SKKN Giải bài các toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai

Nội dung text: SKKN Giải bài các toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai

1. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI NĂM HỌC : 2010 – 2011 Trang 1
2. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai MỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’ 0) trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực . Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp. Hơn nữa , theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức được học trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” 2/Nội dung sáng kiến A.Mở đầu B.Nội dung đề tài I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa II.Bài tập thực hành C. Kết quả và bài học kinh nghiệm Trang 2
3. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.Kiến thức cần nhớ i) Phương trình bậc hai a) Định nghĩa. • Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x R ) là phương trình có dạng: ax2 bx c 0 1 a 0 b)Cách giải. • Tính b2 4ac  Nếu 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. b  Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x x . 1 2 2a  Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b b x , x 1 2a 2 2a c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : 2 ax bx c 0 1 a 0 có hai nghiệm x1, x2 thì b c S x x , P x .x . 1 2 a 1 2 a  Dấu các nghiệm: ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 . 0 ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu . P 0 0 ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương P 0. S 0 0 ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm P 0. S 0 ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.  Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là f '(x) 0, x K đồng thời f '(x) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K. Trang 3
4. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai  Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là f '(x) 0, x K đồng thời f '(x) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K. iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị • Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '(x0 ) 0 • Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) klhi đó :  Nếu f '(x) 0, x (a; x0 ) và f '(x) 0, x (x0 ;b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.  Nếu f '(x) 0, x (a; x0 ) và f '(x) 0, x (x0 ;b) thì hàm số đạt cực đại tại x0. 2. Phương pháp giải toán *Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0) Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Đồng biến trên ( ; ) . b) Đồng biến trên ( ; ) . c) Đồng biến trên ( ; ) . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' f (x) 3ax2 2bx c y ' f (x) 3ax2 2bx c a)Hàm số (1) đồng biến trong TH1: Nếu bpt: f (x) 0 h(m) g(x) (i) khoảng ( ; ) a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng ( ; ) f (x) 0, x ( ; ) h(m) g(x) , x ( ; ) a 0 h(m) Max g(x) ( ; ] 0 b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) a 0 h(m) g(x) , x ( ; ) 0 h(m) Max g(x) [ ; ) f ( ) 0 c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) S 2 0 h(m) g(x) , x ( ; ) h(m) Max g(x) [ ; ] Trang 4
5. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai b) Hàm số (1) đồng biến trong TH2: Nếu bpt: f (x) 0 không đưa được về khoảng ( ; ) dạng (i) thì ta đặt : t = x - f (x) 0, x ( ; ) Khi đó ta có: a 0 y ' g(t) 3at 2 2(3a b)t 3a 2 2b c . 0 a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) a 0 g(t) 0, t 0. a 0 0 f ( ) 0 0 a 0 S 2 0 0 c) Hàm số(1) đồng biến trong S 0 khoảng ( ; ) f (x) 0, x ( ; ) P 0 b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) g(t) 0, t 0 a 0 0 a 0 0 a 0 f ( ) 0 a 0 0 S 2 0 S 0 f ( ) 0 P 0 S 2 0 0 a 0 f ( ) 0 f ( ) 0 Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa. 1 *Ví dụ 1: Cho hàm số : y = m 1 x3 2m 1 x2 3 2m 1 x 1 (1) (m 1) 3 Tìm các giá trị của m để hàm số: a) Đồng biến trên khoảng ( ; 1) . Trang 5
6. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai b) Đồng biến trên khoảng (1; ) . c) Đồng biến trên khoảng ( 1;1) . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' f (x) y ' f (x) (m 1)x2 2(2m 1)x 3(2m 1) (m 1)x2 2(2m 1)x 3(2m 1) a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng Ta có: y ' 0 f (x) 0. ( ; 1) (m 1)x2 2(2m 1)x 3(2m 1) 0. f (x) 0, x ( ; 1) x2 2x 3 m . a 0 2 x 4x 6 ' 0 x2 2x 3 Đặt : g(x) . a 0 x2 4x 6 ' 0 6x2 18 g '(x) . 2 2 f ( 1) 0 (x 4x 6) S 2( 1) 0 a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng ( ; 1) y ' 0, x (1; ) m 1 0 m g(x), x ( ; 1) 2 2m 7m 4 0 m Max g(x) ( ; 1] m 1 0 Xét : y g(x) ,x ( ; 1] 2 2m 7m 4 0 Ta có bảng biến thiên: 11m 4 0 m x -1 0 m 1 g’(x) + g(x) 4 1 m 11 2 4 m -1 4 1 11 m 11 2 4 4 Từ bảng biến thiên ta được : m Kết luận : m thì hàm số (1) đồng 11 11 4 biến trong khoảng ( ; 1) Kết luận : m thì hàm số (1) đồng 11 biến trong khoảng ( ; 1) b)Hàm số đồng biến trong khoảng b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1; ) (1; ) y ' 0, x (1; ) f (x) 0, x (1; ). m g(x), x (1; ) Trang 6
7. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai a 0 m Max g(x) [1; ) ' 0 Xét : y g(x) ,x [1; ) a 0 Ta có bảng biến thiên: ' 0 f (1) 0 x 1 3 g’(x) - 0 + S 2.1 0 g(x) 0 -1 m 1 0 -4 2 2m 7m 4 0 Từ bảng biến thiên ta được : m 0 m 1 0 Kết luận : m 0 thì hàm số (1) đồng 2 2m 7m 4 0 biến trong khoảng (1; ) 3m 0 m 2 0 m 1 1 m 2 m 0 1 0 m 2 Kết luận : m 0 thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1; ) c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1) c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1) f (x) 0, x ( 1;1) y ' 0, x ( 1;1) m g(x), x ( 1;1) m Max g(x) [ 1;1] Xét : y g(x) ,x [ 1;1]. Ta có bảng biến thiên: x -1 0 1 g’(x) + 0 - g(x) 1 2 4 0 11 Trang 7
8. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai 1 Từ bảng biến thiên ta được : m 2 a 0 1 ' 0 Kết luận : m thì hàm số (1) đồng 2 a 0 biến trong khoảng ( 1;1) f ( 1) 0 S 2( 1) 0 f (1) 0 S 2.1 0 ' 0 a 0 f ( 1) 0 f (1) 0 m 1 0 2 2m 7m 4 0 2m2 7m 4 0 3m 0 m 2 0 m 1 1 m 11m 4 0 2 m 0 m 1 m 1 0 m 1 0 3m 0 11m 4 0 1 Kết luận : m thì hàm số (1) đồng 2 biến trong khoảng ( 1;1) Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh. Trang 8
9. Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai *Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0) a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) . b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) . c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' f (x) 3ax2 2bx c y ' f (x) 3ax2 2bx c a)Hàm số (1) nghịch biến trong TH1: Nếu bpt: f (x) 0 g(x) h(m) (i) khoảng ( ; ) a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng f (x) 0, x ( ; ) ( ; ) a 0 h(m) g(x) , x ( ; ) 0 h(m) Max g(x) ( ; ] a 0 b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; ) 0 h(m) g(x) , x ( ; ) f ( ) 0 h(m) Max g(x) S 2 0 [ ; ) c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; ) Trang 9