PMC đều (vì PM = PC; MPC = 60 ) C B 1 => PM = PC = MC => PB.PM = P PB.PC (1). 0 Mặt khác: PQB S MQC (vì Q1 = Q2 ; BPQ = QMC = 60 ) PQ MQ => => PQ.MC = PB.MQ => PB.MQ = PQ.PC (2) PB MC (Vì: MC = PC): Từ (1) và (2) => PC.PB - PC.PQ = PB.PM - PB.MQ = PB (PM - MQ) = PB.PQ Trang 3
4. 1 1 1 1 1 1 => PC (PB-PQ) = PB.PQ => hay (đpcm) PC PQ PB PQ PB PC * Nhận xét: +Tương tự như cách 2 ta có thể lấy điểm M trên tia đối của tia QP sao cho PM = PB. +ở cách 2 ta đã chọn điểm phụ M trên tia PQ. Vậy ta có thể chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB được không ?. Nếu chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB thì ta có: A PB.PQ = (BM - MP) PQ = PQ.BM - PQ.MP - Ta tìm tính chất của điểm M Q bằng cách cho PQ.MP = PQ.PC => B C MP=PC, từ đó ta suy ra cách cọn điểm P phụ M như sau: - Trên tia đối của tia PB ta lấy điểm M sao cho PM = PC. M - Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh được: PQ.BM = PC.PB PC MB Hay: PQ PB Tuy nhiên ở đây P, M, B thẳng hàng nên không có BMP S PCQ. Vậy MB ta có thể thay tỉ số bằng tỉ số nào được ở đây ta cần chú ý đến một điều đó PB là ta có thể chứng minh được MB = BP+PM = BP + PC = AP. Như vậy ta cần PC AP phải chứng minh . Điều này có được nhờ PCA S PQB (g.g). Từ PQ PB đó ta có lời giải như sau: * Cách 3: Trên tia đối của tia PB ta lấy điểm M sao cho PM = PC Ta có: MPC = BAC = 600 (cùng bù với góc BPC) => PCM đều => PC = PM = CM. Xét APC và BMC có: AC = BC (gt) ACP = BCM ( = 600 + PCB) ; PC = CM (chứng minh trên) => APC = BMC (c.g.c) => AP = BM Trang 4
5. PC PA PC MB Ta có: PCA S PQB (g.g) => => (Vì PA = BM) PQ PB PQ PB => PC.PB = PQ.MB (1) Mặt khác: Vì PC = PM => PC.PQ = PM.PQ (2) Từ (1) và (2) => PB.PC - PQ.PC = PQ.MB - PQ.PM = PQ.(MB - PM) = PQ.BP 1 1 1 1 1 1 => PC. (PB - PQ) = PQ.PB => hay (đpcm) PC PQ PB PQ PB PC * Nhận xét: + ở cách 2 ta đã lấy điểm M trên tia đối của tia QP để tách PQ = PM - MQ. Tại sao ta không lấy M trên tia đối của tia PQ ?. Nếu lấy M trên tia đối của tia PQ thì ta tách PQ.PB = (QM - PM) PB = QM.PB - PM.PB. Đến đây ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho QM.PB = PC.BP => QM = PC, tuy nhiên đến đây ta không thể chứng minh được PM.PB = PC.PQ. Vì không thể vận dụng được giả thiết của bài toán đã cho là ABC đều. + ở cách 3 ta đã lấy điểm phụ M trên tia đối của tia PB để tách PB .PQ=(BM-MP).PQ. Vậy ta có thể chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB được không ? Nếu lấy M trên tia đối của tia BP thì ta có : BP.PQ=(PM-BM).PQ=PM.PQ-BM.PQ - Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho BM.PQ=PC.PQ => BM =PC PM PC Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh PB.PC = PM.PQ là được hay: PB PQ ở đây ta cần chú ý đến PM= PB+PM = PB+PC=PA Do đó ta cần chứng PA PC minh điều này có được nhờ PAB S PCQ(g-g) PB PQ 1 1 1 1 1 1 - Từ giả thiết: PQ PC PB PB PQ PC PQ . PC = PB.CP - PB . PQ Như vậy chúng ta cũng có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia PC(Hoăc trên tia đối của tia CP) Ví dụ 2: Trang 5
6. Cho ABC, AD là đường phân giác trong của góc BAC (D BC) . Chứng minh rằng: AD2 = AB . AC - DB . DC. * Phân tích: - Ta chọn điểm phụ M trên tia đối của tia AD để tách AD2 = AD (AM - MD) = AD . AM - AD . MD. - Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho AB . AC = AM . AD (Hoặc BD . DC = AD.MD), từ AB . AC = AM . AD. AB AD => => ABM S ADC (c.g.c) ( vì A = A ) AM AC 1 2 => AMB = ACD => tứ giác ACMB nội tiếp. - Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ M như sau: Gọi M là giao điểm của AD với đường tròn ngoại tiếp ABC. Lời giải: * Cách 1 (lớp 9): A Gọi M là giao điểm của AD với 1 2 đường tròn ngoại tiếp ABC Ta có: AMC S ABD (g.g) AM AB => AC AD C B D => AC . AB = AD . AM (1) Mặt khác: ABD S CMD (g.g) M AD BD => => BD . CD = AD . MD (2) CD MD Từ (1) và (2) => AB . AC - BD . CD = AD . AM - AD . MD = AD (AM - MD) = AD . AD = AD2 (đpcm) * Cách 2 (lớp 8): Đối với học sinh lớp 8, các em chưa học đến đường tròn, do đó từ ABM S ADC => AMB = ACD Mặt khác, ta có: C + A2 = D1 CBM + M = D1 => CBM = A2 Trang 6
7. Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ A M như sau: Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao 1 2 cho CBx = A2, Gọi M là giao điểm của 1 tia AD và tia Bx. C B 1 D Ta có: B1 + M = D1 (định lý về góc ngoài của tam giác). M X C + A2 = D1 => M = C AM AB => ABM S ADC (g.g) => AC AD => AB . AC = AM . AD (1) BD AD Mặt khác: DBM S DAC (g.g) => DM CD => BD . CD = DM . AD (2) Từ (1) và (2) => AB . AC - BD . CD = AD . AM - DM . AD = (AM - MD) . AD = AD2 (đpcm) * Cách 3 (lớp 8): Từ điều cần chứng minh AD2 = AB . AC - DB . DC => AB . AC = AD2 + DB . DC - Từ đó ta chọn điểm phụ K thuộc AB để tách AB . AC = (AK + KB) AC = AK . AC + KB . AC - Ta tìm tính chất của điểm K bằng cách cho AK . AC = AD2 AK AD A => => AKD S ADC (c.g.c) AD AC 1 2 (Vì A1 = A2) => ADK = ACD - Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ K như sau: K 1 1 Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao B D C cho ADK = C (K AB) Lời giải: Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao Trang 7
8. AD AC cho ADK = C (K AB) => ADK S ACD (g.g) => AK AD => AD2 = AC . AK (*) Mặt khác: A1 + D1 = K1 ; C + A2 = ADB; C + A2 = D1 + A1 => K1 = ADB; KB BD => KBD S DBA (g.g) => (1) BD AB DB DC Ta lại có (2) (vì AD là phân giác của A ) AB AC KB DC Từ (1) và (2) => => DB . DC = AC . KB ( ) BD AC Từ (*) và ( ) => DB . DC + AD2 = AC . KB + AC . AK = AC (AK + KB) = AC . AB => AD2 = AB . AC - DB . DC (đpcm) * Cách 4: Phân tích AD2 = AB . AC - DB . DC DB.DC = AB . AC - AD2. Lấy I trên tia đối của tia DB để tách DB . DC = (BI - DI) DC. - Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách A cho BI . DC = AB . AC (Hoặc DI . DC = AD2) BI AC => AB DC Mặt khác: Vì AD là tia phân giác AC AB B D I C của góc BAC => DC BD BI AB Do đó => BIA S BAD) (c.g.c) => BIA = BAD AB BD - Từ đó ta suy ra cách điểm phụ như sau: Trên tia đối của tia DB lấy điểm I sao cho BIA = BAD Lời giải: Trên tia đối của tia DB lấy I sao cho BIA = BAD Trang 8
9. BI AB => BIA S BAD (g.g) => (1) AB BD AB AC Mặt khác: AD là phân giác của góc BAC => (2) BD DC BI AC Từ (1) và (2) => => AB.AC = BI.DC (3) AB DC ID AD 2 Ta lại có: IDA S ADC (g.g) => => AD = ID . DC (4) AD DC Từ (3) và (4) => AB . AC - AD2 = (BI - ID) DC = BD . DC Hay AD2 = AB . AC - DB . DC (đpcm) * Nhận xét. + Ta đã chọn điểm phụ K trên AB để tách AB = AK . KB. Tương tự như vậy ta cũng có thể chọn điểm phụ K trên AC. + Khi đã chứng minh được AD2 = AC . AK, phần còn lại ta chỉ cần chứng KB DC minh AC . KB = DB . DC , tuy nhiên ta không thể chứng minh DB AC AD AB trực tiếp được kết quả này mà phải sử dụng kết quả nhờ vào tính chất AC AD đường phân giác của tam giác. + Sau khi học sinh giải xong bài tập này, giáo viên nên cho học sinh xét bài toán trong trường hợp AD là đường phân giác ngoài của góc BAC (D thuộc đường thẳng BC) để các em tự tìm ra được kết quả AD2 = DB . DC - AB . AC. + Tương tự như cách 4 có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia DC. Ví dụ 3: (Toán 8) A M B Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng d thay đổi cắt các đoạn N P 1d thẳng AB, AD, AC lần lượt tại M, N, P. I AB AD AC Chứng minh rằng: D C AM AN AP * Phân tích: AC AI IC AI IC - Ta chọn điểm phụ I thuộc AC để tách AP AP AP AP Trang 9