SKKN Khai thác, mở rộng một vài bài tập ở sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi đối với chương trình Hình học Lớp 7

Nội dung text: SKKN Khai thác, mở rộng một vài bài tập ở sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi đối với chương trình Hình học Lớp 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐÀN S¸ng kiÕn kinh nghiÖm "Khai th¸c, më réng mét vµi bµi tËp ë s¸ch gi¸o khoa ®Ó båi d­ìng häc sinh kh¸ giái" ®èi víi ch­¬ng tr×nh h×nh häc líp 7 N¨m häc : 2009 - 2010
2. MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề 03 B Nội dung 03- 12 C Kết luận 13 - 14 D Tài liệu tham khảo 15
3. A. ĐẶT VẤN ĐỀ Như chúng ta đã biết sách giáo khoa Toán THCS hiện hành đã triển khai thực hiện trên toàn quốc cho lớp 6 trừ năm học 2002 – 2003 sau bốn năm đã triển khai thực hiện cho toàn bộ bậc THCS. Sách trình bày ở mức độ kiến thức cho mọi vùng, miền trên cả nước. Từ lý thuyết đến hệ thống bài tập được lựa chọn. Tất cả giáo viên dạy Toán ở bậc THCS đều hiểu rõ điều này. Tuy nhiên, sử dụng sách giáo khoa và hệ thống bài tập của sách cho phù hợp với đối tượng học sinh là điều cần quan tâm số một. Đặc biệt đối với học sinh các trường chuyên, lớp chọn thì phải quan tâm và đầu tư nhiều hơn, mạnh hơn. Bởi vì: Đối với đói tượng học sinh khá, giỏi giáo viên cần phải khai thác thêm, các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa như là: Mở rộng bài toán - Chuyển hoá thành bài toán mới bằng cách lật ngược vấn đề, xem xét và nhìn bài toán g tự ở những góc độ khác, nảy sinh bài toán mới, ý tưởng mới , từ bài toán đó. Tôi xin mạnh dạn nêu ra một vài ví dụ về một vài bài toán trong sách giáo khoa Toán 7 thuộc phần “Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác” mà người giáo viên có thể mở rộng bài toán đó để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Hay nói cách khác từ một bài toán cơ bản, giáo viên có thể mở rộng thêm một số câu nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm nhiều kỹ năng khác nhau và củng cố thêm được nhiều kiến thức có liên quan, đồng thời phát huy được, tính tích cực hoạt động ở học sinh, phát huy được tính tò mò, tìm kiến thức mới trong giờ có giáo viên cũng như giờ tự học bài ở sách giáo khoa. Sau đây tôi xin được trình bày vài suy nghĩ của mình xung quanh việc “Khai thác mở rộng một vài bài tập ở sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi” đối với chương trình hình học lớp 7. B- NỘI DUNG: I- Kiến thức trọng tâm: + Khái niệm đường trung tuyến của tam giác. + Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác + Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, đường trung bình của tam giác. + Đường thẳng đi qua một đỉnh và trọng tâm của tam giác thì đường thẳng đó đi qua trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh ấy. + Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và trung điểm một cạnh thì đường thẳng đó đi qua đỉnh đối diện với cạnh ấy.
4. + Trong tam giác cân hai đường trung tuyến ứng với các cạnh bên thì bằng nhau. + Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tham giác đó là tam giác cân. II- Một số bài tập cần đưa ra: Ví dụ 1: Xét bài tập 25 - SGK Toán 7 - Tập II - Trang 67. Cho tam giác ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm của tam giác ABC. * Để giải bài toán này các em học sinh khá giỏi cần chứng minh định lý: Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh định lý (Hình 1) A B M C D Hình 1 Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD Ta có MAC = MDB (c.g.c) AC = BD Và ·ACB D· BC BD // AC Mà B· AC 900 D· BA 900
5. Xét ABC và BAD có B· AC D· BA 900 AC = BD (chứng minh trên) ABC = BAD (c.g.c) AB cạnh chung Do đó BC = AD (2 cạnh tương ứng) 1 1 Mặt khác AM = AD AM = BC (đ.p.c.m) 2 2 Lời giải ví dụ 1 (Hình 2): A G B HìnhM 2 C Gọi G là trung tâm của ABC; AM là đường trung tuyến 2 1 AG = AM (1) mà AM = BC (2) (theo định lý vừa xây dựng ở trên) 3 2 Ta có ABC vuông ở A; AB = 3cm; AC = 4cm BC = 5cm (3) (theo định lý pitago) 2 1 5 Từ (1); (2) và (3) AG = . .5 (cm) (Điều cần tìm) 3 2 3 Xét ví dụ 2: Bài 30 - SGK Toán 7 - Tập II - Trang 67 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm D sao cho G là trung điểm của AD. a) So sánh các cạnh của tam giác BGD với các đường trung tuyến của tam giác ABC. b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGD với các cạnh của tam giác ABC.
6. Lời giải ví dụ 2 (Hình 3): A E N G Q B M C F D Hình 3 a) Gọi M; N; E thứ tự là trung điểm của BC; AC và AB AM; BN và CE 2 là ba đường trung tuyến của ABC mà G là trung tâm, suy ra:BG = BN (1) 3 AG = 2 AM mà AG = GD nên GD = 2 AM (2) 3 3 Và GM = 1 AM nên GM = 1 AG = 1 GD do đó MG = MD 3 2 2 Xét MDB và MGC có MG = MD, MB = MC MDB = MGC (c.g.c) B· MD C· MG (đđ) Do đó BD = GC mà GC = 2 CE nên BD = 2 CE (3) 3 3 Từ (1); (2) và (3) Ba cạnh BG; BD và GD của tam giác BDG tương ứng bằng 2 các đường trung tuyến BN; CE và AM của tam giác ABC. 3 b) Goi F, Q thứ tự là trung điểm của BD và BG Ta có BM; GF và DQ là các đường trung tuyến của BDG, suy ra: BM = 1 BC (4) và QG = QB = GN = 1 BN 2 3
7. Xét GQD và GNA có GD = GA và GQ = GN GQD = GNA (c.g.c) Q· GD N· GA (đ đ) 1 1 Do đó DG = AN mà AN = AC DG = AC (5) 2 2 Ta có: MDB = MGC (chứng minh trên) G· CM D· BM CG // BD hay CE // BD E· GB G· BD (so le trong) 1 Ta có: EG = GC vì G là trọng tâm của ABC 2 1 1 Và BF = BD mà BD = GC BF = GC nên EG = BF 2 2 Xét BGE và GBF có GE = BF; BG chung BGE = GBF (c.g.c) E· GB G· BF (chứng minh trên) Do đó GF = BE = 1 AB (6) 2 Từ (4); (5) và (6) các đường trung tuyến BM; DQ và GF của tam giác BDG trình tự bằng một nửa BC, AC và AB là các cạnh của tam giác ABC Như vậy chúng ta đã giải quyết xong bài 30, bây giờ các em chú ý vào DAB có G là trung điểm của DA và F là trung điểm của DB và chúng ta đã chứng minh được GF = 1 AB và GF // AB. Đây là một định lý mở rộng cùng với định lý: 2 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại (HS tự chứng minh). Hai định lý này trình bày ở sách giáo khoa Toán 8 thì các em được một số câu bổ sung sau đây: Câu thứ nhất: Chứng minh G là trọng tâm của MNE Câu thứ hai: Chứng minh đường thẳng đi qua đỉnh C và trung điểm của AM thì đi qua điểm I của AB và AI = 1 AB. 3 Câu thứ ba: Đảo của câu thứ hai. Chứng minh đường thẳng đi qua điểm I và C thì đi qua trung điểm của AM.
8. Câu thứ tư: Chứng minh rằng một trong ba đường trung tuyến của ABC nhỏ hơn tổng hai đường còn lại. Câu thứ năm: Trên tia AB lấy điểm B’ sao cho B là trung điểm của EB’. Trên tia MC lấy điểm C’ sao cho C là trung điểm của MC’. Gọi A’ là giao điểm của EC’ với AC. Chứng minh N, E, A’ thẳng hàng Câu thứ sáu: Chứng minh: BN + CE > 3 . BC 2 Câu thứ bảy: Cho AB BN Câu thứ tám: Cho AM = 12 cm, BN = 9 cm, CF = 15 cm. Tính độ dài cạnh BC. Câu thứ chín: G là trọng tâm của ABC có cạnh BC cố định. Chứng minh đường thẳng AG luôn đi qua một điểm cố định khi đỉnh A thay đổi. Câu thứ mười: Cho điểm O thay đổi trong ABC lấy điểm O’ sao cho M là trung điểm của OO’. Gọi M’ là trung điểm của AO’. Chứng minh OM’ luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải câu bổ sung thứ nhất (Hình 4): A E K N G S B C Hình 4 M Gọi K là giao điểm của AM với EN Xét ABC có E là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC EN // BC Xét ABM có E là trung điểm của AB và EN // BC 1 K là trung điểm của AM do đó tam giác ABM có EK = BM. 2
9. Tương tự KN = 1 MC mà BM = MC do đó KE = KN nên K là trung điểm 2 của EN MK là đường trung tuyến của MNE. Gọi S là giao điểm của BN và EM. Chứng minh tương tự được NS là trung tuyến của MNE, mặt khác MK và NS cắt nhau tại G (vì AM và BN cắt nhau tại G) G là trọng tâm của MNE (đ.p.c.m). Lời giải câu bổ sung thứ 2 (Hình 5): A I K J B C M Hình 5 Gọi J là trung điểm của IB mà M là trung điểm của BC trong BCI có MJ // IC hay IK // JM Xét AJM có K là trung điểm của AM và IK // JM 1 I là trung điểm của AJ IA = IJ mà IJ = JB nên AI = AB 3 Lời giải câu bổ sung thứ 3: Gọi J là trung điểm của IB mà M là trung điểm của BC trong BIC có MJ // IC 1 1 hay IK //JM. Mặt khác AI = AB AI = IJ = JB = AB nên AJM có I là trung điểm 3 3 của AJ và IK // JM K là trung điểm của AM, hay CI đi qua trung điểm của AM.
10. Lời giải câu bổ sung thứ 4 (Hình 6): A E N G P B C Hình 6 M 1 1 1 Gọi P là trung điểm của GC PG = GC = CE (7) mà GM = AM (8) 2 3 3 Xét CBG có M là trung điểm của BC; P là trung điểm của CG 1 1 MP = BG = BN (9) 2 3 Xét MGP có MP + PG > GM (10) 1 1 1 Từ (7); (8); (9) và (10) BN + CE > AM AM < BN + CE 3 3 3 Tương tự ta chứng minh được BN < AM + CE và CE < AM + BN Lời giải câu bổ sung thứ 5 (Hình 7): A E A' B C C' M B' Hình 7
11. Xét BAC có E là trung điểm của AB và M là trung điểm của BC EM // AC hay CA’ // EM Xét C’EM có C là trung điểm của MC’ và CA’ // EM A’ là trung điểm của C’E B’A’ là đường trung tuyến của B’C’E (11) 2 Mặt khác C’B là đường trung tuyến của B’C’E có C’M = C’B 3 M là trọng tâm của B’C’E (12) Từ (11) và (12) B’; M; A’ thẳng hàng (đ.p.c.m) Lời giải câu bổ sung thứ 6 (Hình 8): A E N G B C Hình 8 Xét ABC có các đường trung tuyến BN và CE; G là trọng tâm suy ra: BG = 2 BN và CG = 2 CE 3 3 Xét GBC có BG + CG > BC. Do đó: 2 BN + 2 CE > BC 3 3 3 BN + CE > BC (đ.p.c.m) 2 Lời giải câu bổ sung thứ 7 (Hình 9):
12. A E N G Hình 9 B C M Định lý bổ sung: Nếu hai tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau, cặp cạnh thứ 3 không bằng nhau cạnh nào đối diện với góc lớn hơn thì cạnh đó lớn hơn: (HS tự chứng minh định lý này) Xét ABC có AB < AC ·ACB ·ABC ·AMC ·AMB hay G· MC G· MB Xét GBM và GMC có BM = CM; GM cạnh chung BG < GC (theo định lý trên) G· MB G· MC 3 3 BG CG BN CE (đ.p.c.m) 2 2 Lời giải câu bổ sung thứ 8 (Hình 10): A E N G 10 6 4 B M C 10 4 D Hình 10
13. 2 2 Do G là trọng tâm của ABC suy ra: BG = BN = . 9 = 6 (cm) 3 3 2 2 CG = CE = . 15 = 10 (cm) GD = 8 cm 3 3 2 2 1 1 AG = AM = . 12 = 8 (cm) GD = 8 cm Và GM = AM = . 12 = 4 (cm) 3 3 3 3 Xét GBD có GB = 6 cm, GD = 8 cm và DB = 10 cm GBD vuông tại G (theo định lý pitago đảo) Do đó GBM vuông tại G BM = GB2 GM 2 Hay BM = 62 42 52 (cm) BC = 2 52 4 13 (cm) 14,4 (cm) Lời giải câu bổ sung thứ 9: Đường thẳng đi qua đỉnh A và trọng tâm G của ABC thì đi qua trung điểm M của BC mà BC cố định điểm M cố định. Vậy đỉnh A thay đổi, cạnh BC cố định thì đường thẳng AG luôn đi qua điểm M cố định là trung điểm của BC. Lời giải câu bổ sung thứ 10 (Hình 11): A N O M' G B C M O' Hình 11 Ta có AM là đường trung tuyến của ABC. G là trọng tâm của ABC mà AM cũng là đường trung tuyến của tam giác AOO’ => G là trọng của tam giác AOO’ OM’ là trung tuyến AOO’ (vì M’ là trung điểm của AO’) OM’ luôn đi qua điểm G cố định (đ.p.c.m)