SKKN Luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ bằng cách nhận dạng và các phương pháp giải phương trình vô tỷ

Nội dung text: SKKN Luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ bằng cách nhận dạng và các phương pháp giải phương trình vô tỷ

1. LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ - TOÁN 9 A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chương trình đại số 9 ,phương trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phương trình có chứa căn tương đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải Có những phương trình không thể giải bằng các phương pháp quen thuộc. Khi gặp phương trình vô tỷ , học sinh thường chỉ quen một phương pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhưng trong quá trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương phương trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải . - Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục . B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở rộng . 1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ. 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức . 3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối. 4. Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải hệ phương trình. 5. Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản: A 0 * A = B B 0 2 A B A 0 * A B A B * A B 0 A B 0 1
2. II. Cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải phương ttrình vô tỷ . PHƯƠNG PHÁP 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình( thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc). Ví dụ: Giải phương trình x 1 5x 1 3x 2 (1) + Ở phương trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2: a = b a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu ) Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu khi hai vế cùng dấu. Ở phương trình (1), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã 0 vì vậy ta nên chuyển vế đưa về phương trình có 2 vế cùng 0. (1) x 1 5x 1 3x 2 Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế: x 1 5x 1 3x 2 2 7x 2 15x 2 13x 2 (*) Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa. 4 14x 49x 2 4(15x 2 13x 2) 11x 2 24x 4 0 (11x 2)(x 2) 0 2 x 2 11 Và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm : x ; x 2 1 11 2 x 2 Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm : + Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải 2 không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : x 1 vì vậy x không phải là nghiệm 1 11 của (1) 2 + Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện 2 7x 0 x 7 vậy x2 2 không là nghiệm của (1) - Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích . 2 C1: Sau khi tìm được x và x 2 thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô 11 nghiệm. 2
3. ( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương trình đã cho là tương đối phức tạp ) x 1 1 x x 1 5 3 x 2 C2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1) 2 Sau khi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt thêm điều kiện x vậy xthoả 7 2 x mãn : 7 nên phương trình (1)vô nghiệm x 1 C3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình . Điều kiện của (1) : x 1 do đó x 5x x 1 5x 1 x 1 5x 1 Vế trái <0. VP 0 nên phương trình (1) vô nghiệm . Sau đó tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải. Bài tập tương tự : Giải phương trình a)4x 1 3x 4 x 2 b) x 2 x 1 2x 1 x 3 Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 x 1 3 7 x 2 (2) Ở phương trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc lập phương hai vế : Chú ý: + ở căn bậc lẻ: 2n 1 A có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện x 1 0 7 x 0 + Ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b a 2n+1=b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu của hai vế. Giải:+ Lập phương hai vế 2 2 x 1 7 x 3 3 x 1 .3 7 x 3 x 1. 3 7 x 8 ( ) Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức: ( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b) Vậy ( ) có thể viết : x 1 7 x 33 (x 1)(7 x). 3 x 1 3 7 x 8 (I) (đến đây thay 3 x 1 3 7 x 2 vào phương trình) ta được: 8 33 (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0 ( II) Giải ra: x1 1; x2 7 ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm x1 1; x2 7 3
4. + Ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải. Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương , vì nó chỉ tương đương khi x thoả mãn : 3 x 1 3 7 x 2 . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II) vào phương trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai. Bài tập tương tự : Giải phương trình : a) 3 x 1 3 x 1 3 5x b) 3 2x 1 3 3 2x 4 c)3 2x 1 3 2x 1 3 10x ( Đề thi vào toán tin -2000) PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối. Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức : A2 A để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản Ví dụ: Giải phương trình : 2x 2 2 2x 3 2x 13 8 2x 3 5 (3) Nhận xét: + Ở phương trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên có thể bình phương hai vế. Nhưng ở phương trình này sau khi bình phương (lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp. + Biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức . 3 Giải : ĐK: 2x 3 0 x ; 2x 2 2 2x 3 2x 13 8 2x 3 5 2 (2x 3) 2 2x 3 1 (2x 3) 2 2x 3.4 16 5 2 2 2x 3 1 2x 3 4 5 2x 3 1 2x 3 4 5;( ) C1: Đến đây để giải ( ) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước khi phá dấu A thì cần xét dấu của A Nhận xét: 2x 3 1 0 vậy chỉ xét dấu 2x 3 4 2x 3 16 19 Nếu 2x 3 4 0 3 x x 2 2 Thì 2x 3 1 2x 3 4 5 2 2x 3 8 2x 3 4 9 Giải ra x (Không thoả mãn điều kiện) 2 3 19 + Nếu 2x 3 4 x 2 2 4
5. 3 19 Thì 2x 3 1 2x 3 4 5 0x 0 vô số nghiệm x thoả mãn x 2 2 3 19 Kết luận: x 2 2 C2: ( Để giải ( ) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối . A B A B. dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B 0) Giải: ( ) 2x 3 1 2x 3 4 5 2x 3 1 4 2x 3 5 Ta có: 2x 3 1 4 2x 3 2x 3 1 4 2x 3 5 Vậy: 2x 3 1 4 2x 3 5 Khi 2x 3 1 4 2x 3 0 4 2x 3 0 3 19 3 Giải ra: x x 2 2 2 Bài tập tương tự: Giải phương trình a) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 b) x 2x 1 x 2x 1 2 (Nhân 2 vế với 2 thì trong căn sẽ xuất hiện hằng đẳng thức) PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình Ở phương pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình vô tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ + Đặt 2 ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ A) Cách đặt 1 ẩn phụ : C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn là ẩn phụ đã đặt .Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính. VD1:Giải phương trình: 2x 2 +6x+12+x 2 3x 2 =9 (4) -Nhận xét:+ ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó + Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan : 2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8 Hướng giải:+ Đặt ẩn phụ là y= x 2 3x 2 + Chú ý: Đối với ĐK: x 2+3x+2 0 có thể giải được nhưng với những bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có thoả mãn ĐK hay không 5
6. 2 x 2 Giải: ĐK: x +3x + 2 0 ( x+1) (x+2) 0 x 1 Đặt : x 2 3x 2 =y 0 PT (4) 2y2+y+8=9 2y2+y -1=0 Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại) Thay vào: x 2 3x 2 =1/2 x2+3x+2=1/4 3 2 3 2 Giải ra:x1= ; x2= 2 2 Đối chiếu với ĐK: x= 3 2 thoả mãn là nghiệm của PT (4) 2 VD2: Giải phương trình: 2x x 2 6x 2 12x 7 0 ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004) Hướng dẫn : ĐK : 6x 2 12x 7 0;x Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phương trình: 2x x 2 6(x 2 2x) 7 0 Đặt :x 2 2x a Ta có phương trình: 6a 7 a (I) Giải(I) tìm a từ đó tìm x. VD2: Giải phương trình: ( 1 x 1)( 1 x 1) 2x HD: Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : 1 x u ; Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương trình để đưa về phương trình ẩn u. Giải: ĐK : -1 x 1; C1: Đặt: 1 x u (0 u 2) x u 2 1 (5) (u 1)( 2 u 2 1) 2(u 2 1) (u 1) ( 2 u 2 1) 2(u 1)  u 1 0 2 2 u 1 2(u 1) 0 + Nếu : u 1 0 u 1( thoả mãn) x 1 1 x 0 (Thoả mãn ĐK) 2 u 2 1 2(u 1) 2u 1 0 5u 2 4u 1 0 2 2 2 u (2u 1) 6